高中数学教学案例4份

教 学 案 例

1．1集 合

教学目标：

（1）使学生理解集合的含义，知道常用数集的概念及其记法；

（2）使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义；

（3）使学生初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合。

教学重点：

集合的含义及表示方法。

教学过程：

一、问题情境

1．情境：介绍你自己（P .5）；

2．问题：像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？

二、学生活动

1．介绍自己：仿照所给例子，让学生做自我介绍（初步体会集合中元素与集合的关系）；

2．列举生活中的集合实例（了解集合中元素的确定性）；

3．分析、概括各种集合实例的共同特征。

三、建构数学

1．引导学生自己总结给出集合的含义（描述性概念）；

2．介绍集合的表示方法；

3．常用数集的记法（N、N*、Z、Q、R以及符号、）；

4．有关集合知识的历史简介。

四、数学运用

1．例题

例1 （1）求方程x2-2x-3=0的解集；

（2）求不等式32x的解集．

例2 求方程x2 + 1 = 0所有实数解所构成的集合．

2．练习

（1）有限集、无限集、空集，请学生各举一例．

（2）第7页练习3，用“”或“”填空（口答）．

（3）用列举法表示下列集合：

① {x |x是15的约数，x∈N}；

② {（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}；

③（x , y）| x + y = 2且x - 2y = 4}；

④ },)1(|{Nnxxn；

⑤ },,1623|),{(NyNxyxyx。

(4) 用描述法表示下列集合

（1）{1，4，7，10，13} ；

（2）{-2，-4，-6，-8，-10} 五、回顾小结：

本节课学习了以下内容：

1． 集合的有关概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；

2． 集合的表示方法——列举法、描述法以及Venn图；

3．常用数集的定义及记法。

六、课外作业

P 7练习 第2题、第4题、第5题。

函数的单调性

教学目的：理解函数单调性概念，掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性。

教学重点：函数单调性的概念与判断

教学过程：

一、问题情境

1．情境：第2.1.1开头的第三个问题中，θ=f(t)

2．问题：说出气温在哪些时间段内是升高的？怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征？

二、学生活动

问题1：观察下列函数的图象（如图1），指出图象变化的趋势．

观察得到：随着x值的增大，函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势．

问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？

讨论得到：

在某一区间内，

当x的值增大时，函数值y也增大图象在该区间内呈上升趋势；

当x的值增大时，函数值y反而减小图象在该区间内呈下降趋势。

函数的这种性质称为函数的单调性。

三、建构数学 问题3：如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢？

例如，怎样表述在区间（0，+）上当x的值增大时，函数y的值也增大？

能不能说，由于x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝5就说随着x的增大，函数值y也随着增大？

能不能说，由于x＝1，2，3，4，5，…时，相应地y＝3，5，7，9，…就说随着x的增大，函数值y也随着增大？ （1） y

x O y＝2x＋1，

x∈R

图1 （2） y

x O y＝(x-－1)2-－1，

x∈R

1 1 2

（4） y

x O y＝f(x)，x∈[0，24]

1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 2 4 6 8 10

－2 y

x O y＝1x，

x∈(0,+∞)

1

（3） 1 答案是否定的。

例如函数y＝(x-－1)2-－1（x∈R），当x＝1，2，3，4，5，…时，相应地y＝－1，0，3，8，15，…，就不能说随着x的增大，函数值y也随着增大．这是因为x＝－1时，y＝3，就自变量的值而言，－1＜1，而相应的函数值却有3＞－1，即y不是随着x的增大而增大．

