应用均值不等式求最值的误区
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。蝣 磨 均 谟 ◎郑良骏 （乌鲁木齐市第十中学８３００００） 利 均值不等式求最值，是数学中的一种常用方法．但 同时也是非常容易出错的一类题目，原因就在于忽略了利 用均值不等式求最值的三个条件“正数、定值、等号成立”． 从而造成题目的误解甚至是错解．下面就谈一下这类问题 的错解与正解．利用均值不等式求最值的原则是：“变量。＞ ０，６＞０，若ｎ＋６＝Ｐ（Ｐ为定值）当且仅当０＝６时，ｎ・ｂ有 Ｄ‘ 最大值 ＿．若０・ｂ＝Ｓ（Ｓ为定值）当且仅当ｎ＝６时，ｎ＋ｂ 有最小值２ ” 例１ 求函数Ｙ： ＋ 的值域． 错解因为 ≠。，所以 ＋÷≥２√ ・÷＝４． 函数的值域是［４，＋ａ。］． 错误的原因在于 不一定是正数． 正解 当 ０时， ＋ ４≥２√ ・÷＝４，当且仅当 ＝ ２时等号成立． 当 ０时，一 ｏ所以（ ＋（一÷） 得 ＋土≤４，当且仅当 ：一２时等号成立， 所以函数的值域是Ｙ Ｅ（一 ，一４］ｕ［４，＋。。）． 例２ 求函数ｙ＝ 十 ， ∈［２，４］的最小值． 错解 因为 ，。，所以），＝ ＋ １≥２√ ・÷＝２． 所以函数的最小值是２． 显然，例２的结果是错误的．错误的原因在哪里呢？等 号不能成立，要等号成立，当且仅当 ： 时，即 ：１时等 号成立． 正解函数Ｙ： ＋ 在［１，＋。ｏ］是单调增甬数，所以 当 ＝２时函数有最小值妻． 例３ 已知ｘ，ｙ为正实数，且 十 ：１，求 Ｙ的最 Ｙ 再 小值． 错解．．． ＞０，ｙ＞０，且 ＋旦：１， Ｙ ．－．ｘｙ＝２ｘ＋ ｙ≥２、 ＝８ （１） ’．‘ｘｙ＞０，．’． ｙ≥８（当且仅当 ＝４ｙ时取等号）． ． ． Ｙ≥２￣／ ｙ≥２ Ｘ ８＝１６． （２） ．。． Ｙ的最小值是１６． 经验证，当 ＝４ｙ时，得 ＝１６，ｙ＝４． ．‘． 的最小值是６４， 的最小值是２０． 显然，例３的结果是错误的．错误的原因在哪里呢？在 例３的解法中又这样一步， Ｙ≥２ ｙ≥２ Ｘ ８＝１６，第一个 等号成立的条件是下 ＝４ｙ，第二个等号成立的条件是 ： Ｙ，两个等号不能同时成立，出现错误． 下面给出例３的正确解法： 正解一・．‘手＋÷＝ ’． ＋ｙ＝ｃ ＋ｙ，（了２＋÷）＝ Ｖ 、 ， ＋２＋８＋ ≥２ ＋１０：１８，当且仅当 ＋ ，即 ： Ｙ Ｙ ２ｙ时成立． ．・． Ｙ的最小值是１８． 正解二．．．三＋＿墨＿：１，且 ＞０，），＞０， ｙ ． ． ＞８，Ｙ＞２，且２ ＋８ｙ＝ｘｙ， ．’．（ 一８）（Ｙ一２）＝１６（定值）， ．‘．（ 一８）（Ｙ一２）≥２ １６＝８，当且仅当 一８ Ｙ ２时 成立． ．’． ＋Ｙ≥１８． 正解三。．・— ８＋÷＝ ，．‘．ｙ＝ ． Ｖ 一Ｏ ’．’ ＞０．Ｙ＞０．．’． 一８＞０． ２ ２—６ ・’・ ｙ一 ＝！ 二 ：± （ 二 ２± 鱼 一８ ＝（ｘ－８） １６十１０≥２厕＝１８， 当且仅当 一８： １ ６，即 ＝１２，ｙ＝６时等号成立． ．‘． ＋ｙ的最小值为１８． 例４已知 。， 。，求（ ＋），）（— ＋手）的最小值 错解 因为 ＞０．ｙ＞０。 数学学习与研究２０１０。１５ （下转７７页）
