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高中数学知识考点之(23)概率与统计

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概率与统计 1．离散型随机变量ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为()iiPxp，则P1+P2+…=1； E11px22px…nnpx… 为ξ的数学期望，期望是反映随机变量“均值”的量， baEbaE)(；求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的

定义求出Eξ

[举例] 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程

20xbxc实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程20xbxc有实根的概率；（Ⅱ）求的分布列和数学期望； 解析：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为，记“方程20xbxc没有实根”为事件A，“方程20xbxc有且仅有一个实根”为事件B，“方程20xbxc有两个相异实数”为事件C，则()126bcbc，，，，…，，是的基本事件总数为36个， 2()40126Abcbcbc，，，，，…，，A中的基本事件总数为17个；

2()40126Bbcbcbc，，，，，…，，B中的基本事件总数为2个；

2()40126Cbcbcbc，，，，，…，，C中的基本事件总数为17个；

又因为BC，是互斥事件，故所求概率21719()()363636PPBBC． （Ⅱ）由题意，的可能取值为012，，，则 17036P，1118P，17236P，

故的分布列为：  0 1 2

P 1736 118 1736

所以的数学期望171170121361836E。

[巩固]某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为  1 2 3 4 5

P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()PA；

（Ⅱ）求的分布列及期望E．（07高考全国卷（Ⅰ）理18） 2．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．称这样的随机

变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数；若ξ～B(n，p)，则Enp． [举例]某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望． （07高考江西理19） 解析：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A，2A，3A，

（1）设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则321()(AAAPEP）+)(312AAAP+ )(213AAAP0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38． （2）解法一：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件ABC，，，则 ()()()0.3PAPBPC，所以3(0)(10.3)0.343P，

2(1)3(10.3)0.30.441P，2(2)30.30.70.189P，

3(3)0.30.027P．于是，()10.44120.18930.0270.9E

解法二：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p， 所以~(30.3)B，，故30.30.9Enp． [巩固] 一个袋中装有3个红球，7个白球，从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，连摸5次，试求摸到红球的次数的分布列及期望E。 3．随机抽样需借助于随机数表（先对总体逐一编号），分层抽样的关键是“按比例”：总体中各层的比例等于样本中各层的比例。在所有的抽样中，每一个个体被抽到的概率相等。 [举例]从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样 从2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率（ ） A、不全相等 B、均不相等

C、都相等,且为100225 D、都相等,且为401

解析：某人“入选”，首先在第一步的随机抽样中要不被剔除，其概率为20042000200441， 在第二步的系统抽样中被抽中的概率为200050，故每人入选的概率为20045020005020042000 [巩固] 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量n= 。

4．“读懂”样本频率分布直方图：直方图的高=频率组距，直方图中小矩形框的面积是频率；频率×样本个数=频数。 [举例1]从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共 取了n件，测得其尺寸后，画得其频率分布直方图如右， 尺寸在[15，45]内的频数为46，则尺寸在[20，25]内 的产品个数为 解析：由直方图可见，尺寸在[15，45]内的频率为

1-0.016×5=0.92, ∴n46=0.92，得n=50； 而尺寸在[20，25]内的频率为0.04×5=0.2, ∴尺寸在[20，25]内的产品个数为:0.2×50=10. [巩固1] 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表： （I）画出该产品纤度的频率分布直方图；

（II）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？ （III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值

（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． [巩固2]一个社会调查机构 就某地居民的月收入调查了 10 000人，并根据所得数据 画了样本的频率分布直方图 （如右图）．为了分析居民的 收入与年龄、学历、职业等 方面的关系，要从这10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100人作进一步调查，则在 ［2500，3000）（元）月收入 段应抽出 人． 分组 频数 [1.301.34)， 4 [1.341.38)， 25 [1.381.42)， 30 [1.421.46)， 29 [1.461.50)， 10 [1.501.54)， 2 合计 100 10 15 20 25 30 35 40 45 0．016 0．04 产品尺寸 组距频率 0.0001 0.0002 0.0003

0.0004

0.0005

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入(元)

频率/组距 5．熟悉方差的计算公式和性质，如：样本同加（减）一个常数，方差不变；样本同乘一个常数k, 方差变为原来的k2倍；“标准差”是方差的算术平方根。样本的方差和标准差是反

映其“稳定性”的量。对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x，2x，…，nx，…，

且取这些值的概率分别是1p，2p，…，np，…，那么,D＝121)(pEx＋

222)(pEx＋…＋nnpEx2)(＋…称为随机变量ξ的方差，式中的E是随机变量ξ的期望．D的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作。

[举例]某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解析：由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直

接求出x、y，只要求出yx，设x=10+t, y=10-t, 由(x-10)2+(y-10)2=8得t2=4;

∴24xyt，故选D。 [巩固1]甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

123sss，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） Ａ．312sss Ｂ．213sss Ｃ．123sss Ｄ．231sss （ 07高考宁夏理 11） [巩固2]随机变量的分布列如下：  1 0 1

P a b c 其中abc，，成等差数列，若13E，则D的值是 ．（07高考浙江理15）

6．正态分布密度函数：222)(21)(xexf，（σ＞0，-∞＜x＜∞），其中x是随机变量的取值，μ为正态分布的均值，σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2N；正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交 ，（2）曲线关于直线x=μ对称 ，（3）当x=μ时，曲线位于最高点 （4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，

甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10

频数 4 6 6 4

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(完整版)高考数学概率和统计知识点,推荐文档

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ξ、η 等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 x1， x2 ，……， xi ，……， 取每一个值 xi （
所以商家拒收这批产品的概率为 95 ． 例 12．
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即
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被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 5 、 5 、 5 ,且各轮问 题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望. （注：本小题结果可用分数表示）
（1） 二项分布
n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为
P P( k ) Ck pk qnk
q 1 p
0，1，2，…n，并且 k
n
，其中0 k n，
，随机变量 的分布列
如下：
0
1
…
k
…
n
P
C 0 p 0 qn n
C1 p1qn1 n
…
Ck pk qnk n
及推理和运算能力.
[解答提示]至少有 3 人出现发热反应的概率为
C3 0.803 0.202 C 4 0.804 0.20 C5 0.805 0.94
5
5
5
.
故填 0.94.
离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母
根据高中数学必修一概率与统计知识点总结

根据高中数学必修一概率与统计知识点总结

根据高中数学必修一概率与统计知识点总结本文将总结高中数学必修一中的概率与统计知识点。

概率与统计是数学中重要的分支之一，主要研究随机事件的发生可能性与规律。

一、概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，常用分数或百分数表示。

在概率的计算中，我们通常使用下面的公式：$$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$发生的次数，$n(S)$表示样本空间$S$中事件发生的总次数。

二、概率的性质1. 概率的取值范围是0到1之间，即 $0 \leq P(A) \leq 1$。

2. 必然事件的概率为1，即 $P(S) = 1$。

3. 不可能事件的概率为0，即 $P(\varnothing) = 0$。

4. 补事件的概率为 $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$。

三、事件间的关系1. 事件的和事件（并）：$A \cup B$ 表示事件 $A$ 与事件$B$ 中至少发生一个的情况。

2. 事件的积事件（交）：$A \cap B$ 表示事件 $A$ 与事件$B$ 同时发生的情况。

3. 事件的差事件（差）：$A - B$ 表示事件 $A$ 发生而事件$B$ 不发生的情况。

四、条件概率与独立性1. 条件概率：事件$B$ 在事件$A$ 发生的条件下发生的概率，记作 $P(B|A)$，公式为：$P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$。

2. 乘法定理：若事件 $A$ 和事件 $B$ 相互独立，则有 $P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$。

3. 独立性：当两个事件 $A$ 和 $B$ 满足 $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ 时，称事件 $A$ 和事件 $B$ 是相互独立的。

五、排列与组合1. 排列：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素进行排列的方法数，记作 $P_{n}^{m}$，公式为：$P_{n}^{m} = \dfrac{n!}{(n-m)!}$。

高中数学统计与概率知识点归纳

高中数学统计与概率知识点归纳

高中数学统计与概率知识点归纳高中数学统计与概率知识点归纳统计简单随机抽样总体和样本是统计学中的基本概念。

总体指研究对象的全体，个体指每个研究对象，总体容量指总体中个体的总数。

为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分，称之为样本，其中个体的个数称为样本容量。

简单随机抽样，也叫纯随机抽样，是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位的方法。

特点是每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其他各种抽样形式的基础。

通常只在总体单位之间差异程度较小和数目较少时采用这种方法。

简单随机抽样常用的方法有抽签法、随机数表法、计算机模拟法和使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑总体变异情况、允许误差范围和概率保证程度。

抽签法是一种简单易行的方法，具体步骤是给调查对象群体中的每一个对象编号，准备抽签的工具，实施抽签，对样本中的每一个个体进行测量或调查。

随机数表法是利用随机数表在所在的班级中抽取一定数量的同学参加某项活动。

系统抽样系统抽样，也叫等距抽样或机械抽样，是实际中最为常用的抽样方法之一。

它是根据总体中个体的排列对于研究的变量来说应是随机的这一前提条件，先对总体进行排序，再计算出抽样距离，按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

如果调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点，如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。

更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以提高估计精度。

分层抽样分层抽样，也叫类型抽样，是先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

(最全)高中数学概率统计知识点总结

(最全)高中数学概率统计知识点总结

高中数学-概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。

2、平均数：①、常规平均数：12nx x x x n++⋅⋅⋅+=②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。

4、方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+- 二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数2、频率之和：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；同时 121n S S S ++⋅⋅⋅+=；三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。

2、平均数： 112233n nx x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。

4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-四、线性回归直线方程：ˆˆˆybx a =+ 其中：1122211()()ˆ()nni i i i i i nni i i i x x y y x y nxybx x x nx ====---∑∑==--∑∑ , ˆˆay bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ；2、ˆ0:b>正相关；ˆ0:b <负相关。

3、线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆb 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。

五、回归分析1、残差：ˆˆi i i ey y =-（残差=真实值—预报值）。

分析：ˆi e 越小越好； 2、残差平方和：21ˆ()ni i i y y=-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221ˆˆˆˆ()()()()ni i n n i y yy y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑ 3、拟合度（相关指数）：22121ˆ()1()ni i i ni i y yR y y ==-∑=--∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高；4、相关系数：()()nni i i i x x y y x y nx yr ---⋅∑∑==分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++②．犯错误上界P 对照表3、独立性检验步骤①．计算观察值k ：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；②．查找临界值0k ：由犯错误概率P ，根据上表查找临界值0k ；③．下结论：0k k ≥：即犯错误概率不超过P 的前提下认为： ,有1-P 以上的把握认为： ; 0k k <：即犯错误概率超过P 的前提认为： ,没有1-P 以上的把握认为： ;【经典例题】题型1 与茎叶图的应用例1（2014全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50位市民。