2018单元滚动检测卷高考数学(理)(苏教版)精练检测：四 三角函数、解三角形

阶段滚动检测(五)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1.如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A *B ＝____________.2．(2016·南通一模)函数f (x )＝lg(－x 2＋2x ＋3)的定义域为________． 3．函数y ＝|x |(1－x )的单调增区间是__________．4．(2016·济宁模拟)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *且m ≥2)，则判断大小关系：S m ________0，S m ＋1________0.5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2012)＝________.6．设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x2x 2的大小关系是__________________．7．(2016·福州质检)在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m＋n ＝________.8．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．9．已知函数f (x )＝1－xax ＋ln x ，若函数f (x )在1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．10．(2017·云南统考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________.11．(2016·大同质检)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝1cos π,[0,],2121,(,),2x x x x ⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈+∞⎪⎩则不等式f (x －1)≤12的解集为____________．12．(2016·徐州模拟)如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，过点A 作△ABC 所在平面α的垂线AP ，连结PB ，PC ，过点A 作AD ⊥BC 于D ，连结PD ，那么图中直角三角形的个数为________．13．(2016·滨州一模)若对任意的x ＞1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是________．14．(2016·扬州模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋(－12)n －1，若对任意n ∈N *，都有1≤p (S n －4n )≤3，则实数p 的取值范围是________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2016·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)＋cos x .(1)求函数f (x )的最大值，并写出当f (x )取最大值时x 的取值集合； (2)若α∈(0，π2)，f (α＋π6)＝335，求f (2α)的值.16.(14分)已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n2n}的前n项和.17.(14分)(2016·南通二模)在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,0)，b＝(0,2)，设向量x＝a＋(1－cosθ)b，y＝－k a＋1sinθb，其中0<θ<π.(1)若k＝4，θ＝π6，求x·y的值；(2)若x∥y，求实数k的最大值，并求k取最大值时θ的值.18.(16分)(2016·河北衡水中学调考)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，M 是棱SB 的中点．(1)求证：AM ∥平面SCD ；(2)求平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的平面角的余弦值；(3)设N 是直线CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值.19．(16分)(2016·合肥第二次质检)已知△ABC 的三边长AB ＝13，BC ＝4，AC ＝1，动点M 满足CM→＝λCA →＋μCB →，且λμ＝14.(1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？若存在，指出常数k 的值，若不存在，说明理由.20.(16分)(2016·潍坊一中期初考试)已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的最大值；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围. .答案解析1．0,1]∪(2，＋∞)解析 A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，故A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}， 由题图可知，A *B ＝{x |x ∈A 或x ∈B 且x ∉A ∩B }＝{x |0≤x ≤1或x >2}． 2．(－1,3)解析 要使函数f (x )＝lg(－x 2＋2x ＋3)有意义，则－x 2＋2x ＋3>0，解得－1<x <3，故该函数的定义域为(－1,3)． 3．0，12]解析 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧ x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －12)2＋14，x ≥0，(x －12)2－14，x <0.画出函数的图象，如图．由图易知原函数在0，12]上单调递增． 4．