牛顿迭代法及其应用
[摘要]本文研究应用泰勒展开式构造出牛顿迭代法，论证了它的局部收敛性和收敛阶。分别讨论了单根情形和重根情形，给出了实例应用。最后给出了离散牛顿法的具体做法。
[关键词] 关键词：泰勒展开式，牛顿迭代法及其收敛性，重根，离散牛顿法。
1.牛顿法及其收敛性
求方程f（x）=0的根，如果已知它的一个近似,可利用Taylor展开式求出f(x)在附近的线性近似，即
，ξ在x与之间
忽略余项，则得方程的近似
右端为x的线性方程，若，则解,记作,它可作为的解的新近似，即
(2.4.1)
称为解方程的牛顿法.在几何上求方程的解，即求曲线y=f(x)与x轴交点.若已知的一个近似,通过点(，f())作曲线y=f(x)的切线，它与
x轴交点为,作为的新近似，如图1所示
图1
关于牛顿法收敛性有以下的局部收敛定理.
定理1设是f(x)=0的一个根，f(x)在附近二阶导数连续，且，则牛顿法(2.4.1)具有二阶收敛，且
(2.4.2)
证明由式(2.4.1)知迭代函数,，
,而，由定理可知，牛顿迭代(2.4.1)具有二阶收敛，由式可得到式(2.4.2).证毕.
定理表明牛顿法收敛很快，但在附近时才能保证迭代序列收敛.有关牛顿法半局部收敛性与全局收敛定理.此处不再讨论.
例1用牛顿法求方程的根.
,牛顿迭代为
取即为根的近似，它表明牛顿法收敛很快.
例2设＞0，求平方根的过程可化为解方程.若用牛顿法求解，由式(2.4.1)得
(2.4.3)
这是在计算机上作开方运算的一个实际有效的方法，它每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即可，计算量少，又收敛很快，对牛顿法我们已证明了它
的局部收敛性，对式(2.4.3)可证明对任何迭代法都是收敛的，因为当
时有
即,而对任意，也可验证,即从k=1开始，且
所以｛｝从k=1起是一个单调递减有下界的序列，｛｝有极限.在式(2.4.3)
中令k→∞可得，这就说明了只要，迭代(2.4.3)总收敛到,且是二阶收敛.
在例2.4的迭代法(3)中，用式(2.4.3)求只迭代3次就得到
=1.732 051,具有7位有效数字.
求非线性方程f(x)=0的根x*,几何上就是求曲线y=f(x)与x轴交点x*，若已知曲线上一点过此点作它的切线。方程为
此切线与x轴交点记作，它就是(2,4,1)给出的牛顿迭代法，由图2-3
看到牛顿法求根就是用切线近似曲线，切线与x轴交点xk+1作为方程f(x)=0
根x*的新近似。
根据定理2.3可以证明牛顿法是二阶收敛的，这就是定理4.1给出的结果，牛顿法由于收敛快，它是方程求根最常用和最重要的方法，在计算机上用牛顿法解方程的计算步骤：
算法如下：（牛顿法）
步0：
给初始近似,计算精度最大迭代步数N,0→k.
步1：计算f(x)→f,若，转步4，否则做
步2：计算，若y=0,转步4，否则
步3：若，步4，否则，若，转步4，否则转
步1
步4：打印x,f,y,k计算停止。
此算法给出了4个停止准则，保证计算在有限步结束，其中y=0及均属非正常结束，，说明用牛顿法求根得不到结果，步2中y=0实际使用时可改为
（可取）。计算例子见例2.6及例2.7，例2.7得到的计算的牛顿法程序（2.4.3）是计算机中计算开方的最有效算法，它对任意初值都能使序列
收敛于，且为平方收敛，一般只要迭代3－5次就可达到7－9位有效数字，因此计算量很省。
2.重根情形
当,则为方程(2.1.1)的重根，此时,
牛顿法的迭代函数,，故牛顿法仍收敛，但只是线性收敛.
若迭代函数改为，则，故迭代法
(2.4.5)
具有二阶收敛.
对重根还可构造另一种迭代法，令若是的m重根，则
所以是的单根，对它用牛顿法，迭代函数为
从而可构造迭代法
(2.4.6)
它也是二阶收敛的.
例3方程的根是二重根，试用牛顿法及(2.4.5)、(2.4.6)三种迭代法各计算3步.
解
方法(1)：牛顿迭代，
方法(2)：迭代法(2.4.5)，
方法(3)：迭代法(2.4.6)，
三种方法均取=1.5计算结果如下：
方法(2)与方法(3)均达到精确度，而方法(1)只有线性收敛，要达到相同精度需迭代30次.
