2019高考数学二轮复习精准提分第一篇屑点抢先练基础题不失分第3练复数与数学文化试题

中小学教育教学资料

第3练 复数与数学文化

[明晰考情] 1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；数学文化的考查内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：复数的考查难度为低档难度，数学文化的考查难度为中档难度．

考点一 复数的概念

要点重组 (1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．

方法技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．

1．(2018·全国Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|等于( )

A．0B.12

C．1D.2

答案 C

解析 ∵z＝1－i1＋i＋2i＝1－i21＋i1－i＋2i＝－2i2＋2i＝i，

∴|z|＝1.故选C.

2．(2018·全国Ⅱ)1＋2i1－2i等于( )

A．－45－35iB．－45＋35i

C．－35－45iD．－35＋45i

答案 D

解析 1＋2i1－2i＝1＋2i21－2i1＋2i＝1－4＋4i1－2i2＝－3＋4i5＝－35＋45i.故选D.

3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于( )

A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i

答案 D 中小学教育教学资料

解析 由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，

∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.

4．(2018·杭州模拟)设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于( )

A．3B．－3C.13D．－13

答案 B

解析 (1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a，

∵(1＋3i)(1＋ai)∈R，

∴虚部为0，则a＋3＝0，∴a＝－3.

5．(2018·浙江省杭州市第二中学月考)若复数z满足(1－2i)·z＝3＋i(i为虚数单位)，则z＝______；|z|＝________.

答案 1＋7i52

解析 由题设有z＝3＋i1－2i＝3＋i1＋2i1－2i1＋2i＝1＋7i5，故|z|＝2.

6．(2017·浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.

答案 5 2

解析 (a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.

由(a＋bi)2＝3＋4i，得 a2－b2＝3，ab＝2，

解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.

考点二 复数的几何意义

要点重组 (1)复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量OZ→.

7．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )

A．(－3,1) B．(－1,3)

C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)

答案 A

解析 由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，

得 m＋3>0，m－1<0，解得－3

8．已知复数2－ai1＋i(i为虚数单位)在复平面上对应的点在虚轴上，则实数a＝________.

答案 2

解析 因为2－ai1＋i＝2－ai1－i2＝2－a2－a＋22i， 中小学教育教学资料

又因为2－ai1＋i对应的点在虚轴上，所以2－a2＝0，a＝2.

9．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则z2z1＝______.

答案 －1－2i

解析 由题意，根据复数的表示可知z1＝i，z2＝2－i，

所以z2z1＝2－ii＝2－i·－ii·－i＝－1－2i.

10．设复数z满足(2＋i)z＝||3－i，i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在第________象限．

答案 四

解析 由(2＋i)z＝|3－i|＝1＋3＝2，

得z＝|3－i|2＋i＝22－i2＋i2－i＝45－25i，

∴复数z在复平面内对应的点的坐标为45，－25，

在第四象限．

11．已知复数z＝i＋i2＋i3＋…＋i20171＋i，则复数z在复平面内对应的点位于第______象限．

答案 一

解析 因为i4n＋k＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0，

所以i＋i2＋i3＋…＋i2017＝i，

所以z＝i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝1＋i2，

对应的点为12，12，在第一象限．

考点三 几何中的数学文化

方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题．

12．我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是( ) 中小学教育教学资料

A．3步B．6步C．4步D．8步

答案 B

解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，

设其内切圆半径为r，

则有8r2＋15r2＋17r2＝12×8×15(等积法)，

解得r＝3，故其直径为6步．

13．如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα等于(

)

A.34B.38C．5D.15

答案 A

解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，

∴2＝10cosα－10sinα，

∴cosα－sinα＝15，

又α为锐角，易求得tanα＝34.

14．(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(

)

答案 A

解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.

15．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为中小学教育教学资料

(

)

A．4－π2B．8－4π3

C．8－πD．8－2π

答案 C

解析 由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱．

V正方体＝23＝8，V半圆柱＝12(π×12)×2＝π，

∴三视图对应几何体的体积V＝8－π.

根据祖暅原理，不规则几何体的体积V′＝V＝8－π.

16．我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为( )

A．5尺B．9尺

C．10.6尺D．21.2尺

答案 D

解析 设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则2πr＝54，r≈9.

粟米250斛，则体积为250×1.62＝13×π×92×h，h≈5.

谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R尺．

则R2＝(h－R)2＋r2，解得R≈10.6(尺)．

∴2R≈21.2(尺)．

17．卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： 中小学教育教学资料

①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1a1c2.

其中正确的式子的序号是( )

A．①③B．①④

C．②③D．②④

答案 D

解析 ①由题图知2a1>2a2，2c1>2c2，

即a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，∴①不正确．

②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正确．

④∵a1>a2>0，c1>c2>0，∴a21>a2，c21>c2.

又∵a1－c1＝a2－c2，

即a1＋c2＝a2＋c1，

即a21＋c2＋2a1c2＝a2＋c21＋2a2c1，

∴a21－c21＋c2－a2＋2a1c2＝2a2c1，

即(a1－c1)(a1＋c1)－(a2－c2)(a2＋c2)＋2a1c2＝2a2c1，

整理得(a1－c1)(a1－a2＋c1－c2)＋2a1c2＝2a2c1.

∵a1>c1，a1>a2，c1>c2，

∴2a1c2<2a2c1，即c1a2>a1c2，∴④正确．

③∵c1a2>a1c2，a1>0，a2>0，

∴c1a2a1a2>a1c2a1a2，即c1a1>c2a2，∴③不正确．故选D.

考点四 其他数学问题中的数学文化

方法技巧 数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型；其他数学问题与数学文化的结合，关键是构造数学模型．

18．《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为( )

A.12B.1629

C.1631D.815