> <解析 因为－a m <a 1<－a m ＋1，所以⎩⎨⎧a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0.易得S m ＝a 1＋a m 2·m >0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)<0. 5．22＋2解析 由题干图象知A ＝2，φ＝0，ω＝2πT ＝π4，∴f (x )＝2sin πx4，其图象关于点(4,0)，直线x ＝2，x ＝6对称， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0. ∵T ＝8,2012＝251×8＋4，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2012)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2(sin π4＋sin 2π4＋sin 3π4＋sin 4π4) ＝22＋2. 6．(ln x x )2<ln x x <ln x 2x 2解析 方法一 令f (x )＝x －ln x (1<x <2)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0， ∴函数y ＝f (x )(1<x <2)为增函数， ∴f (x )>1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln xx <1， ∴(ln x x )2<ln x x .又ln x 2x 2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝(2－x )ln x x 2>0，∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x 2.方法二 ∵1<x <2，∴0<ln xx <1， ∴(ln x x )2<ln x x ， 又ln x 2x 2＝2x ·ln x x >ln x x ， ∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x 2. 7.79解析 由CP→＝2PR →，得AP →－AC →＝2(AR →－AP →)，即AP→＝13(AC →＋2AR →)． 又由AR→＝2RB →，得AR →＝2(AB →－AR →)，即AR →＝23AB →， 故AP →＝13AC →＋49AB →， 所以m ＋n ＝79. 8.2a解析 因为正方体内接于球，所以2R ＝a 2＋a 2＋a 2，R ＝32a ，过球心O 和点E 、F 的大圆的截面图如图所示，则直线被球截得的线段为QR ，过点O 作OP ⊥QR 于点P ， 所以，在△QPO 中，QR ＝2QP ＝2(32a )2－(12a )2＝2a .9．1，＋∞)解析 ∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax 2(a >0)． ∵函数f (x )在1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0在x ∈1，＋∞)上恒成立， ∴ax －1≥0在x ∈1，＋∞)上恒成立， 即a ≥1x 在x ∈1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1. 10．－43解析 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4， 即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)． 11．14，23]∪43，74]解析 借助偶函数的性质，先解不等式f (x )≤12，再利用图象的平移知识解不等式f (x－1)≤12.当x ∈0，12]时，由cosπx ≤12，得13≤x ≤12；当x ∈(12，＋∞)时，由2x －1≤12，得12<x ≤34，所以不等式f (x )≤12(x ≥0)的解为13≤x ≤12或12<x ≤34，即13≤x ≤34.由于偶函数的图象关于y 轴对称，则在函数的定义域内， 不等式f (x )≤12的解为－34≤x ≤－13或13≤x ≤34.函数f (x －1)的图象可以看作由f (x )的图象向右平移1个单位得到的，故不等式f (x )≤12的解为14≤x ≤23或43≤x ≤74，即解集为14，23]∪43，74]． 12．8解析 有8个：Rt △ABC ，Rt △P AB ，Rt △P AC ， Rt △P AD ，Rt △ADB ，Rt △ADC ，Rt △PDB ，Rt △PDC . 13．6解析 a ≤x 2＋3x －1对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≤(x 2＋3x －1)min ，x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2，∵x ＞1， ∴(x －1)＋4x －1＋2≥2(x －1)·4x －1＋2＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即当x ＝3时取“＝”， ∴a ≤6，∴a 的最大值为6. 14．2,3]解析 由题意得S n ＝4n ＋1－(－12)n32，所以S n －4n ＝231－(－12)n ]，所以32≤p 1－(－12)n ]≤92，即32·1[1－(－12)n ]min ≤p ≤92·1[1－(－12)n ]max，所以1－(－12)n >0.当n 为奇数时，1＋(12)n 随n 单调递减，当n 为偶数时，1－(12)n 随n 单调递增．所以当n 为奇数时，1＋(12)n ]max ＝32，1＋(12)n ]min >1， 当n 为偶数时，1－(12)n ]min ＝34，1－(12)n ]max <1， 所以32×134≤p ≤92×132，所以2≤p ≤3.15．解 (1)f (x )＝sin(x ＋π6)＋cos x＝32sin x ＋12cos x ＋cos x＝32sin x ＋32cos x ＝3sin(x ＋π3)． 当x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝2k π＋π6(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 3.此时x 的取值集合为{x |x ＝2k π＋π6，k ∈Z }．