【精品】 2011年—2017年高考全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）理科数学一、选择题1．(2017·全国Ⅱ理，1)3＋i1＋i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i2．(2017·全国Ⅱ理，2)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}3．(2017·全国Ⅱ理，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏4．(2017·全国Ⅱ理，4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π5．(2017·全国Ⅱ理，5)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．96．(2017·全国Ⅱ理，6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种D ．36种7．(2017·全国Ⅱ理，7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8．(2017·全国Ⅱ理，8)执行下面的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．59．(2017·全国Ⅱ理，9)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2 B ． 3 C ． 2D ．23310．(2017·全国Ⅱ理，10)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32B.155C.105D.3311．(2017·全国Ⅱ理，11)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．112．(2017·全国Ⅱ理，12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－1二、填空题13．(2017·全国Ⅱ理，13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝________.14．(2017·全国Ⅱ理，14)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 15．(2017·全国Ⅱ理，15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝________.16．(2017·全国Ⅱ理，16)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 三、解答题17．(2017·全国Ⅱ理，17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .18．(2017·全国Ⅱ理，18)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)19．(2017·全国Ⅱ理，19)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角MABD 的余弦值．20．(2017·全国Ⅱ理，20)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21．(2017·全国Ⅱ理，21)已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0. (1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2.22．(2017·全国Ⅱ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．23．(2017·全国Ⅱ理，23)[选修4—5：不等式选讲]已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.参考答案一、选择题 1．【答案】D【解析】3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.2．【答案】C【解析】∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C. 3．【答案】B【解析】设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ， 则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B.4．【答案】B【解析】方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.方法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B. 5．【答案】A【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线知，当直线y ＝ －2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A. 6．【答案】D【解析】由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D. 7．【答案】D【解析】由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩． 8．【答案】B【解析】当K ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝2； 当K ＝2时，S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝3； 当K ＝3时，S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝4； 当K ＝4时，S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝5； 当K ＝5时，S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝6；当K ＝6时，S ＝－3＋1×6＝3，执行K ＝K ＋1后，K ＝7＞6，输出S ＝3.结束循环． 故选B. 9．【答案】A【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 根据点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 故选A. 10．【答案】C【解析】方法一 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3. 又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.方法二 以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示．由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1,0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)． 所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为105. 故选C.11．【答案】A【解析】函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1， 则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1 ＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]． 由x ＝－2是函数f (x )的极值点，得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0， 所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1， f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得当x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1. 故选A. 12．【答案】B【解析】方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34]≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3， ∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32. 故选B.二、填空题13．【答案】1.96【解析】由题意得X ～B (100,0.02)，∴DX ＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.14．【答案】1【解析】f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈[0，π2]，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 15．【答案】2n n ＋1【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2， 1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1. ∴∑k ＝1n 1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.16．【答案】6【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.三、解答题17．解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B 2， 故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517. 故cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.18．解 (1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知，P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )．旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.340.068≈52.35 (kg)． 19．(1)证明 取P A 的中点F ，连接EF ，BF .因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD . 由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ，又BC ＝12AD ， 所以EF BC ，四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB .(2)解 由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量，所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°， |z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →，则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎨⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)或⎩⎨⎧ x ＝1－22，y ＝1，z ＝62， 所以M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎨⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0， 所以可取m ＝(0，－6，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105. 所以二面角MABD 的余弦值为105. 20．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →，得x 0＝x ，y 0＝22y ， 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0，所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0，因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0，而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1. 若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x. 当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0.综上，a ＝1.(2)证明 由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x ，设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(x )<0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )>0. 所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增． 又h (e －2)>0，h ⎝⎛⎭⎫12<0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上有唯一零点x 0，在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上有唯一零点1，当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0； 当x ∈(x 0,1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0.因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．由f ′(x 0)＝0，得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)．由x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，得f (x 0)<14. 因为x ＝x 0是f (x )在(0,1)上的最大值点，由e －1∈(0,1)，f ′(e －1)≠0，得f (x 0)>f (e －1)＝e －2.所以e －2<f (x 0)<2－2.22．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知， |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α ＝|sin 2α－3cos 2α－3|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2，即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3， 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.23．证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24 (a ＋b ) ＝2＋3(a ＋b )34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分,考试时间120分钟。

注意事项:1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2。

选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3。

填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+,z 为z 的共轭复数,则1zz z --= (A ） -2i （B) —i （C) i （D) 2i2. 函数)0y x =≥的反函数为（A ）()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥（C ）()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3。

下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ （B) 1a b >- （C ）22a b > （D ） 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=,则k= (A) 8 (B ） 7 (C) 6 （D ） 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于(A ） 13（B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--,点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于(A ）2（B ）（C)7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A ） 4种 （B) 10种 (C ） 18种 （D ） 20种8。

的图像与原图像重合，则 的最小值等于
（A） 1 3
（B） 3
（ C） 6 （ D） 9
(6) 已知直二面角α - ι - β，点 A∈α， AC⊥ι， C 为垂足， B∈β， BD⊥ι， D 为
垂足．若 AB=2，AC=BD=，1 则 D 到平面 ABC的距离等于
(A) 2 (B) 3
3 (C) 3
1 （Ⅱ）设 bn
an 1 , 记Sn n
n
bk , 证明： Sn p 1.
