数值分析论文
班级思源1101
学号11274019
姓名廖仁玉
将数值分析应用到数学建模上
.、八、-
刖言
为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论了数值分析在数学建模中的应用。数值分析不仅应用模型求解的过程中，它对模型的建立也具有较强的指导性。研究数值分析中插值拟合，解线性方程组，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用，使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。
数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合⑴。随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法
，
如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。
一、数值分析在模型建立中的应用
在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用
的方法就是建立差分方程。
以非负整数k表示时间，记X k为变量X在时刻k的取值，则称''∙x k= X k^- X k 为X k 的一阶差分，称也％=也(Z k) =XkM -2X k卅+ X k为X k的二阶差分。类似课求出X k的n阶差分∙-=n X k。由k，X k，及X k的差分给出的方程称为差分方程π。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第
k周末体重为w(k),第k周吸收热量为
c(k)，热量转换系数〉，代谢消耗系数1 ,在不考虑运动情况下体重变化的模型为 w(k 1^w(kΓ : c(k ∙1) - -w(k)[2]，k =0,1,2,…，增加运动时只需将■-改为1「，：1由运动的形式和时间决定。
此外，在研究经济变化趋势，人口增长等问题时，都要按照一定的周期建立
差分模型。这样，连续模型就通过数值分析中研究的对象一一差分方程，转化成
离散模型，简化了求解过程。
、数值分析在模型求解中的应用
插值法和拟合法在模型求解中的应用
1、1)拟合法求解
在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了(或收集了)一些已知数据， 但是模
型中的某些参数是未知的，此时需要利用已知数据去确定有关参数， 这个 过程通常通过数据拟合来完成。最小二乘法是数据拟合的基本方法。 其基本思想 就是：寻找最适合的模型参数，使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误 差最小。
假设已建立了数学模型y=f(χ,c),其中，c = (c 1,G 2,…，C m )T
是模型参数。 已有一组已知数据(X i, ,yj ， (X 2,y 2)，,， (X k, ,y k ),用最小二乘确定参数C ,使
k
e(c >∑ A — f(X i ,c))2
最小。函数 f(χ,c)称为数据(X i,,yJ(i =1,2,…,k)的最小二 i z 4
乘拟合函数。如果模型函数y = f(χ,c)具有足够的可微性，则可用微分方程法解
最合适的 C 应满足必要条件
-f (X i , C))
C f(X i ,c) =0, j =1,2,…,m JC j
2 )插值法求解
在实际问题中，我们经常会遇到求经验公式的问题，即不知道某函数 y = f(X)的具
体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，即已 知一部分精确的函数值数据(X 1,,y 1)，(X 2,y 2)，,，
(X k,,y k )。要求一个函数 y(X i )
，i = 0,1,…,k ， (2)
这就是插值问题。函数y^ (X i )称为f (X)的插值函数。X i (i =0,1,…,k)称为插值 节点，式(2)称为插值条件
［2］。多项式插值是最常用的插值方法，在工程计算 中样条插值是
非常重要的方法。 2、模型求解中的解线性方程组问题
在线性规划模型的求解过程中，常遇到线性方程组求解问题。线性方程组求 解是科
学计算中用的最多的，很多计算问题都归结为解线性方程组，利用计算机 求解线性方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化 为便于求解的三角线性方程组，再求三角线性方程组，理论上直接在有限步内求 得方程的精确解，但由于数值运算有舍入误差，因此实际计算求出的解仍然是近 似解，仍需对解进行误差分析。直接法不适用求解 n 一 4的线性方程组，因此当 n 一 4时，可以采用迭代法进行求解。
迭代法先要构造迭代公式，它与方程求根迭代法相似，可将线性方程组改写 成便于
迭代的形式。迭代计算公式简单，易于编制计算程序，通常都用于解大型 稀疏线性方程组。求解线性方程组的一般设计思想如下，假设建立一个线性规划 模型
Ax = b
e(c)
Pj k 一2、(y i i 4
