2011年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析

2011年湖北省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 20111．（5分）（2011•湖北）i为虚数单位，则（）=（ ） i 1

A．﹣i B． ﹣1 C． D． 2．（5分）（2011•湖北）已知U={y|y=logx，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则CP=（ ） 2u A．B． C． （0，+∞） D． [，+∞）

（0，） （﹣∞，0）∪（，+∞） 3．（5分）（2011•湖北）已知函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（ ）

A．B． {x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z} {x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}

C．D． {x|kπ+{x|2kπ+≤x≤kπ+，k∈Z} ≤x≤2kπ+，k∈Z} 24．（5分）（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（ ） n≥3 n=0 n=1 n=2 A．B． C． D． 25．（5分）（2011•湖北）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，a），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（ ） 0.6 0.4 0.3 0.2 A．B． C． D． xx﹣6．（5分）（2011•湖北）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a﹣a+2（a＞0，且a≠0）．若g（a）=a，则f（a）=（ ） 2 2

A．B． C． D． a 7．（5分）（2011•湖北）如图，用K、A、A三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A、A至少有一1212个正常工作时，系统正常工作，已知K、A、A正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为12（ ） 0.960 0.864 0.720 0.576 A．B． C． D． 8．（5分）（2011•湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（ ） A．[﹣2，2] B． [﹣2，3]

C． [﹣3，2] D． [﹣3，3] 9．（5分）（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（ ） A．必要不充分条件 B． 充分不必要的条件

充要条件 C．D． 既不充分也不必要条件 10．（5分）（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关 系：M（t）=M，其中M为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/00年），则M（60）=（ ） C． 150In2太贝克 D． 150太贝克 A．5太贝克 B． 75In2太贝克 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 181511．（5分）（2011•湖北）（x﹣）的展开式中含x的项的系数为

_________ ．（结果用数值表示） 12．（5分）（2011•湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为 _________ ．（结果用最简分数表示） 13．（5分）（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 _________ 升． 14．（5分）（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°． （Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为 _________ ； 22 （Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）+2y﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是

_________ ． 15．（5分）（2011•湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 _________ 种，

至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 _________ 种，（结果用数值表示） 三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（10分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC= （I） 求△ABC的周长； （II）求cos（A﹣C）的值． 17．（12分）（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式； （Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）． 18．（12分）（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC=ABC的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1111上，且不与点C重合． （Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥AC； 1（Ⅱ）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值． *19．（13分）（2011•湖北）已知数列{a}的前n项和为S，且满足：a=a（a≠0），a=rS （n∈N，r∈R，r≠﹣1）． nn1n+1n（Ⅰ）求数列{a}的通项公式； n**（Ⅱ）若存在k∈N，使得S，S，S成等差数列，试判断：对于任意的m∈N，且m≥2，a，a，a是否k+1kk+2m+1mm+2成等差数列，并证明你的结论． 20．（14分）（2011•湖北）平面内与两定点A（﹣a，0），A（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点12的轨迹，加上A、A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线． 12（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C，设F、F是C121222的两个焦点．试问：在C上，是否存在点N，使得△FNF的面积S=|m|a．若存在，求tanFNF的值；若不存在，11212请说明理由． 21．（14分）（2011•湖北）（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值； （Ⅱ）设a，b（k=1，2…，n）均为正数，证明： 11 （1）若ab+ab+…ab≤b+b+…b，则…≤1； 1122nn12n 222（2）若b+b+…b=1，则≤…≤b+b+…+b． 12n12n

2011年湖北省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分） 考点：

复数代数形式的混合运算． 专题： 计算题． 分析： n2011由复数的运算公式，我们易得=i，再根据i的周期性，我们易得到（）的结果． 解答： 解：∵=i 201120113∴（）=i=i=﹣i 故选A 20113点评：

本题考查的知识点是复数代数形式的混合运算，其中根据复数单调幂的周期性，将i转化为i是解答本题的关键． 2．（5分） 考点： 对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算． 专题： 计算题． 分析： 先求出集合U中的函数的值域和P中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可． 解答： 解：由集合U中的函数y=logx，x＞1，解得y＞0， 2所以全集U=（0，+∞）， 同样：P=（0，）， 得到CP=[，+∞）． U故选A． 点评： 此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题． 3．（5分） 考点： 正弦函数的单调性． 专题：

计算题． 分析： 利用两角差的正弦函数化简函数f（x）=sinx﹣cosx，为一个角的一个三角函数的形式，根据f（x）≥1，求出x的范围即可． 解答： 解：函数f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），因为f（x）≥1，所以2sin（x﹣）≥1，所以， 所以f（x）≥1，则x的取值范围为：{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z} 故选B 点评： 本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能力，常考题型． 4．（5分）

考点： 抛物线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与

抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．进而可知这样的三角形有2个． 解答： 2解：y=2px（P＞0）的焦点F（，0） 2等边三角形的一个顶点位于抛物线y=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称 两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣）， 每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形． 故n=2， 故选C 点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性． 5．（5分） 考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 计算题． 2分析： 根据随机变量X服从正态分布N（2，σ），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的 特点，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到结果． 2解答： 解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ），

μ=2，得对称轴是x=2． P（ξ＜4）=0.8 ∴P（ξ≥4）=P（ξ＜0）=0.2， ∴P（0＜ξ＜4）=0.6 ∴P（0＜ξ＜2）=0.3． 故选C． 点评： 本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的． 6．（5分） 考点： 函数奇偶性的性质． xx﹣分析： 由已知中定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a﹣a+2（a＞0，且a≠0），我xx﹣们根据函数奇偶性的性质，得到关于f（x），g（x）的另一个方程f（x）+g（x）=a﹣a+2，并由此求出f（x），g（x）的解析式，再根据g（a）=a求出a值后，即可得到f（a）的值． 解答： 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数 xx﹣由f（x）+g（x）=a﹣a+2 ① xx﹣得f（﹣x）+g（﹣x）=a﹣a+2=﹣f（x）+g（x） ② xx﹣①②联立解得f（x）=a﹣a，g（x）=2 由已知g（a）=a