角平分线定理使用中的几种辅助线作法
一、已知角平分线，构造三角形
例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1
()2
BE AC AB =
- 证明：延长BE 交AC 于点F 。
因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，
所以AD 为∠BAC 的对称轴， 又因为BE ⊥AD 于F ，
所以点B 和点F 关于AD 对称， 所以BE=FE=
1
2
BF ，AB=AF ，∠ABF=∠AFB 。 因为∠ABF ＋∠FBC=∠ABC=3∠C ，
∠ABF=∠AFB=∠FBC ＋∠C ， 所以∠FBC ＋∠C ＋∠FBC=3∠C ， 所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC ，
所以BE=
12FC=12（AC －AF ）=1
2（AC －AB ）， 所以1
()2
BE AC AB =-。
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段
如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。 证明：经过点P 作PE ⊥AB 于点E 。 因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠1=∠2， 所以PE=PD 。
在Rt △PBE 和Rt △PBC 中
BP BP
PE PD =⎧⎨
=⎩
所以Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ）， 所以BE=BD 。
2
1F E
D
C
B
A
N
P
E
D
C
B
A
因为AB ＋BC=2BD ，BC=CD ＋BD ，AB=BE －AE ， 所以AE=CD 。
因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt △PCD 中
PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
所以△PAE ≌Rt △PCD ， 所以∠PCB=∠EAP 。 因为∠BAP ＋∠EAP=180°， 所以∠BAP ＋∠BCP=180°。
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段
例题、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2 证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．
因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ， 所以PE=PF 。 同理可证PF=PG 。 所以PG=PE ，
又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ， 所以PA 是∠BAC 的平分线， 所以∠1=∠2。
G
2
1P
F
E
C
B
A