k1
2/6
（21）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C : x2 y2 1在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率 2 uuur uuur uuur
为 - 2 的直线 l 与 C交与 A、B 两点，点 P 满 足 OA OB OP 0. ( Ⅰ) 证明：点 P 在 C 上； （Ⅱ）设点 P 关于点 O的对称点为 Q，证明： A、 P、 B、 Q四点在同一圆上 .
arcsin
. …… 12 分
7
设 D (1,0,0) , 则 A(2,2,0) 、 B(0,2,0) .
又设 S( x, y, z) , 则 x 0, y 0, z 0 .
uur
uur
uuur
( Ⅰ ) AS ( x 2, y 2, z), BS ( x, y 2, z), DS ( x 1, y, z) ,
(A) 4 (B) 3 (C)
3 (D)
4
5
5
5
5
(11) 已知平面α截一球面得圆 M，过圆心 M且与α成 600 二面角的平面β截该球面得圆
N.若该球面的半径为 4，圆 M的面积为 4 ，则圆 N 的面积为
(A)7
(B)9
(C)11

2017年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）（二）全国甲卷一、选择题：（1）31ii += +（A）1+2i（B）1–2i（C）2+i（D）2–i【试题评析】本题考查复数的概念和复数的四则运算，考查运算求解能力．【试题解析】由复数除法的运算法则有()()3+13212i iiii-+==-+，故选D．（2）设集合A={1，2，4}，B={x|x2 –4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（A）{1，–3}（B）{1，0}（C）{1，3}（D）{1，5}【试题评析】本题考查元素与集合的关系、交集的运算．考查推理能力、运算求解能力．【试题解析】由两个集合的交集的含义得1∈B，将1代入方程x2 –4x+m=0解出参数m=3，从而由一元二次方程的解法求出集合B={1，3}，故选C．（3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（A）1盏（B）3盏（C）5盏（D）9盏【试题评析】本题考查等比数列的概念、等比数列的前n项和公式．考查阅读理解能力，转化与化归、运算求解能力．【试题解析】根据已知条件将古题化归为利用等比数列的前n项和公式求等比数列首项a1．∵公比q为2，∴S7=7711(1)(12)381112a q aq--==--，解得a1=3，故选B．（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（A）90π（B）63π（C）42π（D）36π【试题评析】本题考查三视图及圆柱体积公式．考查空间想象能力、运算求解能力、逻辑推理能力．【试题解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B ． （5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z=2x+y 的最小值是（A ）15- （B ）9- （C ）1 （D ）9【试题评析】本题主要考查简单线性规划问题的求解．考查数形结合以及化归思想、逻辑思维能力、应用意识．【试题解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (–6，–3)处取得最小值z=–12–3=–15．故选A ．（6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种【试题评析】本题考查计数原理及排列组合知识．考查分析问题、解决问题的能力以及应用意识，运算求解能力．【试题解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A ⨯=种方法，故选D ．（7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（A ）乙可以知道四人的成绩 （B ）丁可以知道四人的成绩 （C ）乙、丁可以知道对方的成绩 （D ）乙、丁可以知道自己的成绩【试题评析】本题考查演绎推理．考查逻辑推理能力．【试题解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ．（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=–1，则输出的S= （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【试题评析】本题考查算法思想与程序框图基本逻辑结构等基础知识．试题准确把握了算法教学的能力要求考查逻辑推理能力． 【试题解析】阅读流程图，初始数值a=–1，k=1，S=0， 循环结构执行如下：第一次：S=0–1=–1，a=1，k=2； 第二次：S=–1+2=1，a=–1，k=3； 第三次：S=1–3=–2，a=1，k=4； 第四次：S=–2+4=2，a=–1，k=5； 第五次：S=2–5=–3，a=1，k=6； 第六次：S=–3+6=3，a=–1，k=7； 结束循环，输出S=3，故选B ．（9）若双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆(x –2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）233【试题评析】本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线距离公式、直线与圆的位置关系的应用．考查数形结合能力，运算求解能力．【试题解析】根据直线截圆产生的弦长，画图分析得到双曲线渐近线的倾斜角为60°，从而由双曲线渐近线方程得到斜率k=a b =tan60°=3，所以e =2)(1ab+=2，故选A ． （10）已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（A ）32 （B ）155 （C ）105（D ）33 【试题评析】本题考查两条异面直线所成角的计算．考查空间想象能力，运算求解能力． 【试题解析】取A 1C 1中点M ，连结A 1B 交AB 1于点N ，连结MN ，B 1M ，所以∠B 1NM 为所求，在三角形B 1NM 中有余弦定理得22211110251B N NM B M cos ΒNM =B N NM +-∠=⋅，故选C ． （11）若x=–2是函数f (x )=(x 2+ax –1)e x –1的极值点，则f (x )的极小值为（A ）–1 （B ）–2e –3 （C ）5e –3 （D ）1 【试题评析】本题考查导数的运算法则，利用导数求函数极值．考查运算求解能力． 【试题解析】f '(x )=(2x+a )e x –1+(x 2+ax –1)e x –1， ∵x=–2是函数的极值点，∴f '(–2)=0，∴a=–1． ∴f (x )=(x 2–x –1)e x –1，f '(x )=(x+2)(x –1)e x –1， 令f '(x )= 0，解得x=–2，x=1．