当x*是f(x)=0的重根时，用牛顿法计算，只有线性收敛，如果已知x*是m 重根则使用迭代法（2.4.5），否则可使用（2.4.6），见例4
3.离散牛顿法
求解方程的牛顿法(2.4.1)要计算,如果导数计算不方便，通常可用计算函数差商近似，即
将它代入式(2.4.1)则得离散牛顿法：
(2.4.7)
这种迭代法与式(2.2.2)不同，它要给出两个初始近似，才能逐次计算出
.因此称为多点(两点)迭代，迭代(2.4.7)称为割线法，其几何意义是，
用曲线上两点的割线与x轴交点作为=0根的新近似，即
的根x，记作，它就是方程(2.1.1)根的新近似，如图2所示.
图2
由于割线法与单点迭代法(2.2.2)不同，其收敛性要复杂一些.但可以证明割线法(2.4.7)是超线性收敛的，且收敛阶,故割线法收敛也是很快的.
用牛顿法时，若f'(x)不好计算，可改用离散牛顿法（2.4.7），它也称为
弦截法或割线法，它的几何意义是用两点与的连线近似
曲线，以直线方程的根近似
的根x*，得到的迭代公式（2.4.7）与前面讨论的迭代法不同，必须给出两个初始近似
才能逐次计算出这种迭代法称为两点迭代，它具有超线性收敛，其收敛
阶p=1.618
例4割线法求方程的根，设取由（2.4.7）计算结果为
与例2.6用牛顿法计算3步得到的结果相当，说明此方法收敛也是很快的。
小结：1．用迭代法求方程f(x)=0的根，首先要能正确使用二分法，不动点迭
代法和牛顿法求出方程的根，并避免计算错误。作为迭代法选取合适的初始近似或有根区间是很重要的。二分法既是求方程实根x*的一种简单迭代法，又是求
方程一个足够好近似根的有效算法。当为有限区间，每次二分迭代可使有
根区间缩减一半且n次迭代Xn的误差因收敛较慢，故它常作为提供迭代法初值的算法。
2.重点是构造收敛的迭代法及牛顿法，首先必须
掌握判断不动点迭代法收敛性的条件，只有收敛的迭代法才能用于球方程的根。判断收敛性要分清是在区间，上整体收敛还是已知方程的根x，只证明它的局部收敛性。对于前者主要根据收敛定理，证明，且在上，则｛x k｝收敛于根x*。对于局部收敛性只需用定理证明即可。
3.对收敛的迭代序列｛x k｝，还要知道收敛快慢，首先要掌握收敛的定义，并
能熟练应用定理，确定或证明迭代序列｛x k｝的收敛阶p，其中计算
往往要用洛必达法则求极限。P越大则｛x k｝收敛越快，在p=1则由判
断收敛快慢，a越小则序列收敛越快。
4．对收敛慢或不收敛的迭代序列要通过加速迭代法，加速其收敛。
5．牛顿迭代法是求方程f(x)=0最重要的迭代法。
（1）用牛顿法求根公式求方程的根，要了解用此方法必须，且方法是局部收敛，一般要求初始近似x0与跟x*靠近，如x0选择不合适，可用牛顿下山法求根。
（2）牛顿迭代法是2阶收敛的，当x0选择合适时计算几步即可达到精度要求，对牛顿迭代由
可以证明具体迭代序列的收敛性。
（3）重根情形下，f′（x*）=0，但f ′（x k）≠0仍然可用牛顿法求根，但它只是线性收敛，为提高收敛速度应使用具有2阶收敛的迭代法（2.4.5）及
（2.4.6）求重根。
例如：设a>0，x>0，证明迭代公式x k+1=x k(x2k+3a)/(3x2k+a)
是计算的3阶方法，并求
这题目主要用到收敛阶的概念，它可以直接利用定义，也可以利用定理的结论证明。下面先证明迭代序列的收敛性。
证明：显然，当a>0，x>0时，x>0(k=1，2。。。)令
则
｝的极限是a，则有a=a(a+3a)/(3a+a),对，即迭代收敛，设｛x
k
解得a=0,a=± a ,取，下面只要求
故迭代序列是3阶收敛的
上面是由定义直接得到的结果，如用定理
由于
由定理可知迭代序列是3阶收敛的。且
这与前面直接用定义证明是一致的。
又如证明求 a 的牛顿迭代法
对且｛x
k
｝是单调递减序列
证明：因，故x
k
>0(k=1,2…)对
即对一切k≥1，x
k
≥ a ，从而
故x
k+1≤x
k
即｛x｝是单调递减序列，它是整体收敛的
参考文献：
[1]陈纪修,於崇华,金路.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版
社,2004:193-194.
[2]施吉林,刘淑珍,陈桂芝.计算机数值方法[M].北京:高等教育出版
社,2003:237-242,245-246.
[3]李红,徐长发.数值分析学习辅导习题解析[M].武汉:华中科技大学出版社,2005:234-235,253-254,257-258,268270.