(2)由(1)知，f (x )＝3sin(x ＋π3)，因为f (α＋π6)＝335，所以3sin(α＋π6＋π3)＝3cos α＝335，即cos α＝35.又α∈(0，π2)，所以sin α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2425，cos2α＝2cos 2α－1＝－725，故f (2α)＝3sin(2α＋π3)＝32sin2α＋32cos2α ＝32×2425－32×725＝243－2150.16．解 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3. 设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设{a n 2n }的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.17．解 (1)x·y ＝a ＋(1－32)b ]·(－4a ＋2b ) ＝－4|a |2＋(2－3)|b |2＋(23－2)a·b ＝－4＋8－43＝4－4 3.(2)因为x ∥y ，x ＝(1,2－2cos θ)，y ＝(－k ，2sin θ)， 所以2sin θ＝k (2cos θ－2)．因为sin θ≠0，cos θ≠±1，所以2cos θ－2≠0. 所以k ＝1sin θ(cos θ－1).设f (θ)＝sin θcos θ－sin θ(0<θ<π)， f ′(θ)＝cos 2θ－sin 2θ－cos θ ＝2cos 2θ－cos θ－1 ＝(2cos θ＋1)(cos θ－1)．当θ变化时，f (θ)，f ′(θ)的变化情况如下表：所以当θ＝2π3时，所以θ＝2π3，k max ＝－439.18．(1)证明 以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (2,2,0)，D (1,0,0)，S (0,0,2)，M (0,1,1)， ∴AM→＝(0,1,1)，SD →＝(1,0，－2)，CD →＝(－1，－2,0)． 设平面SCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧SD →·n ＝0，CD →·n ＝0，即⎩⎨⎧x －2z ＝0，－x －2y ＝0， 令z ＝1，得n ＝(2，－1,1)．∵AM →·n ＝0，∴AM →⊥n ，∴AM ∥平面SCD . (2)解 易知平面SAB 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)． 设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的平面角为φ， 易知0<φ<π2，则cos φ＝|n ·n 1|n |·|n 1||＝21×6＝63， ∴平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的平面角的余弦值为63. (3)解 设N (x,2x －2,0)，x >0，则MN →＝(x,2x －3，－1)．易知平面SAB 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)， ∴sin θ＝MN →·n 1|MN →|·|n 1|＝x5x 2－12x ＋10 ＝110×(1x )2－12×1x ＋5＝110×(1x －35)2＋75，故当1x ＝35，即x ＝53时，sin θ取得最大值，且(sin θ)max ＝357.19．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3，因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2 ＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3，所以|CM→|≥3， 当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6.(2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)， 所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )，因为CM →＝λC A →＋μC B →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14，知x 23－y 2＝1，所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点， 实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3. 20．解 (1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝－x e x . 当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． 因此，f (x )在x ＝0处取得极大值，也是最大值，最大值为1. (2)由题意，存在x 1，x 2∈0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 即2φ(x )min <φ(x )max .因为φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ＝x 2＋(1－t )x ＋1e x，x ∈0,1]，所以φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x＝－(x －1)(x －t )e x . ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在0,1]上单调递减， 所以2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1，符合题意； ②当t ≤0时，φ′(x )≥0，φ(x )在0,1]上单调递增， 所以2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0，符合题意；③当0<t <1时，若x ∈0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在0，t )上单调递减； 若x ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1]上单调递增． 所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2×t ＋1e t <max{1，3－te }．(*)由(1)知，函数g (t )＝2·t ＋1e t 在0,1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e <3－t e <3e ，所以不等式(*)无解．综上所述，t 的取值范围为(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)．。

