矩阵对角化方法

1 矩阵对角化方法

摘要：本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向量，接着再判断矩阵是否可对角化。

关键词：矩阵 特征根 特征向量 对角化

The Methods of the Diagonalization of the Matrix

g

Abstract: In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional

methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic

roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.

Key words: Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization

1、引言

对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性，而矩阵对角化方法有很多，如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵，通过配方法将其化为标准形从而实现矩阵的对角化，再如通过求解特征根和特征向量方法，首先求解0||AE得特征根i，然后对每一个i，解方程组0)(XAEi得特征向量，即寻找一个可逆矩阵T，使得ATT1,其中为对角阵，于是可得1TTA，从而1TTAnn, 在这个对角化过程中，中的元素即为矩阵A的特征根，T中每个列向量即为矩阵A的属于每个特征根的特征向量。本文主要介绍一种异于传统方法的矩阵对角化方法，即将矩阵的特征矩阵经过一系列初等变换将其化为上三角形矩阵或对角形矩阵从而得到矩阵的特征根与特征向量，同时判断矩阵是否可对角化。

2、讨论对于有n个特征单根的n阶方阵

1.2 基本原理

引理1：设A是秩为r的nm阶矩阵，且

2 nTEA行初等变换nrnmrnrmPD)()(0

其中D是秩为r的行满秩矩阵，则齐次线性方程组0AX的一个基础解系即为矩阵P所含的rn个行向量),,2,1(rnii。

证明：对矩阵nTEA左乘一个nn阶可逆矩阵C得

mrnrmTDCA)(0 )1(

nrnnPCE)( )2(

将)2(代入)1(得，

mrnrmTnnrnDAEP)()(0

即有mrnTnrnAP)()(0两边同时取转置得0TAP，则P的行向量是方程组0AX的解，证毕。

引理2：矩阵A的特征矩阵)(A经过一系列行初等变换可化为上三角形的－矩阵)(B,且)(B的主对角线上元素乘积的多项式的解为矩阵A的全部特征根。

证明：

)(Annnnnnaaaaaaaaa212222111211 显然nAr))((

)1先看)(A的第一列，假设),,3,2(1niai不全为零，任取其中一个，记为)(1d，经过行初等变换，)(A可化为： )(0)(1Gd

若),,3,2(,01niai,则)(A本身即具有这种形式

)2再看)(G的第一列，假设不全为零（若全为零，则nAr))((）,选择的幂

3 最低的元素，记作)(1f,对)(G施行行变换，使该列全部元素的幂都少于)(1f,选择幂最小的元素，记作)(2f,如此施行一系列行变换，一直循环下去，)(G最终可化为 )(0)(2Hd

接着再对)(H施行上述变换，最后可将)(A化成

)(0)()()(21ndddB

由此可知：)(A和)(B等价，可知结论成立，证毕。

引理3：对于数域P上的n阶方阵A，若A的特征多项式在P内有n个单根，则由特征向量构成的n阶可逆矩阵T，使得nATT211

定理1：若数域P上的n阶方阵A的特征多项式)(f在P内有n个单根，则A可通过如下方法对角化：

设)()()(,)(QBEAAEAnTTT行初等变换且

)()1B为上三角形矩阵，则有方阵A的特征根i即为)(B中主对角线上各个元素乘积的解；

)2对于方阵A的每一个特征根i，总有)(iB中零行向量所对应的)(iQ中的行向量i与之对应。

证明：由上述引理可知此定理结论成立。

2.2举例说明

例1：设210131012A，问方阵A是否可以化为对角形，若可以，求出其对角化后的方阵。

4 解：100210010131001012)(EAT

第一行与第二行互换100210001012010131行上乘以第一行再加到第二)2(10021002125500101312

第二行与第三行互换02125501002100101312行上乘以第二行再加到第三)55(25521)4)(2)(1(001002100101312=)()(QB

由题意知)4)(2)(1(=011,22,43 ,此时方阵A有3个特征单根，故方阵A可以化为对角形;

将11代入)()(QB和中知)(B的第三行为零，由定理1知)(Q的第三行向量)1,1,1(即为属于1的特征向量，同理可知)1,2,1(),1,0,1(分别为属于32和的特征向量。

于是可得111201111T使得4211ATT

3、讨论对于有特征重根的n阶方阵

对于有特征重根的方阵，可以通过上述方法将其化为上三角形矩阵，接着再对上三角形矩阵施行一系列初等变换将其化为对角形矩阵，这样就避免了上三角形矩阵中非零行向量可能不构成行满秩的情形。

1.3基本定理

定理2：设TTAEA)(,则)()()(PDEAT初等变换且)(D为对角形

5 矩阵，则有

)1对于A的每个特征根i，)(iP中与)(iD的零行对应的行向量即为属于i的特征向量；

)2设s,,21为A的所有不同的特征根，重数分别为srrr,,21,则A可以化成对角形)(iD中的零行数目等于i的重数),,2,1(siri。

证明：)1因为)(A和)(TA的秩为n,总有可逆的－矩阵)(),(QP使得)())(,),(),(()()()(21DddddiagQAPnT，其中)(D为对角形矩阵。我们有

)()()()()(PDEQAPT初等变换 )3(

因为 )()()()(DQAPT

所以 )()())()()(DDPAQTTT

于是有))(,),(),(()()()(21iniiiTiiTddddiagPAQ，设)(iD中有im个零行，对应着im个对角元素0)()()(21iimiiiiiddd，)1(nmi,选取)(iP中的列向量iimiiPPP,,21，则有0),,)()((21iimiiiiPPPAEQ

因为)(iQ可逆 ，所以0),,)((21iimiiiPPPAE )4(

又因为)(iP可逆 ，所以由)4(知iimiiPPP,,,21是A属于i的im个线性无关的特征向量,由)3(知，)(iD中imn个非零行是行满秩的, 故A属于i的线性无关的特征向量即为)(iD中零行所对应的)(iP中的行向量。

A)2可对角化iirnAEr)(,又由)1证明知：imnDrAErii))(()(

故A可对角化iimnrn，即iirm,),,2,1(si，证毕。

由此我们不难得到对于有特征重根的方阵化为对角形方阵的简单步骤如下：

)1作)()()()()(PDQBEAT初等变换行初等变换

其中))(),(),(()(21nddddiagD,则A的特征根恰为0)()()(21nddd的

6 根；

)2若A的特征根全在P内，且每个i有)(iD中零行数目等于i的重数，则A可以化为对角形方阵，否则A不可以化为对角形方阵；

)3对于每个特征根i，在)(iP中取出与)(iD中零行对应的行向量),,,(21imiiPPP得A属于i的特征向量且都是线性无关的。

2.3 举例说明

例2：

110111110)1A

100112001)2B

问方阵A和B是否可以化为对角形，若可以，试求出其对角化后的方阵。

解：10011101011100101)()1EAT

第一行与第三行互换00101010111100111

行上乘以第一行再加到第二)1(0010111020100111

行上乘以第一行再加到第三0110110201001112

二行上）乘以第三行再加到第（101101111010011122三行上）乘以第二行再加到第（1112)1(0011110100111222列上乘以第二列再加到第三)(2