通过讨论，结合图（2）给出f(x)在区间I上是单调增函数的定义。

从图1中可以看出：

函数y＝2x＋1（x∈R）的单调增区间是（-，+）；

函数y＝(x－1)2-1（xR）的单调增区间是[1，+)；

气温曲线所表示的函数的单调增区间是[4，14]。

问题4：如何定义单调减函数？（结合图（3）叙述）

（学生讨论回答）

从图1中可以看出：

函数y＝(x－1)2-1（xR）的单调减区间是（-，1]；

气温曲线所表示的函数的单调减区间是[0，4]，[14，24]。

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数y=f(x)的单调区间。

如函数y=2x+1(x∈R)的单调区间是（-，+），函数y＝(x－1)2-1（xR）的单调区间是（-，1]和[1，+)，气温曲线所表示的函数的单调区间是[0，4]，[4，14]，[14，24]。

四、数学运用

1．例题

例1 作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间．

（1）y＝－x 2＋2； （2）y＝1x(x≠0)．

解 （1）函数y＝－x2＋2的图像如图4（1）所示，单调减区间为(∞，0]，单调减区间为[0，+∞]．

（2）函数y＝1x(x≠0)的图像如图4（2）所示，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个单调减区间．

图2 y

y＝f(x)

f(x1) f(x2)

x 图3 y

x y＝f(x)

f(x1) f(x2) o 1 y

x y＝x3

图－2

（2） y

x O

y = 1x (x≠0) 1 1

图4 （1） y

x O y=x21

1

1 2

提问：能不能说，函数y＝1x(x≠0)在定义域(－∞，0)(0，＋∞)上是单调减函数？

引导讨论，从图象上观察或取特殊值代入验证否定结论。（如取x1=-1,x2=21）．

例2 观察下列函数的图象（如图5），并指出它们是否为定义域上的增函数：

学生总结：函数y＝(x－1)2与y＝|x－1|－1的图象在x≥1时随着x值的增大而上升，在x≤1时随着x的值的增大而下降．所以，这两个函数在定义域上不是增函数．

例3 证明函数f(x)＝－x1－1在区间(－∞，0)上是增函数．

证明 设 x1＜x2＜0，则x1－x2＜0且x1x2＞0．因为 f(x1)－f(x2)＝（－11x－1）－（－21x－1）＝21x－11x＝2121xxxx＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以，函数f(x)＝－x1－1在区间(－∞，0)上是增函数．

2．练习

课后练习第1、第2、第5题。

五、回顾小结

本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法．

六、课外作业

习题2．3：第1题、第2题、第4题、第8题。

图5 o 1 x y

y＝(x－1)2 y

o

－1 x 1 y=|x－1|－1 平面的基本性质

教学目标：（1）初步理解平面的概念；

（2）了解平面的基本性质（公理1~3）；

（3）能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；

（4）能应用平面的基本性质解决一些简单的问题。

教学重点：平面的基本性质。

教学难点：平面的无限延展性；正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质。

教学过程：

一、问题情境

1．情境1：平静的水面、广阔的平原、平坦的足球场地、平滑的桌面、黑板的表面等。

情境2：棱柱的表面、圆柱和圆台的底面。

2．问题1：这些事物给我们一种怎样的形象？

二、学生活动

观察上述事物，结合棱柱、圆柱等几何体和已知的点、直线的概念，归纳、抽象出平面的基本特征：平坦的，没有厚薄，是无限延展的。

三、建构数学

1．平面概念

问题2：可以用怎样的数学语言描述上述事物？

（1）平面的概念：我们将上述事物用平面表示，和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念，它没有厚薄，是无限延展的。

情境3：电脑演示课件(如图2)。

问题3：我们可以通过怎样的方式形成平面？

通过观察，发现：平面可以看成是一条直线沿着某一方向平移得到的。

问题4：直线可以看成是以点作为元素的集合，平面是否可视为点构成的集合？可以用怎样的数学符号表示点、直线与平面之间的关系？

为此，我们先确定平面的表示方法：

2．平面的表示

（1）图形语言

通常用平行四边形来表示平面。有时也可用三角形等其它图形表示平面。（注意从不同的角度画出平面）

图2 l →平移

B A D C

α

图3 图1