选取的例题

选取适当的样本空间巧解古典概率题摘要：笔者在进行概率统计课程教学的过程中，发现学生对古典概率题的解答，计算往往十分繁杂。

特别在计算中常常会用到排列组合的计算公式，计算量大不说，而且容易出错。

但只要我们充分掌握了对古典概率的要求，在解题时只要能选取适当的样本空间，复杂的排列组合计算也是可以避免的。

关键词：古典概率样本空间巧解在解答古典概率题时，首先要计算样本空间ω的样本点数即基本事件数n和某一事件a的有利事件数m，这样就可以计算出事件a 发生的概率为p(a)= 。

这个看似简单的公式，但我们往往会计算很复杂，而且在计算中常常会用到排列组合的公式计算，就会使一些问题的计算量很大，容易计算错误，而功亏一篑。

那么我们能不能用一些简单的方法来解决这个矛盾呢？答案是肯定的。

只要我们在分析问题时能选取适当的样本空间，就可以巧解这一类问题。

我们通过以下几个问题来进行探讨：例一将1,2,…，n这n个数字任意排列，试求：（1）2在1前面的概率；（2）1,2,3依次出现的概率。

解：（1）方法一. n个数字作为样本空间的基本事件的考虑对象，则 n个数任意排列，有n！种排法，即样本空间的样本点数为 n！。

2一定排在1之前这个事件的有利事件数为 c2n（n-2）！种排法，所以所求概率为:方法二注意到题中的要求是求2排在1前面的概率，所以我们只关心的是1和2这两个数字的排法，1和2两个数字任意排，有两种排法，则样本空间ω={(1,2)，（2,1）｝，即ω包含两个样本点。

设a=｛2在1前面｝，于是a={(2,1)}只包含一个样本点，所以所求概率为:p（a）=(2)方法一. 考虑n个数字任意排列的情况，n个数字任意排列有n！种不同排法，所以样本空间的样本点数为n！，而对于事件a={1,2,3依次出现}的有利事件数可以这样来计算：“1,2,3依次出现”可以依次出现在n个位置的三个位置上，所以有c3n种站位方法，这三个位置被1,2,3依次占据后，其余n-3个数字可按任意次序在余下的n-3各位置上站位，有（n-3）！种排法。

因素评分法的计算例题因素评分法是一种常用的决策分析方法，用于评估和比较不同因素的重要性。

该方法通过对每个因素进行打分，并赋予相应的权重，计算得出每个因素的综合得分，从而帮助决策者做出合理的决策。

为了更好地理解因素评分法的计算过程，下面将给出一个计算例题：假设我们需要评估三个投资项目A、B、C的各项因素，并确定哪个项目是最优选择。

我们选取了四个因素作为评估标准，分别是收益率（权重为0.4）、风险（权重为0.3）、市场前景（权重为0.2）、投资额度（权重为0.1）。

首先，我们对每个因素进行打分，假设打分范围为1-10，分数越高表示该因素越有利。

我们给出以下评分：项目A：收益率8，风险6，市场前景7，投资额度5项目B：收益率7，风险9，市场前景9，投资额度8项目C：收益率9，风险7，市场前景6，投资额度6接下来，我们根据各个因素的权重和打分，计算每个项目的综合得分。

按照因素评分法的计算公式，综合得分的计算公式为：综合得分 = 收益率*权重 + 风险*权重 + 市场前景*权重 + 投资额度*权重计算项目A的综合得分：综合得分A = 8*0.4 + 6*0.3 + 7*0.2 + 5*0.1 = 3.2 + 1.8 + 1.4 + 0.5 = 7.9同样地，计算项目B的综合得分：综合得分B = 7*0.4 + 9*0.3 + 9*0.2 + 8*0.1 = 2.8 + 2.7 + 1.8 + 0.8 = 8.1最后，计算项目C的综合得分：综合得分C = 9*0.4 + 7*0.3 + 6*0.2 + 6*0.1 = 3.6 + 2.1 + 1.2 + 0.6 = 7.5通过比较三个项目的综合得分，我们可以得出结论：项目B的综合得分最高，因此在这个例子中，项目B是最优选择。

