2020版高考理科数学_经典版_ 第2讲
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2讲 用样本估计总体
基础知识整合
1．用样本的频率分布估计总体分布
(1)作频率分布直方图的步骤
①求极差(即一组数据中□01最大值与□02最小值的差)．
②决定□03组距与□04组数．
③将数据□05分组．
④列□06频率分布表．
⑤画□07频率分布直方图．
(2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的□08中点，就得频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着□09样本容量的增加，作图时□10所分的组数增加，□11组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
(3)茎叶图
茎是指□12中间的一列数，叶是从茎的□13旁边生长出来的数．
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．
(3)平均数：x－＝□14x1＋x2＋…＋xnn，反映了一组数据的平均水平．
(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝
□15 1n[x1－x－2＋x2－x－2＋…＋xn－x－2].
(5)方差：s2＝□161n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2](xn是样本数据，n是样本容量，x－是样本平均数)．
频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
1．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
答案 B
解析 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.
2．一个样本的频率分布表如下，则下列选项中正确的是(
)
A．M＝80 B．m＝40
C．n＝0.42 D．0
答案 C
解析 由已知，得M＝20.02＝100，所以m＝100－2－4－37－15＝42，n＝mM
＝42100＝0.42，N＝0.02＋0.04＋0.37＋0.15＋0.42＝1，故选C.
3．(2019·南宁模拟)如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的极差为a，乙加工零件个数的平均数为b，则a＋b＝________.
答案 40
解析 由茎叶图，知甲加工零件个数的极差a＝35－18＝17，乙加工零件个数的平均数b＝110×(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23，则a＋b＝40.
4．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为________mm.
答案 22.75
解析 根据频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为(12.5×0.02＋17.5×0.04＋22.5×0.08＋27.5×0.03＋32.5×0.03)×5＝22.75 mm.
5．(2019·沈阳模拟)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
如果甲、乙两人中只有1人入选，那么入选的最佳人选应是________．
答案 甲
解析 x－甲＝x－乙＝9环，s2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，
s2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s2甲，故甲更稳定，故填甲.
核心考向突破
考向一 频率分布直方图的应用
例1 (1)(2019·秦皇岛模拟)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为(
)
A．8万元 B．10万元 C．12万元 D．15万元
答案 C
解析 由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为30.1＝30万元．又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为0.4×30＝12万元．故选C.
(2)为了解某校高三学生联考的数学成绩情况，从该校参加联考学生的数学成绩中抽取一个样本，并分成五组，绘成如图所示的频率分布直方图，已知第一组至第五组的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，第五组的频数为6，则样本容量为________．
答案 40
解析 因为第一组至第五组的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，所以可设第一组至第五组的频率分别为k,2k,8k,6k,3k，又频率之和为1，所以k＋2k＋8k＋6k＋3k＝1，解得k＝120＝0.05，所以第五组的频率为3×0.05＝0.15，又第五组的频数为6，所以样本容量为60.15＝40.
触类旁通
应用频率分布直方图应注意的问题
(1)频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律．
2图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，它直观反映了数据在各个小组的频率的大小.
3要把握一个基本公式：频率＝频数样本容量.
即时训练 1.(2019·贵州黔东南州联考)近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在[30,40)岁的有2500人，年龄在[20,30)岁的有1200人，则m的值为( )
A．0.013 B．0.13 C．0.012 D．0.12
答案 C
解析 由题意得，年龄在范围[30,40)岁的频率为0.025×10＝0.25，则赞成高校招生改革的市民有25000.25＝10000人，因为年龄在范围[20,30)岁的有1200人，则m＝12001000010＝0.012.故选C.
考向二 茎叶图的应用
例2 (1)(2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(
)
A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7
答案 A
解析 甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，∴15×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故选A.
(2)(2019·郑州质量预测)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，
也称为可入肺颗粒物．如图是根据某地某日早7点到晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是(
)
A．甲 B．乙
C．甲、乙相等 D．无法确定
答案 A
解析 从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小．
触类旁通
茎叶图的绘制及应用
(1)一般制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大顺序由上到下列出．
2估计数字特征，给定两组数据的茎叶图，“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小.
即时训练 2.(2019·江苏丹阳模拟)某校开展摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是(
)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 当x≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91.当x<4时，89＋89＋92＋93＋90＋x＋92＋917＝91，∴x＝1，故选A.
考向三 数字特征的应用
角度1 样本数字特征与直方图交汇
例3 (2019·益阳模拟)为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是(
)
A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25
B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5
C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320
D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32
答案 D
解析 由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中间值27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160.故D错误．
角度2 样本的数字特征与茎叶图
例4 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
(1)画出茎叶图；
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差、极差，并判断选谁参加比赛比较合适？
解 (1)画茎叶图如下(中间数为数据的十位数)．
(2)x－甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33.
x－乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33.
s2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.
s2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.
甲的极差为11，乙的极差为10.
综合比较以上数据可知，甲、乙平均数相同，但乙的极差、方差相对更小，成绩更稳定，故选乙参加比赛较合适．
触类旁通
1众数、中位数、平均数及方差的意义,平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述；平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小.
2在计算平均数、方差时可利用平均数、方差的有关结论.
即时训练 3.(2019·浙江台州中学模拟)对某小区100户居民的月均用水量进