艚耱 ２ 当 从 。左边趋近于 。时，／（ ）＝ 一一ｏ。，且 （ｏ ），＿，（ ）： ‘０； 当 从Ｘ０右边趋近于Ｘ０时，＿厂（ ）＝ 一＋ ； 当 从 。右边趋近于‰时，＿厂（ ）＝— 一一十。。， 十ｌｎ 。＞０，．・．２。＝０，目口。： １ 评析利用分离参数法将方程根问题转化为定曲线与 动直线的交点个数问题．较参考答案此解起点低，坡度缓， 易作图，学生比较容易接受理解．但也有明显不足之处：其 一，分离参数２。时需对 ＋ｌｎｘ＝０与 ＋ｌｎｘ≠０进行分类讨 Ⅳ２ 论；其二，需要用极限思想分析函数，（ ）：— 一的渐近线 十ｌｌ１．７ｆ￣ 及函数图像的走向，这是学生所缺乏的！于是笔者在此基 １ 础上进行再次思考与调整，利用 ＞０巧妙地分离参数－ 二 避开了分类讨论使问题简单、轻松获解，具体如下． 解法二 由题意可知 ＞０， ： ，令Ｆ（ ）： 解题技巧与方法 ｌｎｘ；ｘ，Ｆ，（ ）： 由， （ ）＝０，可得 ＝１． 下面分析 ＝１是Ｆ （ ）＝０的唯一解 再令Ｙ＝１—２１ｎｘ— ． ０ 由Ｙ ＝一＿＝－～１＜０知 Ｙ＝１—２１ｎｘ— 在区间（０，＋。ｏ）单调减 所以 ＝１是Ｆ （ ）＝０的唯一解． ● ．＝翻 ●
（０，１） ｌ （１，＋。。） Ｆ （ ） ＋ Ｏ ，（ ） 极大值１ 口＞０，．・． １＝１，即。＝ １ 通过以上问题解法的探究，笔者认为除了数形结合是 求解含参数导数压轴题的有力工具，分离参数法亦是强有 力的工具，于是在平时的学习中我们要注重分离参数法的 应用． （上接７５页） 所以 ＋），≥２ 。，÷＋了２≥２ ２ 。， 、， 得（ ＋ｙ （÷＋手）≥２ ｘ２√弓＝４ ， （ ＋ｙ）（÷＋手）的最小值是４ 错误的原因： ＋），≥２ ＞０取“＝”的条件是 ＝Ｙ， ÷＋手≥２√ 如取“＝”的条件是“ｙ－ｚ ”． 两个等号不能同时成立，出现错误． 正解ｃ ＋ （÷＋了２）＝ ＋等＋÷＋ｚ＝ｓ＋等＋ ÷≥３＋２√等・ Ｙ＝３＋２ ，当且仅当 Ｙ＝÷时 ｙ＝ 时（ ＋ｙ） １＿＋手），有最小值３＋２ 侈０ ５ 求函数），＝ ４的最小值・ √ ＋ 鼬ｙ ＂１－４ 而＋志４≥ ￣／ ￣／ ＋ ２√而。 －ｚ， 错误的原因：若ｙ＝２，由均值不等式知只有“ 而 志≥２√厢‘志 … 十４＝ ＋４＝ 即 ＝一３＇显然不存在这 样的实数 ，因为忽略了“＝”成立的条件，故解答是错 误的． 正解 令￡＝／ ，则 ＞１２，且ｙ＝￡ 了１， 设 ＞ｔ２ Ｉ＞２，ｙ￣ ＝” １（ 亡）：（ｆｌ－ｆ２）‘ １一 ）＞。， 得Ｙ１一Ｙ２＞０，即Ｙ１＞Ｙ２， 所以ｙ＝ ＋ｌ－．￣［２，＋ ）上为单调增函数，故当 ２ 时，即 ＝０时，函数有最小值，Ｙ ； ＝÷． 总之，利用均值不等式求最值的问题，一定要注意不等式 中的三个条件“正数、定值、等号成立”．特别地，当式子中的等 号不成立时，均值不等式显然不能应用，通常可以利用函数的 单调性求最值．同～问题中多次应用利用均值不等式时，必须 满足每个不等式都能同时取到“＝”，否则取不到最值． 数学学习与研究
２０１０．１５
