汕尾普宁华美实验学校17—18学年下学期高二期中考试数学(理)试题(附答案)

广东省揭阳市汕尾普宁华美实验学校17—18学年下学期高二期中考试数学（理）试题

考试时间：120分钟；满分：150分；

注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案．．．．．．填涂．．在答题．．．卷．上．）．

1．设为虚数单位，则复数（ ） A. 0 B. 2 C.

D.

2．命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是( )

A. 若a≤b，则a＋c≤b＋c B. 若a＋c≤b＋c，则a≤b

C. 若a＋c＞b＋c，则a＞b D. 若a＞b，则a＋c≤b＋c

3．方程421414xxCC的解集为( )

A. {4} B. {14} C. {14,2} D. {4,6}

4．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为,若,则△ABC的面积为（ ）

A. B. 1 C. D. 2

5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的

选派方法共有（ ） A. 60种 B. 48种 C. 30种 D. 10种

6．ABC中，角,,ABC成等差数列，则222sinsinsinsinsinACBAC（ ）

A. 12 B. 1 C. 32 D. 3

7．已知函数21,10{ 1,01xxfxxx，则11)(dxxf的值为（ ）

A. 12 B. 124 C. 14 D. 122 8．已知圆1C： 2251xy， 2C： 225225xy，动圆C满足与1C外切且2C与内切，若M为1C上的动点，且10CMCM，则CM的最小值为（ ）

A. 22 B. 23 C. 4 D. 25

9．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（ ）

A. 《雷雨》只能在周二上演 B. 《茶馆》可能在周二或周四上演

C. 周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D. 四部话剧都有可能在周二上演

10．用数学归纳法证明1112fnnn 1253124n nN过程中：假设nkkN时，不等式2524fk成立，则需证当1nk时， 25124fk也成立，则1fkfk（ ）

A. 134k B. 11341kk C. 112323433kkk

D.

111323334kkk

11．己知曲线3211332fxxxax上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，

则实数a的取值范围为 （ ）

A. 133,4 B. 133]4（， C. 13]4（， D. 134（，）

12．已知表面积为100的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．

13．已知O为坐标原点， 3,2,4,0,5,1AB，若23OCAB，则C的坐标是__________．

14．设,xy满足10{2320

20xyxyy，则34zxy的最大值是_____.

15．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活

动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_______________.

16．设函数2221,xexexfxgxxe，对任意的12,0,xx，不等式121gxfxkk恒成立，则正数k的取值范围是__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.）

17．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，

轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．

18．（12分）已知是数列{}的前项和，.

（Ⅰ）求数列{}的通项公式； （Ⅱ）已知=，求数列{}的前项和.

19．（12分）已知函数214ln52fxxxx．

1求fx的极值；2若fx在区间21mm，上单调递减，求实数m的取值范围．

20．（12分）如图，在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD， ADAB，

DC∥AB， 1PA， 2,2ABPDBC．

（1）求证：平面PAD 平面PCD;

（2）若棱PB上存在一点E，使得二

面角EACP的余弦值为33，

求AE与平面ABCD所成角的正弦值．

21．（12分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点31,2M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点2,1P的直线l与C相交于不同的两点,AB，满足2PAPBPM？

若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22．已知函数1lnfxaxaRx.

（1）讨论fx的单调性；

（2）若0,,0xefx恒成立，求实数a的取值范围. 高二级理科数学期中考试 答案

参考答案

1．C 2．A 3．D 4．A5．C 6．B7．B8．A9．C10．C11．A 12．B

8. 【解析】∵圆1C： 2251xy，圆2C：

225225xy，

动圆C满足与1C外切且2C与内切，设圆C的半径为r ，

由题意得1211516CCCCrr（）（）， ∴则C的轨迹是以（505,0，， 为焦点，长轴长为16的椭圆，

∴其方程为221,6439xy 因为10CMCM，即CM为圆1C 的切线，要CM的最小，只要1CC最小，设00,Mxy，则

2222220100001511025391164xCMCCxyxx

20002510641,88,64xxx

2min25810864122.64CM ，选A.

12【解析】设球的半径为，内接圆锥的底面半径为，高为，由题意知，，解得=5，则球心到圆锥底面的距离为，所以，所以该圆锥的体积为，设，则 =()，所以= =，当时，＞0，当时，＜0，所以当时，=，故选B．

13．14102,,33 14．5 15．18 16．1k

【解析】当0x时， 222211122exfxexexexxx， 10,x时，函数1fx有最小值222212,,'xxxxxeexeexexegxgxeee，当1x时，

'0gx，则函数gx在0,1上单调递增；当1x时， '0gx，则函数gx在1,上单调递减， 1x时，函数gx有最大值1ge，则有12,0,xx，

12minmax2fxegxe， 121gxfxkk恒成立且0k， 2,11eekkk，故答案为1k.

17．（1）（2）

【解析】（1）将方程消去参数得，

∴曲线的普通方程为，

将代入上式可得，

∴曲线的极坐标方程为：．

（2）设两点的极坐标方程分别为,

由消去得，

根据题意可得是方程的两根，

∴，∴． 18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

（Ⅰ）∵，

当时，，解得=1，……2分

当时，，

∴，………………4分

∴数列{}是首项为1，公比为3的等比数列，

∴.………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，…………7分

∴=，①

=，②………………9分

②得，=

==…………………………11分

∴.……………………12分

19．（1） 极大值为92，极小值为8ln212；（2）112，.

1441'5xxfxxxx，

1和4别是'0fx的两根，

根据单调性可知极大值为9f12，极小值为f48ln212.

2由上得144'5(0)xxfxxxxx，

由'014fxx． 故fx的单调递减区间为14，，21{21

14mmmm，

解得：m的取值范围： 112，．

20．（1）见解析（2）55

【解析】（1）证明： ,ADABCD∥AB

DCAD

PA平面ABCD, DC平面ABCD

DCPA

ADPAA

DC平面PAD

DC平面PCD

平面PAD 平面PCD

（2）解: 以A为坐标原点，以AD， AB， AP所在射线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系Axyz如图所示，则221ADPDPA,由点C向AB作垂线CH,

则221BHBCAD,

∴1DCAHABBH

∴0,0,0,0,0,1,0,2,0,1,1,0APBC

设,,Exyz.

∵E在棱PB上，

∴PEPB（01）