[4]杨泮池,乔学军,林芳,等.计算方法要点与解题[M].西安:西安交通大学出版社,2006:23,34.
[5]何旭初,苏煜城,包雪松.计算数学简明教程[M].北京:高等教育出版
社,1986:203-205.
数值分析作业 课题名称代数插值法-拉格朗日插值法班级Y110201 研究生姓名董安 学号S2******* 学科、专业机械制造及其自动化 所在院、系机械工程及自动化学院2011 年12 月26日
代数插值法---拉格朗日插值法 数值分析中的插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。利用计算机解决工程问题与常规手工计算的差异就在于它特别的计算方法.电机设计中常常需要通过查曲线、表格或通过作图来确定某一参量,如查磁化曲线、查异步电动机饱和系数曲线等.手工设计时,设计者是通过寻找坐标的方法来实现.用计算机来完成上述工作时,采用数值插值法来完成。因此学好数值分析的插值法很重要。 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值.本文着重介绍拉格朗日(Lagrange)插值法。 1.一元函数插值概念 定义 设有m+1个互异的实数1x ，2x ，···，m x 和n+1 个实值函数()0 x j ， ()1 x j ， ···()n x j ，其中n ￡m 。若向量组 k f =（()0k x j ，()1k x j ，···，() k m x j ）T （k=0,1，，n ） 线性无关，则称函数组{()k x j （k=0,1， ，n ）}在点集{i x (i=0,1, ,m)}上线性无关；否 则称为线性相关。 例如，函数组{2+x ，1-x ，x+2 x }在点集{1,2,3,4}上线性无关。 又如，函数组{sin x ，n2x ，sin 3x }在点集{0， 3p ，2 3 p ，p }上线性相关。 给点n+1个互异的实数0x ，1x ，···，n x ，实值函数() f x 在包含0x ，1x ，···，n x 的某个区间[] ,a b 内有定义。设函数组 {()k x j （k=0,1， ，n ）} 是次数不高于n 的多项式组，且在点集{0x ，1x ，···，n x }上线性无关。
Runge-Kutta 法的历史发展与应用 摘要Runge-Kutta 法是极其重要的常微分方程数值解法，本文仅就其起源及发展脉络加以简要研究。对Runge 、Heun 以及Kutta 等人的贡献做出适当评述，指出Runge-Kutta 方法起源于Euler 折线法。同时对Runge-Kutta 法的应用做简要研究。 关键词 Euler 折线法 标准四阶Runge-Kutta 法 应用 一、发展历史[1] 1.1 Euler 折线法 在微分方程研究之初，瑞士数学家L.Euler(1707.4—1783.9)做出了开创性的工作。他和其他一些数学家在解决力学、物理学问题的过程中创立了微分方程这门学科。在常微分方程方面，Euler 在1743年发表的论文中，用代换kx y e =给出了任意阶常系数线性微分方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的概念。 1768年，Euler 在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求初值问题 00 (,), (1.1)() (1.2)y f x y x x X y x a '=<≤??=? 的数值解的方法，次年又把它推广到二阶方程。欧拉的想法如下：我们选择0h >，然后在00x x x h ≤≤+情况下用解函数的切线 0000()()(,)l x y x x f x y =+- 代替解函数。这样对于点 10x x h =+ 就得到 1000(,)y y hf x y =+。 在11(,)x y 重复如上的程序再次计算新的方向就会得到所谓的递推公式： 11, (,),m m m m m m x x h y y hf x y ++=+=+
“数值分析”课程 第一次小论文 郑维珍2015210459 制研15班（精密仪器系）内容：数值分析在你所在研究领域的应用。 要求：1）字数2500以上；2）要有摘要和参考文献；3）截至10.17，网络学堂提交，过期不能提交！ 数值分析在微流控芯片研究领域的应用 摘要： 作者在硕士期间即将参与的课题是微流控芯片的研制。当前，微流控芯片发展十分迅猛，而其中涉及到诸多材料学、电子学、光学、流体力学等领域的问题，加上微纳尺度上的尺寸效应，理论研究和数值计算都显得困难重重。发展该领域的数值计算，成为重中之重。本文从微流体力学、微传热学、微电磁学、微结构力学等分支入手，简要分析一下数值分析方法在该领域的应用。 微流控芯片(Microfluidic Chip)通常又称芯片实验室(Lab-On-a-Chip )，它是20世纪90年代初由瑞士的Manz和Widmer提出的[1-2]，它通过微细加工技术，将微管道、微泵、微阀、微电极、微检测元件等功能元件集成在芯片材料(基片)上，完成整个生化实验室的分析功能，具有减少样品的消耗量、节省反应和分析的时间、高通量和便携性等优点。 通常一个微流控芯片系统都会执行一个到多个微流体功能，如泵、混合、热循环、扩散和分离等，精确地操纵这些流体过程是微流控芯片的关键。因此它的研究不仅需要生命科学、MEMS、材料学、电子学、光学、流体力学等多学科领域的基础理论的支持，还需要很多数学计算。
