专科一组 数学建模

1 手机“套餐”优惠几何的层次分析模型 摘要：层次分析法是一种多方案或多目标的决策分析方法，它能够合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。本文利用层次分析法的思想来综合比较手机资费组合方案（套餐），并且使用层次分析模型，利用穷举法和Mathematic软件设计出了比现行手机资费组合方案更合理的方案。

关键词：层次分析 评价 权向量 数学模型 2

一 问题重述 手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，近年来通信业务量飞速增长。手机资费问题一直是人们关心的热点问题，多少年来资费方案始终没有实质性变化。但是2007年1月以来上海、北京等地的移动和联通两大运营商都相继推出了许多形式的“套餐”，让人眼花缭乱。人们不禁要问：手机“套餐”究竟优惠几何？基于此，我们建立数学模型分析研究下列问题： （1）给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？ （2）提出我们对各种资费方案的评价准则和方法，拒此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准分析、比较，并给出评价。 （3）北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。我们又如何评价这个方案？ （4） 如果移动公司聘请我们帮助设计一个全球通手机的资费方案, 我们会考虑哪些因素? 根据我们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个更为合理的“套餐”方案。

二 模型假设 （1）假设一用户选定一种方案后，其本地主叫分钟数与本地通话分钟数的比值恒定。 （2）假设用某种“套餐”同一层次方案的用户的平均话费与此层次方案的基本月租费相同。

三 符号说明 s为赠送的本地主叫时间（分钟数）；

/s为赠送本地通话时间（分钟数）；

is为套餐赠送通话时间（分钟数）；

iu为某套餐的使用人数；

if为资费费率；

iJ为套餐各层次的基本费；

1t一个月本地主叫分钟数；

2t 为长途主叫分钟数；

3t为赠送本地通话时间内的被叫分钟数；

p是指本地主叫分钟数与本地通话分钟数的比值。 3

四 模型的建立及求解 1、对问题（1）的解答： 由统计材料可得以下的比例图，从中我们可以看出讨论“套餐”时，本地通话是影响“套餐”设计的主要因素。因此建立模型时，主要考虑本地通话。

2006年移动电话通话量

港澳台通话 4国际通话 4.2

国内长途 977.8

本地通话 15882.7

IP电话通话 1488.6

02000

4000600080001000012000140001600018000

1通话类型

通话总时间：单位（亿分钟）港澳台通话国际通话国内长途本地通话IP电话通话

06年移动电话通话量比05年的增长量

港澳台通话 0.7国际通话0.81

国内长途 264.1

本地通话 4091.5

05001000150020002500300035004000

4500

1通话类型

通话总时间：单位（亿分钟）港澳台通话国际通话国内长途本地通话

我们通过对两种“套餐”的仔细分析，得出该题需要对套餐中的每个档次进行时间段的划分。对此我们有以下结果： 方法一：国内IP长途资费相同，在不考虑IP长途的情况之下有： 针对北京和上海这两种“套餐”，北京移动公司全球通“畅听99套餐”所提供的服务是赠送本地主叫免费时间，本地被叫全免，而超出各种套餐部分后，本地主叫资费不同，套餐月基本费越高，本地主叫资费越低，而这个“套餐”的不同方案的国内IP长途资费相同，其它服务相同的情况下，将考虑哪种套餐对我们更优惠。 根据统计资料中北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案的数据，影响用户费用

的是本地主叫分钟数，假设某用户一个月本地主叫分钟数为1t，有：

（1）当1t≤280时，月基本费为99元的“套餐”适合用户使用。 （2）当280＜1t≤560时，满足（1t-280）*0.35+99≤139。 4

即： 1t≤395，当280＜1t≤394.3时，月基本费为99元的“套餐”适合用户使用。 当394.3＜1t≤560时，月基本费为139元的“套餐”适合用户使用。 （3）当560＜1t≤1000时，满足（1t-560）*0.25+139≤199。 得：1t≤800，即：当560＜1t≤800时，月基本费为139元的“套餐”适合用户使用。 当800＜1t≤1000时，月基本费为199元的“套餐”适合用户使用。

