模型54：复合场下的相遇
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第 1 页 模型54:复合场下的相遇 真题001☆[2016四川计算11](19分) 如图所示，图面内有竖直线DD＇，过DD＇且垂直于图面的平面将空间分成I、II两区域．区域I有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直图面的匀强磁场B(图中未画出)；区域II有固定在水平面上高2hl、倾角π/4的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD＇距离4sl，区域II可加竖直方向的大小不同的匀强电场(图中未画出)；C点在DD＇上，距地面高3Hl．零时刻，质量为m、带电量为q的小球P在K点具有大小0vgl、方向与水平面夹角π/3的速度．在区域I内做半径3/πrl的匀速圆周运动，经C点水平进入区域II．某时刻，不带电的绝缘小球A由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球P相遇．小球视为质点，不计空气阻力及小球P所带电量对空间电磁场的影响．l已知，g为重力加速度． (1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)若小球A、P在斜面底端相遇，求释放小球A的时刻tA； (3)若小球A、P在时刻/tlg(β为常数)相遇于斜面某处，求此情况下区域II的匀强电场的场强E，并讨论场强E的极大值和极小值及相应的方向．
第 2 页 真题002☆[2011四川计算25](20分) 如图所示，正方形绝缘光滑水平台面WXYZ边长l=1.8m，距地面h=0.8m．平行板电容器的极板CD间距d=0.1m且垂直放置于台面，C板位于边界WX上，D板与边界WZ相交处有一小孔．电容器外的台面区域内有磁感应强度B=1T．方向竖直向上的匀强磁场．电荷量q=5×10－13C的微粒静止于W处，在CD间加上恒定电压U=2.5V，板间微粒经电场加速后由D板所开小孔进入磁场(微粒始终不与极板接触)，然后由XY边界离开台面．在微粒离开台面瞬时，静止于X正下方水平地面上A点的滑块获得一水平速度，在微粒落地时恰好与之相遇．假定微粒在真空中运动．极板间电场视为匀强电场，滑块视为质点，滑块与地面间的动摩擦因数=0.2，取g=10m/s2． (1)求微粒在极板间所受电场力的大小并说明两板的极性； (2)求由XY边界离开台面的微粒的质量范围； (3)若微粒质量mo=1×10－13kg，求滑块开始运动时所获得的速度．
第 3 页 真题003☆[2013四川计算11](17分) 如图所示，竖直平面(纸面)内有直角坐标系xOy，x轴沿水平方向．在x≤0的区域内存在方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B1的匀强磁场．在第二象限紧贴y轴固定放置长为l、表面粗糙的不带电绝缘平板，平板平行于x轴且与x轴相距h．在第一象限内的某区域存在方向相互垂直的匀强磁场(磁感应强度大小为B2、方向垂直于纸面向外)和匀强电场(图中未画出)．有一质量为m、不带电的小球Q从平板下侧A点沿x轴正向抛出；另一质量也为m、带电量为q的小球P从A点紧贴平板沿x轴正向运动，变为匀速运动后从y轴上的D点进入电磁场区域做匀速圆周运动，经14圆周离开电磁场区域，沿y轴负方向运动，然后从x轴上的K点进入第四象限．小球P、Q相遇在第四象限的某一点，且竖直方向速度相同．设运动过程中小球P电量不变，小球P和Q始终在纸面内运动且均看作质点，重力加速度为g．求 (1)匀强电场的场强大小，并判断P球所带电荷的正负； (2)小球Q的抛出速度v0的取值范围； (3)B1是B2的多少倍．
第 4 页 参考答案和解析 答案001☆(1)3mgql；(2)322lg（）；(3)见解析 (1)小球P在Ⅰ区做匀速圆周运动，则小球P必定带正电且所受电场力与重力大小相等．设Ⅰ区磁感应强度大小为B，由洛伦兹力提供向心力得200vqvBmr①，0mvBqr②，代入题设数据得3mgBql． (2)小球P在区域Ⅰ做匀速圆周运动转过的圆心角为θ，运动到C点的时刻为tC，到达斜面低端时刻为t1，有0Crtv③，01cot()Cshvtt④，小球A释放后沿斜面运动加速度为aA，与小球P在时刻t1相遇于斜面底端有sinAmgma⑤，211()sin2AAhatt⑥，联立以上方程可得(322)Altg⑦． (3)设所求电场方向向下，在t'A时刻释放小球A，小球P在区域Ⅱ加速度为aP，有201()()cos2CAAsvttatt⑧，PmgqEma⑨，2211()sin()22AAPCHhattatt⑩，联立相关方程解得222210[2(1)(1)](11)(1)(1)mgEqq ，由于小球P落在斜面上，则2l≤x≤4l和l≤y≤3l，故求得3≤β≤5，由此可得场强极小值为min0E；场强极大值为max7/8Emgq，方向竖直向上． 答案002☆(1)1.25×10－11N；C为正，D为负；(2)8.1×10－14kg＜m≤2.89×10－13kg；(3)4.15m/s (1)微粒在极板间所受电场力大小为qUFd①，代入数据F=1.25×10－11N②；由微粒在磁场中的运动可判断微粒带正电荷，微粒由极板间电场加速，故C板为正极，D板为负极． (2)若粒子的质量为m，刚进入磁场时的速度大小为v，由动能定理212Uqmv③；微粒在磁场中做匀速圆周运动，洛伦磁力充当向心力，若圆周运动半径为R，则有2vqvBmR④．微粒要从XY边界离开台面，则圆周运动的边缘轨迹如图所示，半径的极小值与极大值为12lR⑤，2Rld⑥，联立③④⑤⑥，代入数据有8.1×10－14kg＜m≤2.89×10－13kg⑦．
第 5 页 (3)如图所示，微粒在台面以速度为v做以O点位圆心，R为半径的圆周运动；从台面边缘P点沿与XY边界成θ角飞出做平抛运动，落地点Q点，水平位移s，下落时间t．设滑块质量为M，滑块获得的速度v0后在t内与平台前侧面成φ角度方向，以加速度a做匀减速直线运动到Q，经过位移为k．由几何关系可得coslRR⑧；根据平抛运动有2htg⑨和s=vt⑩；对于滑块，由牛顿定律及运动学方程有μMg=Ma⑪和2012kvtat⑫；再有余弦定理222(sin)2(sin)cosksdRsdR⑬；及正弦定理sinsinsk⑭；联立③④和⑧⑭，代入数据解得：04.15/vms⑮，0arcsin0.8(53)或． 答案003☆(1)mgq，正电；(2)0