阶段滚动检测（四)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（填空题）和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．（2016·吉林实验中学)已知集合A＝错误!，B＝错误!,则A∪（∁R B）＝_____________。

2．(2016·淮安模拟)下列结论正确的个数是________．①已知复数z＝i(1－i)，z在复平面内对应的点位于第四象限；②若x，y是实数，则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠－y";③命题p:“∃x∈R，x2－x－1〉0"的否定綈p：“∀x∈R,x2－x－1≤0”．3．(2016·河南中原名校高三上学期第一次联考）已知函数f（x）＝错误!，若f(a)＝错误!，则f（－a）＝________。

4．（2016·云南第一次统一检测）已知函数f（x)的定义域为实数集R，∀x∈R，f(x－90)＝错误!则f(10）－f(－100)的值为________．5．定义在R上的偶函数f（x）,对任意x1，x2∈0,＋∞）(x1≠x2)，有f x 2－f x 1x2－x1〈0，则f(1）、f（－2）、f(3）的大小关系____________．6．在△ABC中，内角A,B，C所对的边长分别为a，b，c.a sin B cos C ＋c sin B cos A＝错误!b，则sin B＝________。

7．(2016·青岛一模)已知数列错误!为等差数列，其前n项和为S n，若a3＝6,S3＝12,则公差d＝________.8．(2016·泰州模拟)已知在△ABC中,内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c,若A＝错误!,b＝2a cos B，c＝1，则△ABC的面积为________．9．已知数列错误!满足a1＝1，且a n＝错误!a n－1＋（错误!)n（n≥2且n∈N*)，则数列错误!的通项公式为____________．10．(2016·天津模拟）若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞）恒成立，则实数a的取值范围是________．11．已知S n是等比数列｛a n}的前n项和，若存在m∈N*，满足错误!＝9，错误!＝错误!，则数列{a n｝的公比为________．12．设函数f(x）＝错误!若函数y＝f(x)在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是________________．13．(2015·郑州模拟)整数数列｛a n}满足a n＋2＝a n＋1－a n (n∈N＊)，若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2015项的和为________．14．(2016·徐州模拟）已知函数f(x）＝2sin2（错误!＋x)－错误!cos2x。

集合 函数 导数 三角函数的综合（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1. 设,a b ∈R ，则“a b >”是“||||a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D考点：充分必要条件 2. 函数()ln xf x x=在点()()00,x f x 处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ） A ．1e - B ．1e C ．21eD ．2e 【答案】B 【解析】试题分析：()002l ln 1'0()()x f x x e f x f e x e-==⇒=⇒==，故选B ． 考点：导数的几何意义．3. 已知两个集合(){}2ln 2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=212x e e xB 则=⋂B AA.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 B ． ⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1 C ．()e ,1- D ． ()e ,2【答案】B【解析】因为(){}{}212ln 2<<-∈=++-=∈=x R x x x y R x A ，()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=21|012|012|212|x e x x e x x x x e e x x x x e e x B 或，所以=⋂B A ⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1.考点:集合的运算4. 【2018河南豫南豫北联考】函数()1log ,0,12xa f x x a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭.若该函数的两个零点为12,x x ，则（ ）A. 121x x >B. 121x x =C. 121x x <D. 无法判定 【答案】C5. 【2018山东德州联考】()()02f x Asin x A πωϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的图象如图所示，为了得到f （x ）的图象，则只要将g （x ）=cos2x 的图象（ ）A. 向右平移12π个单位长度B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度 D. 