（4）当1000＜1t≤2000时，满足（1t-1000）*0.2+199≤299。 得：1t≤1500，即：当1000＜1t≤1500时，月基本费为199元的“套餐”适合用户使用。 当1500＜1t≤2000时，月基本费为299元的“套餐”适合用户使用。

（5）当1t>2000，月基本费为299元的“套餐”适合用户使用。 根据统计资料中上海移动公司“全球通68套餐”方案的数据，影响用户费用的是主被叫，现设某用户一个月中超过本地通话资费后，360分钟以外的本地主叫分钟数为

1t，被叫分钟数为3t。

（1）使用68元/月的“套餐”时，1t*0.18+3t*0≤128。 即1t=333分钟，则当一个月接打电话超过360分钟时，且之后本地主叫分钟数小于333分钟，就适合用68元/月的“套餐”。 （2）使用128元/月的“套餐”时，1t*0.16+3t*0≤188。

即1t=375分钟，则当一个月接打电话超过360分钟时，之后本地主叫分钟数大于333分钟，且当一个月接打电话超过800分钟时，之后本地主叫分钟数小于375分钟，就适合用128元/月的“套餐”。 （3）当一个月接打电话超过800分钟时，且之后本地主叫分钟数大于375分钟，就适合用188元/月的“套餐”。 方法二：在考虑IP长途的情况之下有： 模型要考虑赠送本地主叫时间（分钟数）（北京）和本地通话时间（上海）。设每种套餐每个档次的通话费用为m。

对于前者，我们令J为月租、1t为本地主叫时间、s为赠送的本地主叫时间，不考

虑被叫（被叫免费），2t为长途主叫时间、1f为本地主叫费率、2f为长途主叫费率。 5

其资费计算模型为：)......()()0.......(..........12211122sttffstJsttfJm （1） 此式为北京套餐各方案的计算方法，对于不同的方案计算如下： 根据统计资料中其月租的不同将其分为四个方案：

方案一：)280......(1.035.0)280(99)280.......(..........1.09912112tttttm

方案二：)560......(1.025.0)560(139)560.......(..........1.013912112tttttm 方案三：)1000......(1.02.0)1000(199)1000.......(..........1.019912112tttttm 方案四：)2000......(1.015.0)2000(299)2000.......(..........1.029912112tttttm 显然对于这四个方案，它们适应于不同（通话量）需求的用户，那么针对不同需求的用户，就此“套餐”的上面四个方案分别适应于什么样的用户呢？对于这个问题我们想到两个相邻的方案转度时会出现一个临界点，这个点就是它们适应人群的划分点，对

此我们用主叫时间来表示这个临界点。假设这四个方案的临界点分别为：/1t、/2t、/3t，那么这三个点就可以将适应人群按照主叫时间分为A、B、C、D四类且主叫时间分别满足：/1ttA、/2/1tttB、/3/2tttC、Dtt/3。

下面我们将/1t、/2t、/3t计算出来：







22/322/222/11.02991.02.0*)1000(1991.01991.025.0*)560(1391.01391.035.0*)280(99ttttttttt

解得：/1t=394、/2t=800、/3t=1500 即：上面的四种方案分别适应于一个月内的主叫时间在（0—394分钟）、（394—800分钟）、（800—1500分钟）和（1500分钟以上）的用户。

对于赠送本地通话时间的情况，设/s为赠送本地通话时间、3t为赠送本地通话时间

内的被叫时间，令p是指本地主叫分钟数与本地通话分钟数的比值，314ttt，由假设（1）知41ptt，在模型（1）上稍做改动，得：

其资费计算模型为：)......()().......(........../422/11/422sttfpstfJsttfJm