1）微流体力学计算[3]： 对微管里的流体动力的研究主要包含了以下几个方面：(1)微管内流体的粘滞力的研究；(2)微管内气流液流的传热活动；(3)在绝热或传热的微管内两相流的流动和能量转换。这三方面的研究涵盖了在绝热、传热和多相转换条件下，可压缩和不可压缩流体在规则或不规则的微管内的流动特性研究。 由此，再结合不同的初值条件和边界条件，我们可以得到各种常微分方程或偏微分方程，而求解这些方程，就是需要很多数值分析的知识。例如，文献[4]里就针对特定的初值和边界条件，由软件求解了Navier-Stodes方程： 文献[4]专门有一章节讨论了该方程的离散化和数值求解。 微流体力学主要向两个方面发展：一方面是研究流动非定常稳定特性、分叉解及微尺寸效应下的湍流流动的机理，更为复杂的非定常、多尺度的流动特征，高精度、高分辨率的计算方法和并行算法；另一方面是将宏观流体力学的基本模型，结合微纳效应，直接用于模拟各种实际流动，解决微纳芯片生产制造中提出来的各种问题。 2）微传热方程计算： 常微分、偏微分方程的数值求解应用较为广泛的另一问题就是微流体传热问题。由传热学的相关知识，我们可以达到如下的传热学基本方程： 该方程在二维情况下经过简化和离散，可以得到如教材第三章所讲的“五点差分格式”的方程组，从而采取数值方法求解[5]。 除此之外，微结构芯片在加工和制造过程中也会有很多热学方面的问题，例如文献[6]所反映的注塑成型工艺中，就有大量的类似问题的解决。 3）微电磁学计算： 由于外加电场的作用，电渗流道中会产生焦耳热效应。许多研究者对电渗流道中的焦耳热效应进行了数值模拟研究。新加坡南洋理工大学的G. Y. Tang等在电渗流模型的基础上，考虑了与温度有关的物理系数，在固一液祸合区域内利用
《数值分析》课程设计实验报告 龙格—库塔法分析Lorenz 方程 200820302033 胡涛 一、问题叙述 考虑著名的Lorenz 方程 () dx s y x dt dy rx y xz dt dz xy bz dt ?=-???=--???=-?? 其中s ，r ，b 为变化区域内有一定限制的实参数，该方程形式简单，表面上看并无惊人之处，但由该方程揭示出的许多现象，促使“混沌”成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也产生了巨大的影响。 二、问题分析 Lorenz 方程实际上是一个四元一阶常微分方程，用解析法精确求解是不可能的，只能用数值计算，最主要的有欧拉法、亚当法和龙格- 库塔法等。为了得到较高精度的，我们采用经典四阶龙格—库塔方法求解该问题。 三、实验程序及注释 （1）算法程序 function [T]=Runge_Kutta(f,x0,y0,h,n) ％定义算法，其中f 为待解方程组， x0是初始自变量，y0是初始函数 值，h 是步长，n 为步数 if nargin<5 n=100; ％如果输入参数个数小于5，则步数 n=100 end r=size(y0);r=r(1); ％返回初始输出矩阵的行列数，并将 值赋给r(1) s=size(x0);s=s(1); ％返回初始输入矩阵的行列数，并 将值赋给s(1) r=r+s; T=zeros(r,n+1); T(:,1)=[y0;x0]; for t=2:n+1 ％以下是具体的求解过程 k1=feval(f,T(1:r-1,t-1)); k2=feval(f,[k1*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2]); k3=feval(f,[k2*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2]); k4=feval(f,[k3*h+T(1:r-1,t-1);x0+h]); x0=x0+h; T(:,t)=[T(1:r-1,t-1)+(k1+k2*2+k3*2+k4)*(h/6);x0]; end
牛顿迭代法及其应用 [摘要]本文研究应用泰勒展开式构造出牛顿迭代法，论证了它的局部收敛性和收敛阶。分别讨论了单根情形和重根情形，给出了实例应用。最后给出了离散牛顿法的具体做法。 [关键词] 关键词：泰勒展开式，牛顿迭代法及其收敛性，重根，离散牛顿法。 1.牛顿法及其收敛性 求方程f（x）=0的根，如果已知它的一个近似,可利用Taylor展开式求出f(x)在附近的线性近似，即 ，ξ在x与之间 忽略余项，则得方程的近似 右端为x的线性方程，若，则解,记作,它可作为的解的新近似，即 (2.4.1) 称为解方程的牛顿法.在几何上求方程的解，即求曲线y=f(x)与x轴交点.若已知的一个近似,通过点(，f())作曲线y=f(x)的切线，它与 x轴交点为,作为的新近似，如图1所示
图1 关于牛顿法收敛性有以下的局部收敛定理. 定理1设是f(x)=0的一个根，f(x)在附近二阶导数连续，且，则牛顿法(2.4.1)具有二阶收敛，且 (2.4.2) 证明由式(2.4.1)知迭代函数,， ,而，由定理可知，牛顿迭代(2.4.1)具有二阶收敛，由式可得到式(2.4.2).证毕. 定理表明牛顿法收敛很快，但在附近时才能保证迭代序列收敛.有关牛顿法半局部收敛性与全局收敛定理.此处不再讨论. 例1用牛顿法求方程的根. ,牛顿迭代为 取即为根的近似，它表明牛顿法收敛很快.