向左平移6π个单位长度【答案】A【解析】根据()()02fx A s i n x A πωϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的图象可得， 1A =，43124T πππ=-=，则T π= ∴2=2Tπω= 根据五点法作图可得2122ππϕ⨯+=，则263πππϕ=-=∴()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故将函数()c o s 2g x x =向右平移12π个单位长度，可得][()cos 2sin 2sin 2sin 212122623y x x x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选A6. 设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对边的长分别为a ，b ，c 若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝( ) A ．3πB ．π32 C ．π43 D ．π65【答案】B考点：1.正弦定理；2.余弦定理. 7. 【2018安徽阜阳一中二模】已知 ，函数在内单调递减，则的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】B 【解析】∵∴的单调减区间为∵，函数 在内单调递减，且∴取，得∴∴，故答案选B8. 若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当1212172,,,123x x x x ππ⎛⎫∈--≠ ⎪⎝⎭时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）A ．B ．2C ．D 【答案】C 【解析】考点：三角函数图象与性质． 9. 已知变量a,b 满足b=－12a 2+3lna （a>0）,若点Q （m,n ）在直线y=2x+12上, 则（a-m ）2+（b-n ）2的最小值为A.9B.353 C.59 D.3【答案】C 【解析】试题解析：令221ln 3x x y -=及y=2x+12，则（a-m ）2+（b-n ）2的最小值就是曲线221ln 3x x y -=上一点与直线y=2x+12的距离的最小值，对函数221ln 3x x y -=求导得：x x y -='3，与直线y=2x+12平行的直线斜率为2，令x x-=32得1=x 或3-=x （舍），则1=x ，得到点)21,1(-到直线y=2x+12的距离为553，则（a-m ）2+（b-n ）2的最小值为59)553(=. 【方法点睛】本题转化为一条曲线上一点到一条直线的距离的最小值问题，再转化为曲线上一点的切线平行已知直线，化为两条平行线间的距离的最小值，是一种转化思想. 考点：两点间的距离. 10. 设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）①()f x 的图象关于直线3x π=对称； ②()f x 的图象关于点(,0)4π对称；③()f x 的图象向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图象；④()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数． A. ①③ B . ②④ C. ①③④ D . ③ 【答案】D考点：三角函数的性质11. 设函数)s i n ()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为 A ．2πB ．2πC ．4πD ．π 【答案】D 【解析】试题解析：)sin()(ϕω+=x x f 在区间]2,6[ππ上单调，0>ω，ωπωπππ=⋅=≤∴22126-2T ，即30≤<ω，又⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，1272322πππ=+=∴x 为)sin()(ϕω+=x x f 的一条对称轴，且3262πππ=+，则)0,3(π为)sin()(ϕω+=x x f 的一个对称中心，由于30≤<ω，所以127π=x 与)0,3(π为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，则πππ=-=)3127(4T .选D.考点：三角函数图象与性质.【方法点睛】根据三角函数的图象在某区间的单调性可判断ω的范围，根据函数值相等可判断函数图象的对称轴，根据函数值互为相反数可判断函数图像的对称中心，有了函数图像的对称轴和对称中心可判断函数的周期.12. 已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根, 则实数m 的取值范围为（ ） A.()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭ B.(]1,11,12e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭ D.(]1,11,13e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】考点：根的存在性及根的个数判断.【方法点晴】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及数形结合的思想应用，同时考查了分类讨论与转化思想的应用及导数的综合应用，属于中档题.方程()10f x mx --=恰有两个不同实根可转化为函数()(),12,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与直线1+=mx y 的图象有且只有两个不同的交点，从而结合图象求解，在结合图象的过程中，需注意临界位置的取舍. 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知(),x e x f x-=求过原点与()x f 相切的直线方程___________;【答案】()x e y 1-= 【解析】试题分析：设切点坐标为()000,x e x x-，由题意可得：()==0'x f k 10-xe ，所以切线方程为()x e y x 10-=，联立()110000000=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-=x x e y x e y x x ， 所以切线方程为()x e y 1-=. 