通过这个例题，我们可以看到因素评分法的计算过程相对简单明了。

通过对每个因素进行打分和权重的赋值，可以得出每个项目的综合得分，从而进行比较和决策。

高一化学置换反应知识点及例题化学反应是化学学科的核心内容之一，而置换反应更是化学反应中的一种常见类型。

在高一化学学习中，学生通常需要学习并掌握置换反应的基本概念和相关知识点。

本文将以此为主题，对高一化学中的置换反应进行全面的介绍和探讨。

一、什么是置换反应置换反应又称为置换作用，是指原子或离子与某种物质发生反应后，将相应位置上的原子或离子替代并占据其位置。

置换反应可以分为单一置换反应和双重置换反应两种类型。

单一置换反应是指一种元素或离子被另一种元素或离子替代，而双重置换反应是指两种不同元素或离子互相置换，形成两种新的化合物。

二、置换反应的基本类型置换反应有很多不同的基本类型，其中最常见的包括酸碱中和反应、氧化还原反应、金属活动性序列中的反应等。

以下是其中几种基本类型的例子。

1. 酸碱中和反应：当酸和碱反应时，生成的产物是盐和水。

例如，HCl（盐酸）和NaOH（氢氧化钠）反应生成NaCl（氯化钠）和H2O （水）。

2. 氧化还原反应：氧化还原反应是指物质失去或获取电子。

例如，Mg（镁）和CuSO4（硫酸铜）反应生成MgSO4（硫酸镁）和Cu （铜）。

3. 金属活动性反应：金属活动性序列是根据金属的化学性质排列的一种序列。

根据这个序列，我们可以推测出哪些金属可以取代其他金属。

例如，铜不能置换铁，但锌可以置换铁。

三、置换反应的规律和条件置换反应具有一定的规律和条件。

了解并掌握这些规律和条件对于正确理解和预测置换反应至关重要。

以下是几个重要的规律和条件。

1. 金属活动性序列：在金属活动性序列中，金属的活动性从高到低逐渐排列。

活动性较高的金属可以在反应中取代活动性较低金属的位置。

这个规律是预测置换反应是否发生的基础。

2. 反应条件：置换反应通常需要一定的反应条件才能发生。

例如，酸碱中和反应需要在适当的温度和浓度条件下发生。

氧化还原反应需要有一种物质失去电子，同时有另一种物质获得电子。

四、例题分析为了更好地理解和应用置换反应的知识点，下面选取两个例题进行分析和解答。

六年级数学下册典型例题系列之第三单元圆柱的表面积问题提高部分（原卷版）编者的话：《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第三单元圆柱的表面积问题提高部分。

本部分内容主要选取圆柱的表面积问题中较有难度的题型，包括圆柱的四种旋转构成法、圆柱的三种表面积增减变化以及不规则立体图形和组合立体图形的表面积等，这几类问题在考试中十分常见，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为九个考点，欢迎使用。

【考点一】圆柱常见的四种旋转构成法。

【方法点拨】1.圆柱的旋转：一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。

2.在旋转时，以谁为轴谁就是高，而另一条边就是底面半径。

第一种旋转方法：以宽为轴进行旋转。

以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。

第二种旋转方法：以长为轴进行旋转。

以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。

第三种旋转方法：以两条长中点的连线为轴进行旋转。

以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。

第四种旋转方法：以两条宽中点的连线为轴进行旋转。

以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。

【典型例题1】把长为4、宽为3的长方形绕着它的一条边旋转一周，则所得到的圆柱的表面积是多少？（结果保留π）【典型例题2】正方形的边长为4厘米，按照下图中所示的方式旋转，那么得到的旋转体的表面积是多少？【典型例题3】请计算下图长方形绕虚线旋转一周后得到的圆柱的表面积。

【对应练习1】一个长方形的长是5厘米，宽是2厘米。

以它的长边为轴，旋转一周，得到的圆柱表面积是多少平方厘米？【对应练习2】下图是一张长方形纸，长12cm，宽10cm。