当x 变化时，f '(x )和f (x )的变化情况如下表：∴当x=1时函数取得极小值为f (1)=–1，故选A ．（12）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ·(PB +PC )的最小值是（A ）–2 （B ）–23 （C ）–34（D ）–1 【试题评析】本题考查平面向量数量积的应用，基本不等式．考查逻辑推理、转化化归、运算求解能力．【试题解析】取BC 中点M ，∵PA ·(PB +PC )=PA ·2PM =2|PA |·|PM | cos 〈PA ，PM 〉，cos 〈PA ，PM 〉∈[–1，1]，∴PA ·(PB +PC )min =–2|PA |·|PM |，x (–∞，–2) –2 (–2，1) 1 (1，+∞)f '(x ) +–+f (x )↗极大值↘极小值↗所以A ，M ，P 三点共线且P 在线段AM 内，|PA |+|PM |=|AM |=3． 由基本不等式，|PA |+|PM |≥2||||PM PA ⋅，∴3≥2||||PM PA ⋅， ∴|PA |·|PM |≤43，∴PA ·(PB +PC )min =–23，故选B ． 【试题解析】 二、填空题：（13）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX= ．【试题评析】本题考查二项分布及方差计算公式．考查运算求解能力． 【试题解析】∵X ～B (n ，p )， DX=np (1–p )=100·0.02·0.98=1.96． （14）函数f (x )=sin 2x+3cos x –43（x ∈[0，2π]）的最大值是 ． 【试题评析】本题考查同角三角函数基本关系，求二次函数在闭区间的最值．考查化归转化能力，运算求解能力．【试题解析】∵f (x )=(1–cos 2x )+3cos x –43=–cos 2x+3cos x+41， 令cos x=t ，t ∈[0，1]，g (t )=–t 2+3t +41，对称轴方程t=23，所以函数g (t )max =g (23)=1． （15）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则11nk kS ==∑ ． 【试题评析】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，裂项相消法求和．考查运算求解能力．【试题解析】∵a 3=3，S 4=10，∴314112343446102a a d dS a a d =+=⎧⎪⎨⋅=+=+=⎪⎩ ∴111a d =⎧⎨=⎩，∴11111121122()(1)11n n n nk k k k k k n S S k k k k n =======-=+++∑∑∑∑． （16）已知F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M为FN 的中点，则|FN |= ．【试题评析】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，利用梯形中位线等平面几何知识．考查逻辑思维能力、应用意识．【试题解析】∵抛物线C ：y 2=8x ，∴p=4， ∵|FN |=2|FM |=2|BM |， 又∵|BM |=21(|AN |+|FF '|)=21·23·p=3， ∴|FN |=2·3=6． 三．解答题（17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin (A +C )=8sin 22B． （Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若a+c=6，△ABC 的面积为2，求b ．【试题评析】本题考查二倍角公式、诱导公式，余弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式．考查逻辑思维能力、运算求解能力．【试题解析】（Ⅰ）由题设及A+B+C=π得sin B=8sin 22π，故sin B=4(1–cos B )， 上式两边平方，整理得17cos 2B –32cos B+15=0，解得 cos B=1（舍），cos B=1715． （Ⅱ）由cos B=1715得sin B=178，故S △ABC =21ac sin B=174ac ，又S △ABC =2，则ac=217，由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2–2ac cos B=(a+c )2–2ac (1+cos B )=36–2×217×(1+1715)=4，所以b=2．（18）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 附：【试题评析】本题考查中位数、频率分布直方图、相互独立事件的概率、独立性检验．考查数据处理能力、逻辑推理能力、应用意识．【试题解析】（Ⅰ）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”，由题意知 P (A )= P (BC )=P (B )P (C ) ． 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62， 故P (B )的估计值为0.62．新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为 (0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66， 故P (C )的估计值为0.66．因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66=0.4092． （Ⅱ）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828K 2=10496100100)38346662(200⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈15.705．由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．（Ⅲ）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34＜0.5， 箱产量低于55kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68＞0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+068.034.05.0-≈52.35（kg ）．（19）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=21AD ，∠BAD=∠ABC=90︒，E 是PD 的中点． （Ⅰ）证明：直线CE ∥平面P AB ；（Ⅱ）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M -AB -D 的余弦值．