例2设＞0，求平方根的过程可化为解方程.若用牛顿法求解，由式(2.4.1)得 (2.4.3) 这是在计算机上作开方运算的一个实际有效的方法，它每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即可，计算量少，又收敛很快，对牛顿法我们已证明了它 的局部收敛性，对式(2.4.3)可证明对任何迭代法都是收敛的，因为当 时有 即,而对任意，也可验证,即从k=1开始，且 所以｛｝从k=1起是一个单调递减有下界的序列，｛｝有极限.在式(2.4.3) 中令k→∞可得，这就说明了只要，迭代(2.4.3)总收敛到,且是二阶收敛. 在例2.4的迭代法(3)中，用式(2.4.3)求只迭代3次就得到 =1.732 051,具有7位有效数字. 求非线性方程f(x)=0的根x*,几何上就是求曲线y=f(x)与x轴交点x*，若已知曲线上一点过此点作它的切线。方程为 此切线与x轴交点记作，它就是(2,4,1)给出的牛顿迭代法，由图2-3 看到牛顿法求根就是用切线近似曲线，切线与x轴交点xk+1作为方程f(x)=0 根x*的新近似。 根据定理2.3可以证明牛顿法是二阶收敛的，这就是定理4.1给出的结果，牛顿法由于收敛快，它是方程求根最常用和最重要的方法，在计算机上用牛顿法解方程的计算步骤： 算法如下：（牛顿法） 步0： 给初始近似,计算精度最大迭代步数N,0→k.
数值分析学习感想 一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门 课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处 理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微 分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有 了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误 差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误 差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在 别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数 值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出 的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。 数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数 学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中 的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容 易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的， 这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的 都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题， 从而知道如何去解决。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下， 我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自 己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触 到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 计算132 2013014923 张霖篇二：数值分析学习报告 数值分析学习心得报告 班级：11级软工一班 姓名： * * * 学号: 20117610*** 指导老师：* * * 学习数值分析的心得体会 无意中的一次选择，让我接触了数值分析。 作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学 和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比 较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab。matrix laboratory，即矩阵实验 室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影 响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强 大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语 言接口。 根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab有许多优点： 首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c语言，机器语言，java语言，这
插值方法总结 摘 要：本文是对学过的插值方法进行了总结使我们更清楚的知道那一种方法适合那一种型。 关键词：插值；函数；多项式；余项 （一）Lagrange 插值 1．Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏≠=--= n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0 = 称为Lagrange 插值基函数 2．Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件 )()(k k n x f x L =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式，称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0)1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商
i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 2．Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 （三）Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为 0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，' 1f ，…，' n f ，则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(' '1212 ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα 称为Hermite 插值基函数，)(x l j 是Lagrange 插值基函数，若],[22b a C f n +∈，插值误差为 220) 22(12)()()! 22() ()()(n x n n x x x x n f x H x f --+= -++ ξ，),()(b a x x ∈=ξξ （四）分段插值 设在区间],[b a 上给定n+1个插值节点 b x x x a n =<<<= 10 和相应的函数值0y ，1y ，…，n y ，求作一个插值函数)(x ?，具有性质