考点：导数的几何意义14. 在三角形ABC 中，已知4,3,6AB AC BC ===，P 为BC 中点，则三角形ABP 的周长为 .【答案】72+. 【解析】试题分析：首先作出图像如下图所示，设APB α∠=，APC πα∠=-，则在ABP ∆与APC ∆中，由余弦定理可得：2222cos AB AP BP AP BP α=+-⋅，2222cos()AC AP PC AP PC πα=+-⋅-，所以2222122AB AC AP BC +=+，即2222143262AP +=+⨯，解得AP =所以三角形ABP 的周长为7+，故应填72+.考点：余弦定理15. 【2018豫西南示范高中联考】已知函数()sin2(0)f x x ωω=->的图象关于点5,04M π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的值为__________．【答案】25故答案为：25。

阶段滚动检测(七)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．已知函数f (x ＋1)的定义域为－2,3]，则f (2x 2－2)的定义域是__________________． 2．(2016·宿迁模拟)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是______________．3．(2016·盐城模拟)已知先后连掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ＞90°的概率是________．4．已知点P 是曲线E ：x 2－y ＋1＝0上的任意一点，则点P 到直线l ：4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是__________．5．(2016·常州模拟)已知等比数列{a n }的公比为q (0<q <1)，前n 项和为S n ，若a 1＝4a 3a 4，且a 6与34a 4的等差中项为a 5，则S 6＝________.6．(2016·苏北四市联考)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，那么|c |的最大值为________．7．(2016·佛山质检)若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知E (X )＝43，V (X )＝29，则x 1＋x 2＝________.8．(2016·苏州模拟)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2sin(A ＋B )－3＝0，则c ＝________. 9．在区间－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为________．10．(2016·成都第二次诊断性检测)小明手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的K,3张为不同花色的A ，规定每次只能出同一种点数的牌(可以只出一张，也可出多张)，出牌后不再收回，且同一次所出的牌不考虑顺序．若小明恰好4次把牌出完，则他不同的出牌方式的种数为________．11．(2016·天津十二区县联考一)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝2px(p＞0)有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点(－5，－15 4)，则双曲线的离心率为________．12．(2016·山东青岛质检)设z＝x＋y，其中实数x，y满足20,0,0,x yx yy k+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z的最大值为6，则z的最小值为______．13．(2016·南昌模拟)已知x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－2x的零点，则g(x0)＝________.14．(2016·兰州一中第一次月考)已知f(x＋1)＝x－1＋e x＋1，则函数f(x)在点(0，f(0))处的切线l与坐标轴围成的三角形面积为________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2016·苏州模拟)某高中数学竞赛培训班在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，方能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训班，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立．(1)(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的概率分布及均值E(ξ).16.(14分)(2016·四川南充第三次高考适应性考试)在锐角△ABC中，角A，B，C 所对边分别为a，b，c，向量m＝(1，cos B)，n＝(sin B，－3)，且m⊥n. (1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积为332，且3ac＝25－b2，求a，c的值.17.(14分)设f(x)＝ln x＋a(x2－1)－2(x－1)．(1)若a＝0时，直线y＝mx＋1与曲线y＝f(x)相切，求m的值；(2)已知(x－1)f(x)≥0，求a的取值范围.18．(16分)(2016·常州模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝ 6.点F，E分别是边A1C1和侧棱BB1的中点．(1)证明：FB⊥平面AEC；(2)求二面角F－AE－C的余弦值.19.(16分)(2016·贵阳检测二)已知数列{}a n 的前n 项和为S n,7S n ＝8a n －2对于n ∈N *恒成立，且b n ＝log 2a n .(1)求数列{}b n 的通项公式，并证明{}b n 是等差数列； (2)设c n ＝2n b n ，求数列{}c n 的前n 项和T n .20.