【试题评析】本题考查线面平行的判定定理，直线与平面所成的角、二面角的计算问题，向量方法在研究立体几何问题中的应用．考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力． 【试题解析】（Ⅰ）取P A 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF=BC ，EF=21AD ， 由∠BAD=∠ABC=90︒得BC ∥AD ，又BC=21AD ． 所以EF ∥BC 且EF=AD ，所以四边形BCEF 为平行四边形，CE ∥BF ．又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，，故CE ∥平面P AB ． （Ⅱ）由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，|AB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ， 则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，P (0，1，3)，MEP DB CAF zyPC =(1，0，–3)，AB =(1，0，0)，则BM =( x –1，y ，z )，PM =( x ，y –1，z –3)，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45︒，而n =(0，0，1)是底面ABCD 的法向量，所以 |cos 〈BM ，n 〉|=sin45︒，222)1(||z y x z ++-=22，即(x –1)2+y 2–z 2=0． 又M 在棱PC 上，设PM =λPC ，则x=λ，y=1，z=3–3λ．由①，②得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=，，，261221z y x （舍），⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=，，，261221z y x ， 所以M (1–22，1，26)，从而AM =(1–22，1，26)， 设m =(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00AB m AM m 即⎪⎩⎪⎨⎧==++-，，0062)22(0000x z y x 所以可取m =(0，–6，2)．于是cos 〈m ，n 〉|=510， 因此二面角M -AB -D 的余弦值为510． （20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：1222=+y x 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =2NM ． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q 在直线x=–3上，且OP ·PQ =1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【试题评析】本题主要考查椭圆的标准方程、平面向量的坐标运算、平面解析几何求点的轨迹方程．考查逻辑思维能力、运算求解能力． 【试题解析】（Ⅰ）设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP =(x –x 0，y )，NM =(0，y 0)．由NP =2NM 得x 0=x ，y 0=22y ． 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以12222=+y x ． 因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2．（Ⅱ）由题意知F (–1，0)．设Q (–3，t )，P (m ，n )，则OQ =(–3，t )，PF =(–1–m ，–n )，OQ ·PF =3+3m –tn ，OP =(m ，n )，PQ =(–3–m ，t –n )．由OP ·PQ =1得–3m –m 2+tn –n 2=1， 又由（Ⅰ）知m 2+n 2=2，故3+3m –tn=0． 所以OQ ·PF =0，即OQ ⊥PF ． 又过P 存在唯一直线垂直于OQ ，∴过P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． （21）已知函数f (x )=ax 2–ax –x ln x ，且f (x )≥0． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e –2＜f (x 0)＜2–2．【试题评析】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值等应用，考查分析问题和解决问题能力，以及运算求解能力． 【试题解析】（Ⅰ）f (x )的定义域为(0，+∞)．设g (x )=ax –a –ln x ，则f (x )=xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0 因为g (1)=0，g (x )≥0，故g '(1)=0，而g '(x )=a –x1，g '(1)=a –1，得a=1． 若a=1，则g '(x )=1–x1．当0＜x ＜1时，g '(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ＞1时，g '(x )＞0，g (x )单调递增． 所以x=1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)=0 综上，a=1． 【试题解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )=x 2–x –x ln x ，f '(x )=2x –2–ln x ，设h (x )=2x –2–ln x ，则h '(x )=2–x1， 当x ∈(0，21)时，h '(x )＜0；当x ∈(21，+∞)时，h '(x )＞0，所以h (x )在(0，21)单调递减，在(21，+∞)单调递增， 又h (e –2)＞0，h (21)＜0，h (1)=0， 所以h (x )在(0，21)有唯一零点x 0，在(21，+∞)有唯一零点1， 且当x ∈(0，x 0)时，h (x )＞0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )＜0，当x ∈(1，+∞)时，h (x )＞0， 因为f '(x )=h (x )，所以x=x 0是f (x )的唯一极大值点．由f '(x 0)=0得ln x 0=2(x 0–1)，故f (x 0)=x 0(1–x 0)，由x 0∈(0，1)得f '(x 0)＜41， 因为x=x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，由e –1∈(0，1)，f '(e –1)≠0得f (x 0)＞f (e –1)=e –2，所以e –2＜f (x 0)＜2–2．（二）选考题：共10分。