对于牛顿型方法的改进 对于函数f(x),假定已给出极小点* x 的一个较好的近似点0x ，则在0x 处将f(x)泰勒展开到二次项，得二次函数()x φ。按极值条件'()0x φ=得()x φ的极小点，用它作为*x 的第一个近似点。然后再在1x 处进行泰勒展开，并求得第二个近似点2x 。如此迭代下去，得到一维情况下的牛顿迭代公式'k 1''k ()() k k f x x x f x +=- (k=0,1,2,…) 对于多元函数f(x),设k x 为f(x)极小点*x 的一个近似值，在k x 处将f(x)进行泰勒展开，保留到二次项得21()()()()()()()()2T T k k k k k k f x x f x f x x x x x f x x x ?≈=+?-+ -?-， 式中 2()k f x ?—f(x)在k x 处的海赛矩阵。 设1k x +为()x ?的极小点，它作为f(x)极小点*x 的下一个近似点，根据极值必要条件 1()0k x ?+?=即21()()()k k k k f x f x x x +?+?-得1 21()()k k k k x x f x f x -+??=-???? （k=0,1,2，…） 上式为多元函数求极值的牛顿法迭代公式。 对于二次函数，f(x)的上述泰勒展开式不是近似的，而是精确地。海赛矩阵是一个常矩阵，其中各元素均为常数。因此，无论从任何点出发，只需一步就可以找到极小点。因为若某一迭代法能使二次型函数在有限次迭代内达到极小点，则称此迭代方法是二次收敛的，因此牛顿方法是二次收敛的。 从牛顿法迭代公式的推演中可以看到，迭代点的位置是按照极值条件确定的，其中并未含有沿下降方向搜寻的概念。因此对于非二次函数，如果采用上述牛顿法公式，有时会使函数值上升，即出现1>k k f f +（x ）（x ） 现象。为此对上述牛顿方法进行改进，引入数学规划法的概念。 如果把1 2()()k k k d f x f x -??=-????看作是一个搜索方向，则采取如下的迭代公式 121()()k k k k k k k k x x a d x a f x f x -+??=-=-???? （k=0,1,2,…） 式中 k a —沿牛顿方向进行以为搜索的最佳步长k a 可通过如下极小化过程求得1()()()min k k k k k k k a f x f x a d f x a d +=+=+。由于此种方法每次迭代都在牛顿方向上进 行一维搜索，这就避免了迭代后函数值上升的现象，从而保持了牛顿法二次收敛的特性，而对初始点的选取并没有苛刻的要求。其计算步骤如下：
中北大学 《数值分析》 常微分方程初值问题的数值解法 专业： 班级： 学号： 姓名: 日期: 2012.12.26
常微分方程初值问题的数值解法 摘 要 微分方程的数值解法在科学技术及生产实践等多方面应用广泛. 文章分析了构造常微分方程初值问题数值解法的三种常用基本方法，差商代替导数法，数值积分法及待定系数法，推导出了Euler 系列公式及三阶龙格-库塔公式，指出了各公式的优劣性及适用条件，并对Euler 公式的收敛性、稳定性进行了分析。 Abstract The numerical solution of differential equations is widely used in science, technology, production practices and many other fields. This paper analyzed three kinds of basic methods for constructing numerical solutions for initial value problem of ordinary differential equations ：difference quotient instead of derivative method, numerical integral method and undetermined coefficients method. At the same time, the paper deduces the Euler series formula and the classical third order Runge-Kutta formula. In addition, the paper pointed out the advantages and disadvantages of each formula and application condition, it also analyzed the convergence and stability of the Euler formula. 1.引言 科学技术及实际生产实践中的许多问题都可归结为微分方程的求解问题，使用较多的是常微分方程初值问题的求解。对于一阶常微分方程的初值问题 000dy /dx f (x,y),y(x )y ,x x b ==<<，其中f 为已知函数，0y 是初始值。如 果函数f 关于变量y 满足Lipschitz 条件，则初值问题有唯一解。只有当f 是一些特殊类型的函数时，才能求出问题的解析解，但一般情况下都满足不了生产实践与科学技术发展的需要，因此通常求其数值解法。 2.主要算法 数值解法是一种离散化的方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。基本思想是离散化，首先要将连续区间离散化，对连续区域[]0x ,b 进行剖分01n 1n x x x x b -<<Λ<<=，n n 1n h x x +=-为步长；其次将其函离散
课 程 设 计 我再也回不到大二了， 大学是那么短暂 设计题目 数值分析 学生姓名 李飞吾 学 号 x x x x x x x x 专业班级 信息计x x x x x 班 指导教师 设 计 题 目 共15题如下 成绩
数值分析课程设计 1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？（15621） 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题 解：算法分析：解该问题主要使用递推算法，关于椰子数目的变化规律可以设起初的椰子数为0p ，第一至五次猴子在夜里藏椰子后，椰子的数目分别为01234,,,,p p p p p 再设最后每个人分得x 个椰子,由题: 14 (1)5 k k p p +=- （k=0,1,2,3,4）51(1)5 x p =- 所以551p x =+,11k k p p +=+利用逆向递推方法求解 15 1,4 k k p p +=+ （k=0,1,2,3,4） MATLAB 代码： n=input('n= '); n= 15621 for x=1:n p=5*x+1; for k=1:5 p=5*p/4+1; end if p==fix(p), break end end disp([x,p]) 1．2 设，1 5n n x I dx x =+? （1）从0I 尽可能精确的近似值出发，利用递推公式： 11 5(1,2,20)n n I I n n -=-+= 计算机从1I 到20I 的近似值； （2）从30I 较粗糙的估计值出发，用递推公式：
