第二章应力理论和应变理论
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重
为γ1。己求得应力解为：
σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ，τxy =-dx-ay ；
试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出
OA 、OB 两边的应力边界条件：
OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x=γ1y ；T y =0 则σx =-γ1y ；τ
xy =0
代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0
得：b=-γ1；a=0；
OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos
sin
x xy yx
y
………………………………
（a ）
将己知条件：σx=-γ1y ；τxy =-dx ；σy =cx+dy-γy
代入（a ）式得：
1cos
sin 0cos
sin
0y dx b
dx cx
dy
y c
L L L L L L L L L L L L L L L L L L
化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；
化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1ctg 3β
2—17.己知一点处的应力张量为
3
12
606100100
Pa
试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：
σx =12×
10
3
σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下
式求得：
2
2
2
2
3
1.2
33
3
3
121012106
10
2222
17.08310
11
37
10
11 6.0828
10
4.9172410
x
y
x
y
xy
Pa
则
显然
：
3
3
1
2
3
17.08310 4.917100
Pa Pa
σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）
2
26
12sin 22
6
1210
2
cos2
xy x
y
tg 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°
δ
y
题图
1-3τxy
x 30°10
n
2
4
x
O
10
y
T
τ
30°
δ
30°
x
O γ
y
β
B
A n β
γ1y
则：θ=+40.2688B 40°16＇
或（-139°44＇）
2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主
应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：
2
2
1
a
b ；
2
0；
2
2
3
a
b ；
设σ2与三个坐标轴
x 、y 、z 的方向余弦为：
l 21、l 22、l 23，于是将方向余弦
和σ2值代入下式即可求出
σ2的主方向来。212
22
23232122
2
23
23
21
2223
2
2122
0102
03
x yx xz xz yx
y
yz
zy
zx
zy
z
yx
zy
l l l l l l l l l l l l l L L L L L L
L L L
以及：
2
2221
22
23
14
l
l
l
L L L 由（1）（2）得：l 23=0
由（3）得：
2122
l a l b
；
2221
l b l a
；
将以上结
果代入
（4
）
式分
别
得
：
21
2
2
2
2
2221
111
1
a
l a
b
b l a
l ；
22
2
2
2
2
2122111
1b l a
b
a l
b l ；
21
22
a l l b
22
2
2
2
2
b a b
l a
a
b
a
b 同理21
2
2
a l a b
于是主应力σ2的一组方向余弦为：（
2
2
a
a
b
，2
2
b a
b m
，0）；
σ3的一组方向余弦为（
2
2
22b a
b
，
2
2
22a a
b
，
22
）；
2—20.证明下列等式：（1）：J 2=I 2+2113
I ；（3）：
2
1
2
ii kk ik ik
I ；证
明
（1
）
：
等式
的
右
端
为
：
22
2
11
2
2
3
3
1
1
2
3
113
3
I I 2221
2
3
12
2
3
31122331
1222
3222123
1
2
2
3
3
1
122331
246
66
6
222123
1
22331
26