(16分)(2016·兰州一中第一次月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线L ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB ＝－b 2a 2，判断△AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由.答案解析1．－3，－22]∪22，3]解析 ∵f (x ＋1)的定义域为－2,3]，即其自变量x 的取值范围是－2≤x ≤3，若令t ＝x ＋1，则－1≤t ≤4，即关于t 的函数f (t )的定义域为－1,4]，从而要使函数f (2x 2－2)有意义，只需－1≤2x 2－2≤4，解得－3≤x ≤－22或22≤x ≤ 3.∴f (2x 2－2)的定义域为－3，－22]∪22，3]．2．0，34]解析 当a ＝0时，函数为一次函数f (x )＝－12x ＋5，符合题意； 当a ＞0时，二次函数开口向上，故函数的对称轴x ＝3－aa ≥3，解得a ≤34，即0＜a ≤34；当a ＜0时，二次函数开口向下，函数图象先增后减，不符合题意． 综上，a 的取值范围是0，34]． 3.512解析 由向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ＞90°，得－m ＋n ＜0，即m ＞n ，m ＞n 的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)共15种，又易知所有的情况共有36种，故所求概率为1536＝512. 4.22解析 易知曲线E 与直线l 无交点，直线l 的斜率为－1，因此曲线E 的斜率为－1的切线与直线l 的距离即为所求，由题意知y ＝x 2＋1，y ′＝2x ，令2x ＝－1，解得x ＝－12，当x ＝－12时，y ＝x 2＋1＝54，所以切点P (－12，54)，故所求最短距离为|－12×4＋54×4＋1|42＋42＝22.5.634解析 因为a 6与34a 4的等差中项为a 5，所以a 6＋34a 4＝2a 5，所以a 1q 5＋34a 1q 3＝2a 1q 4，所以4q 2－8q ＋3＝0，解得q ＝12或q ＝32(舍去)，代入a 1＝4a 3a 4，解得a 1＝8，故S 6＝8(1－126)1－12＝634. 6.2＋1解析 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则(a －c )·(3b －c )＝(1－x ，－y )·(－x ，3－y )＝x 2－x ＋y 2－3y ＝1，即(x －12)2＋(y －32)2＝2，可知c 的终点在以(12，32)为圆心，2为半径的圆周上．因为|c |2＝x 2＋y 2可看作圆周上的点到点(0,0)的距离的平方， 所以|c |max ＝(0－12)2＋(0－32)2＋2＝2＋1.7．3解析 由题意知23x 1＋13x 2＝43，又V (X )＝(x 1－E (X ))2·P (X ＝x 1)＋(x 2－E (X ))2P (X ＝x 2)＝(x 1－43)2×23＋(x 2－43)2×13＝29，x 1＜x 2，与23x 1＋13x 2＝43联立，解得x 1＋x 2＝3. 8. 6解析 ∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.又2sin(A ＋B )－3＝0，即sin(A ＋B )＝32，∴sin C ＝sin π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝32，又C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝12.根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝6， ∴c ＝6(负值舍去)． 9．1－π4解析 由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4.10．96解析 由题意得4次把牌出完，则有3次是出1张牌，1次是出2张牌，当出的2张牌为K 时，共有A 44＝24(种)出牌方式；当出的2张牌为A 时，共有C 13A 44＝72(种)出牌方式．综上所述，共有24＋72＝96(种)出牌方式． 11.54解析 因为(－5，－154)在渐近线上，故－154＝－5·b a ，解得b a ＝34， 故双曲线的的离心率e ＝ca ＝1＋(b a )2＝54.12．－3解析 不等式组表示的可行域如图所示，直线x ＋y ＝z 经过点A (k ，k )时取得最大值，所以k ＋k ＝6，k ＝3，z ＝x ＋y 过点B (－6，3)时取得最小值z min ＝－6＋3＝－3.13．2解析 依题意，注意到f (2)＝ln2－1＜0，f (3)＝ln3－23＞1－23＝13＞0，因此函数f (x )的零点x 0∈(2,3)，于是有g (x 0)＝x 0]＝2.14.14解析 由题意可得f (x )＝x －2＋e x ，则f (0)＝－2＋1＝－1，f ′(x )＝1＋e x ，f ′(0)＝2，所以函数f (x )在点(0，f (0))处的切线l 的方程为y ＝2x －1，与坐标轴的交点为(0，－1)和(12，0)，则切线l 与坐标轴围成的三角形面积为12×1×12＝14.15．解 (1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P (ABCD )＋P (ABC D )＋P (A BCD )＝23×34×23×12＋23×34×23×12＋13×34×23×12＝512. (2)由题设知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，ξ～B (3，512)， ∴P (ξ＝0)＝C 03(712)3＝3431728； P (ξ＝1)＝C 13(512)(712)2＝7351728；P (ξ＝2)＝C 23(512)2(712)＝5251728； P (ξ＝3)＝C 33(512)3＝1251728.∴ξ的概率分布为∵ξ～B (3，512)，∴E (ξ)＝3×512＝54.16．解 (1)由m ⊥n ，m ＝(1，cos B )，n ＝(sin B ，－3)， 得sin B －3cos B ＝0，即tan B ＝3， 又B ∈(0，π2)，∴B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝332，∴ac ＝6.