基于MATLAB曲线拟合对离散数据的处理和研究 摘要：曲线拟合是数值分析中的一种普遍且重要的方法，求解拟合曲线的方法也有很多，这里主要介绍利用MATLAB曲线拟合工具箱对离散数据点做你和处理，并与利用最小二乘法求相应的拟合曲线的方法做对比，突出MATLAB曲线拟合工具箱的优点，并阐述了其适用的范围，最后通过利用MATLAB曲线拟合工具箱对实例中离散数据点的拟合来具体说明它的使用方法和优点。 关键字：数值分析；MATLAB；曲线拟合；最小二乘法 一问题探究 在很多的实际情况中，两个变量之间的关系往往很难用具体的表达式把它表示出来，通常只能通过实际测量得到一些互不相同的离散数据点，需需要利用这些已知的数据点估计出两个变量的关系或工件的具体轮廓，并要得到任意未知数据点的具体数据，这个过程就需要用到拟合或差值方法来实现，这里主要讨论拟合的方法。 曲线拟合可以通过MATLAB编程来完成，通常为了达到更好的讷河效果需要做多次重复修改，对于非线性曲线拟合还需要编写复杂的M-文件，运用MATLAB曲线拟合工具箱来实现离散数据点的曲线拟合是一种直观并且简洁的方法。 二曲线拟合的最小二乘法理论 假设给定了一些数据点（Xi,Yi），人们总希望找到这样的近似的函数，它既能反映所给数据的一般趋势，又不会出现较大的偏差，并且要使构造的函数与被逼近函数在一个给定区间上的偏差满足某种要求。这种思想就是所谓的“曲线拟合”的思想。 曲线拟合和差值不同，若要求通过所有给定的数据点是差值问题，若不要求曲线通过所有给定的数据点，而只要求反映对象整体的变化趋势，拟合问题，曲线拟合问题最常用的解决方法是线性最小二乘法[1],步骤如下： 第一步：先选定一组函数r1(x),r2(x),…,rm(x),m 题目：论数值分析在数学建模中的应用 学院: 机械自动化学院 专业: 机械设计及理论 学号: 学生姓名: 日期: 2011年12月5日 论数值分析在数学建模中的应用 摘要 为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论了数值分析在数学建模中的应用。数值分析不仅应用模型求解的过程中，它对模型的建立也具有较强的指导性。研究数值分析中插值拟合，解线性方程组，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用，使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。 关键词 数值分析；数学建模；线性方程组；微分方程 the Application of Numerical Analysis in Methmetical Modeling Han Y u-tao 1 Bai Y ang 2 Tian Lu 2 Liu De-zheng 2 （1 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134 2 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134) Abstract In order to meet the technological scientific researchers who use mathematical theory to solve practical problems, the use of numerical analysis in mathematical modeling is discussed.Numerical analysis not only solve the model,but also relatively guide the model.Research on some numerical methods in numerical analysis which usually used in mathmetical modeling and error analysis will be a better way to solve practical problems. Key Words Numerical Analysis ；Mathematical Modeling; Linear Equations ；differential equation 1. 引言 数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。 2. 数值分析在模型建立中的应用 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。 以非负整数k 表示时间，记k x 为变量x 在时刻k 的取值，则称k k k x x x -=?+1为k x 的一阶差分，称k k k k k x x x x x +-=??=?++1222)(为k x 的二阶差分。类似课求出k x 的n 阶差分k n x ?。由k ，k x ，及k x 的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k 周末体重为)(k w ，第k 周吸收热量为)(k c ，热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型 数值分析结课论文 论文题目：浅谈数值分析在解决实际问题中的应用学校：天津商业大学 专业班级：数学类 1 0 0 3 班 姓名：何铭 学号： 2 0 1 0 2 3 4 1 摘要:数值分析是一门历史悠久的高等教育课程之一。是其他数学课程及应用的基础。同时它的应用也非常广泛，在经济生活以及科研教育领域都有应用。随着科学技术和信息技术的飞速发展，通过计算机编程方面的开发应用，数值分析也被更加广泛的应用于学习和生活中，使得人们对数值分析有了更深刻的了解以及最全面的认识。 正文:数值分析的原理和方法在各学科中的应用越来越广泛，因此将原来的主要面向应用数学专业开设的数值分析面向理工科大学中数学要求较高的专业本科生。同时由于科学及计算机的发展，计算机算法语言的多样化及数学软件的普及，要求数值分析更加强调算法原理及理论分析，而且加入了数学软件例如：MATLAB的学习以便学习及应用。数值分析目前涵盖了四大板块：极限论、微分学、积分学、级数理论，使得数学分析对计算机、物理、化学、生物、电教、经济学等课程产生了直接而重要的影响。另外，数学分析不仅在内容上为后继课程学习提供了必要的基础知识，而且它所蕴涵的分析数学思想、逻辑推理方法、解决问题的技巧，对于整个高等数学的学习及科学研究都起到基石和推波助澜的作用。 几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法也越来越多地应用于科学技术领域，新的计算性交叉学科分支不断涌现，如？：计算力学，计算物理，计算化学，计算生物学，计算经济学，统称科学计算，它涉及数学的各个分支，研究它们适合于计算机编程的算法就是计算数学的研究范畴。计算数学是各种计算性学科的共性基础，兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科。科学计 数值分析实验指导书 实验一 1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？ 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题（15621）。 1．