常微分方程试卷A 重理工资料库

常微分方程期末考试试卷(6)

学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______

一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全

微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求dxdy =f(x,y)满足00)(yx的解等价于求积分方程____________________的连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程),(yxfdxdy

的解 y=),,(00yxx作为00,,yxx的函数在它的存在范围内是__________。

5、若)(),...(),(321txtxtx为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组xtAx)(/的_________________称之为xtAx)(/的一个基本解组。

7、若)(t是常系数线性方程组Axx/的基解矩阵，则expAt =____________。

8、满足___________________的点（**,yx），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定

的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：dxdy=312yxyx

2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

3、讨论方程23dxdy31y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解

4、求解常系数线性方程：texxxtcos32///

常微分方程第一二章考测验试卷(8)

班级： 学号： 姓名： 得分：

一．填空题（10 分）

1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

2．当 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程。

3.方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是 ，有只含y的积分因子的充要条件是 。

4． 称为伯努利方程，它有积分因子 。

5． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经换 ，可化为伯努利方程。

二.求一曲线，是其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。（10 分）

三.出伯努利方程的积分因子。（15 分）

四．求下列方程的通解。（45 分）

1．33(1)0yxy

2. dxdy =312yxyx

3．x(4ydx+2xdy)+y3(3ydx+5xdy)=0

4．（y-1-xy）dx+xdy=0

5．dxdy=y+sinx

6．(x2y3+xy)y'=1

7．(x2-1)y'+y2-2xy+1=0

8.32yxdx+4223yxydy=0

五．证明题。（20 分）

（1） 一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解

（2） 齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。 参考答案

一． 填空题。

1．dxdy=P（x）y+Q(x) e dxxP)( edxxP)((cdxexQdxxP)()()

2．xyxNyyxM),(),(

3．NXNyMx)( MXNyMy)(

4．nyxQyxPdxdy)()( edxxPn)()1(

常 微 分 方 程

试卷（一至十）

试 卷（一）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、以y1＝e2x，y2=exsinx，y3=excosx为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。

2、微分方程4x3y3dx+3x4y2dy=0的通积分是 。

3、柯西问题xdxdy，y（0）=1的解是 。

4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。

6、微分方程F(x，y，p)=0若有奇解y= (x)，则y= (x) 满足的P-判别式是 。

7、线性微分方程组YxAdxdY)(的解组Y1（x），Y2（x）…，Yn（x）在某区间上线性无头的充分必要条件是

。

8、设A＝ ，则矩阵指数函数exA＝ 。

9、方程0yyy的通解是 。

10、由方程033yyayay的通解是 。

二、解下列各方程（7′×4＝28）

1、求方程31yxyxdxdy的通解：

2、 1 0 1

0 -1 0

0 0 2

(1+x2)y〞=2xy′

3)(,1)(oyoy 3、621yxyxdxdy

4、xexyyy2)53(23

三、求单参数曲线族xy=c的正交轨线族（10′）

四、解微分方程组（12′）

dxdY Y

五、设二阶方程0442yyxyx有特解y1(x)=x，求此方程的通解（8′）

六、有一容积为10000m3的车间。车间的空气含有0.12%的CO2，今用一台风量为1000m3/min的鼓风机通入新鲜空气，新鲜空气中含有0.04%的CO2，向鼓风机开动10min后，车间内CO2的百分比降到多少？（12′）

3 1 0

-4 -1 0

《常微分方程》模拟练习题及参考答案

一、填空题（每个空格4分，共80分）

1、n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。

2、一阶微分方程2dyxdx的通解为 2yxC（C为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为

21yx ，与直线y=2x+3相切的解是 24yx ，满足条件303ydx的解为 22yx 。

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。

4、对方程2()dyxydx作变换 uxy ，可将其化为变量可分离方程，其通解为

tan()yxCx 。

5、方程21ddyxy过点)1,2(共有 无数 个解。

6、方程''21yx的通解为 4212122xxyCxC ，满足初始条件13|2,|5xxyy的特解为

421912264xxyx 。

7、方程xxyxydd 无 奇解。

8、微分方程2260dydyydxdx可化为一阶线性微分方程组

6dyzdxdzzydx 。

9、方程yxydd的奇解是 y=0 。

10、35323dydyxdxdx是 3 阶常微分方程。

11、方程22dyxydx满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy平面 。

12、微分方程22450dydyydxdx通解为 512xxyCeCe ，该方程可化为一阶线性微分方程组

45dyzdxdzzydx 。

13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()yxyx成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。 14、设1342A，则线性微分方程组dXAXdt有基解矩阵 25253()4tttteetee 。

二、解方程（每个小题8分，共120分）