① 又3ac ＝25－b 2，得b 2＝7， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝7，② 联立①②，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2.17．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x －2(x －1)，f ′(x )＝1x －2. 设切点为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝ln x 0－2(x 0－1)，1x 0－2＝y 0－1x 0，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝0.直线y ＝mx ＋1过点(1,0)，解得m ＝－1. (2)f ′(x )＝1x ＋2ax －2，x ∈(0，＋∞)，(ⅰ)若a >0，则f ′(x )＝1x ＋2ax －2≥2(2a －1)， 当且仅当x ＝12a时等号成立． 当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又f (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，f (x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 于是有(x －1)f (x )≥0.当0<a <12时，记x 1＝1＋1－2a 2a ，则x 1>1，当x ∈(1，x 1)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(1，x 1)上单调递减， 此时f (x )<0，即(x －1)f (x )<0；(ⅱ)若a ＝0，则当x ∈(12，1)时，f ′(x )<0， f (x )在(12，1)单调递减，此时f (x )>f (1)＝0，即(x －1)f (x )<0； (ⅲ)若a <0，记x 2＝1－1－2a2a，则0<x 2<1.当x ∈(x 2,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(x 2,1)上单调递减， 此时f (x )>f (1)＝0，即(x －1)f (x )<0. 综上，a 取值范围是12，＋∞)．18．(1)证明 取AC 的中点O ，连结OF ，OB ，则有A 1A ∥FO ， 故FO ⊥平面ABC .在正三角形ABC 中，O 是AC 的中点，故OB ⊥AC ，OA ＝OC ＝1，OB ＝ 3.如图，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，0,0)，E (0，3，62)，F (0,0，6)．FB→＝(0，3，－6)，AE →＝(－1，3，62)， AC→＝(－2,0,0)，AF →＝(－1,0，6)． ∵FB →·AE →＝(0，3，－6)·(－1，3，62)＝0， ∴FB→⊥AE →，即FB ⊥AE . 又∵FB →·AC →＝(0，3，－6)·(－2,0,0)＝0， ∴FB→⊥AC →，即FB ⊥AC . 而AE ∩AC ＝A ，AE ⊂平面AEC ，AC ⊂平面AEC ， ∴FB ⊥平面AEC .(2)解 设平面AEF 的法向量为n ＝(a ，b ，c )． 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE→＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎨⎧－a ＋3b ＋62c ＝0，－a ＋6c ＝0，令c ＝6，则a ＝6，b ＝3，即n ＝(6，3，6)． 由(1)知平面AEC 的一个法向量为FB→＝(0，3，－6)． 设二面角F －AE －C 的平面角为θ，易知0＜θ≤π2， ∴cos θ＝|FB →·n ||FB→||n |＝515.19．解 (1)∵7S n ＝8a n －2对于n ∈N *恒成立， 当n ＝1时，7a 1＝8a 1－2，∴a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝17(8a n －2)－17(8a n －1－2)，即a n ＝8a n －1，∴数列{}a n 是首项a 1＝2，公比q ＝8的等比数列． a n ＝2×8n －1＝23n －2，b n ＝log 2a n ＝log 223n －2＝3n －2， 即数列{}b n 的通项公式b n ＝3n －2.又b n ＋1－b n ＝3(n ＋1)－2－(3n －2)＝3， ∴{}b n 是首项b 1＝1，公差为3的等差数列．(2)数列{}c n 的前n 项和T n ＝21b 1＋22b 2＋…＋2n b n＝21×1＋22×4＋23×7＋…＋2n (3n －2)，① ∴2T n ＝22×1＋23×4＋…＋2n (3n －5)＋2n ＋1(3n －2)，② ①－②，得－T n ＝2＋3(22＋23＋…＋2n )－2n ＋1(3n －2) ＝2＋3×4(1－2n －1)1－2－2n ＋1(3n －2) ＝－2n ＋1(3n －5)－10，∴T n ＝2n ＋1(3n －5)＋10.20．解 (1)由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2， 又b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)△AOB 的面积为定值．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)＞0， 化简得3＋4k 2－m 2＞0，∴x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3(m2－4k2) 3＋4k2.又k OA·k OB＝－34，即y1y2x1x2＝－34，y1y2＝－34x1x2，∴3(m2－4k2)3＋4k2＝－34·4(m2－3)3＋4k2，化简得2m2－4k2＝3，∵AB＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋k2·48(4k2－m2＋3)(3＋4k2)2＝24(1＋k2)3＋4k2，又点O到直线AB的距离d＝|m|1＋k2，∴S△AOB ＝12AB·d＝1224(1＋k2)3＋4k2·|m|1＋k2＝1224(1＋k2)m2(3＋4k2)(1＋k2)＝1224m23＋4k2＝12243＋4k2·3＋4k22＝ 3.。