2 设，1 05n n x I dx x =+? （1）从0I 尽可能精确的近似值出发，利用递推公式： 11 5(1,2,20)n n I I n n -=-+= 计算机从1I 到20I 的近似值； （2）从30I 较粗糙的估计值出发，用递推公式： 111 (30,29,,3,2)55n n I I n n -=-+= 计算从1I 到20I 的近似值； （3）分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。 1．3 绘制Koch 分形曲线 问题描述：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的另两条边代替，形成具有5个结点的新的图形（图1-4）；在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的另两条边代替，再次形成新的图形（图1-5），这时，图形中共有17个结点。这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。在迭代过程中，图形中的结点将越来越多，而曲线最终显示细节的多少取决于所进行的迭代次数和显示系统的分辨率。Koch 分形曲线的绘制与算法设计和计算机实现相关。 《数值分析与科学计算概述》研究 第一章对象描述 一、数值分析与科学计算的概念 科学计算即数值计算，科学计算是指应用计算机处理科学研究和工程技术中所遇到的数学计算。在现代科学和工程技术中，经常会遇到大量复杂的数学计算问题，这些问题用一般的计算工具来解决非常困难，而用计算机来处理却非常容易。 科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的学科，发展迅速，它与理论研究和科学实验成为现代科学发展的三种主要手段，它们相辅相成又互相独立，在实际应用中导出的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型求其数值解，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为可以求出精确解的线性模型，但这样做往往不能满足近似程度的要求，因此使用数值方法直接求解做较少简化的模型，可以得到满足近似程度要求的结果，使科学计算发挥更大的作用。 自然科学规律通常用各种类型的数学方程式表达，科学计算的目的就是寻找这些方程式的数值解。这种计算涉及庞大的运算量，简单的计算工具难以胜任。在计算机出现之前，科学研究和工程设计主要依靠实验或试验提供数据，计算仅处于辅助地位。计算机的迅速发展，使越来越多的复杂计算成为可能。利用计算机进行科学计算带来了巨大的经济效益，同时也使科学技术本身发生了根本变化：传统的科学技术只包括理论和试验两个组成部分，使用计算机后，计算已成为同等重要的第三个组成部分。 数值分析也称计算方法，它与计算工具发展密切相关。是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为计算数学的主体部分。在电子计算机出现以前，计算工具只有算盘，算图，算表和手摇及电动计算机。计算方法只能计算规模较小的问题。 数值分析的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科。数 本科生课程论文 题目：数值分析课程设计姓名： 学院：理学与信息科学学院专业：信息与计算科学专业班级： 学号： 指导教师： 完成时间：2011年12月23日 二○一一年十二月二十三日 课 程 论 文 任 务 书 论文题目 数值分析课程设计 论文内容（需明确列出研究的问题）： 运用MATLAB 数学软件设计出数值分析的求拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式以及Polyfit 多项函数拟合来求22)(cx bx a x P ++=的拟合曲线和列主元Guass 消去法 解方程组。 资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考 文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。（根据情况修改） 发出任务书日期2011.12.18 完成论文（设计）日期 2011.12.23 学科组或教研室意见（签字） 院、系（系）主任意见（签字） 目录 前言........................................................................................................ - 1 - 一、设计题1： .................................................................................... - 2 - （一）、求拉格朗日插值多项式 ................................................... - 2 - 1.1理论知识 ............................................................................. - 2 - 1.2拉格朗日插值的设计思路与算法如下： ......................... - 3 - 2.求拉格朗日插值多项式的程序如下：(即Language.m文件) - 3 - 3.程序运行操作过程与输出结果 ............................................ - 4 - 4.对计算过程与结果分析 ........................................................ - 5 - （二）、求牛顿插值多项式 ......................................................... - 5 - 1.1理论知识 ............................................................................. - 5 - 1.2设计思路与算法步骤 ......................................................... - 6 - 2.求牛顿插值多项式的程序如下：(即Newton.m文件) ....... - 6 - 3.程序运行操作过程与输出结果 ............................................ - 7 - 4．对计算过程与结果的分析 ................................................. - 8 - 5.在课程设计中的心得体会 .................................................... - 8 - 二、设计题2： .................................................................................... - 8 - 1.1理论知识 ............................................... 错误！未定义书签。 1.2算法步骤 ............................................... 错误！未定义书签。 2程序运行操作过程与输出结果 .............. 错误！未定义书签。数值分析论文
数值分析论文
数值分析课程设计实验指导书
数值分析论文
数值分析课程设计
相关主题
文本预览