人教版选修2-2 第一章《导数及其应用》单元测试

第一章导数及其应用测试题一、 选择题1．设 y1 x 2（ ）．，则 y'sin xA ．2x sin x (1x 2 ) cos x2x sin x(1 x 2 ) cos xsin 2xB ．sin2x2x sin x (1x 2 )2x sin x(1 x 2 )C ．sin xD ．sin x2．设 f ( x)ln x21 ，则 f ' (2) （ ）．42C ．1 D ．3A ．B ．55553．已知 f (3)2, f ' (3)2 ，则 lim2x3 f ( x) 的值为（ ）．x3x 3A ． 4B ． 0C ． 8D ．不存在4．曲线 yx 3 在点( 2,8) 处的切线方程为（）．A ． y6x 12 B ． C ． y8x10D ． y 12x 16y2x 325．已知函数 f ( x) ax 3 bx 2cx d 的图象与 x 轴有三个不一样交点(0,0), ( x 1,0) ，(x 2 ,0) ，且 f (x) 在 x1， x 2 时获得极值，则 x 1 x 2 的值为（）A ． 4B ． 5C ． 6D ．不确立6．在 R 上的可导函数 f ( x)1 x 3 1 ax2 2bx c ，当 x (0,1) 获得极大值， 当 x (1,2)32获得极小值，则 b2的取值范围是（）．a 1A ． (1,1)B ． (1,1)C ．( 1,1)D ． ( 1,1)422 42 27．函数 f ( x)1 e x (sin x cos x) 在区间 [0, ] 的值域为（ ）．22A ．[1 , 1e 2 ]B ． (1 , 1e 2 )C ． [1, e 2 ]D ． (1, e2)2 22 2aa2x 2dx （）．8．积分aA．1a2 B．1a 2 C．a2 D ．2 a24 29．由双曲线x 2 y 21，直线 y b, y b 围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体a 2 b2积为（）A．8ab2 B．8a2b C．4a2b D．4ab2 3 3 3 310．由抛物线y2 2x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积是（）．A ．1838 16D．16 B．C．3 311．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ． 3 V Ｂ．3 2V Ｃ．34V D．23V二、填空题13．曲线y x3在点 (a, a 3 )( a 0) 处的切线与 x 轴、直线 x a 所围成的三角形的面积为1，则 a _________ 。

第一章 导数及其应用测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( )A ．(cos x )′＝sin xB ．(2πx 2)′＝4π2xC ．(e x )′＝x e x －1 D ．(lg x )′＝1x ln 10详细分析：∵(cos x )′＝－sin x ，(2πx 2)′＝4πx ，(e x )′＝e x ，(lg x )′＝1x ln 10，∴A 、B 、C 选项均不正确，D 选项正确，故选D.答案：D2．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒详细分析：s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)＝t (t －4)(t －8)，可得t ＝0，或t ＝4，或t ＝8，故选D.答案：D3．曲线y ＝(x －1)e x (e 为自然对数的底数)在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝x －1 C ．y ＝e x ＋e D ．y ＝e x －e详细分析：由y ＝(x －1)e x ，得y ′＝x e x ，∴曲线在点(1,0)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝e ，∴切线方程为y ＝e(x －1)，即y ＝e x －e ，故选D.答案：D4．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成的图形面积是23，则c ＝( )A ．1 B.12C.32D ．2 详细分析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx 3，得两曲线交于点O (0,0)和点A ⎝⎛⎭⎫1c ，1c 2，∴两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成的图形面积S ＝ (x 2－cx 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14cx 4＝13·1c 3－14·c·1c 4＝112c 3＝23，解得c ＝12，故选B . 答案：B5．函数f(x)＝x ＋3x＋2ln x 的单调递减区间是( )A ．(－3,1)B ．(0,1)C ．(－1,3)D ．(0,3)详细分析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－3x 2＋2x ＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.由f ′(x)<0，得0<x<1，∴函数f(x)的单调递减区间是(0,1)．故选B .答案：B6．函数f(x)的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点详细分析：由导函数f ′(x )的图象知，f ′(x )＝0有四个根，设这四个根从左到右依次为a ，b ，c ，d ，又x ∈(－∞，a )时，f (x )单调递增；x ∈(a ，b )时，f (x )单调递减；x ∈(b ，c )时，f (x )单调递增；x ∈(c ，d )时，f (x )单调递减；当c ∈(d ，＋∞)时，f (x )单调递增，∴a ，c 为函数的极大值点，b ，d 为函数f (x )的极小值点，故选C.答案：C7．已知函数f (x )＝x 2＋2x －2的图象在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3)详细分析：由f (x )＝x 2＋2x －2，得f ′(x )＝2x ＋2，∵函数f (x )在点M 处的切线平行于x 轴，∴f ′(x )＝0，即x ＝－1，∴f (－1)＝1－2－2＝－3，∴点M 的坐标为(－1，－3)，故选B.答案：B8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．[3，2)D ．(3，2)详细分析：由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1,1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2a )2－4×3×1>0－1<－2a 6<1f ′(－1)＝3－2a ＋1>0f ′(1)＝3＋2a ＋1>0，又a >0，解得3<a <2.故选D.答案：D9．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b )详细分析：令h (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[a ，b ]，∴f ′(x )>g ′(x )，∴h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )>0，∴h (x )在区间[a ，b ]上单调递增，当a <x 时，h (a )<h (x )，即f (a )－g (a )<f (x )－g (x )，∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )，故选C.答案：C10．已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43C ．2 D.83详细分析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2， 设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0， 所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积.答案：B11．若函数f(x)＝e x (sin x ＋a)在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－2，＋∞)详细分析：f ′(x)＝e x (sin x ＋a)＋e x ·cos x ＝e x (sin x ＋cos x ＋a)，∵函数f(x)＝e x (sin x ＋a)在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且e x >0， ∴sin x ＋cos x ＋a ≥0，即a ≥－(sin x ＋cos x)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立． ∵当－π2<x<π2时，－π4<x ＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，∴－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ∈[－2，1)．∴a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)，故选C . 答案：C 12．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围为( )A ．(－1,2) B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎝⎛⎭⎫12，2 D ．(－2,1)详细分析：因为f (x )是奇函数，所以不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )，即xf ′(x )＋f (x )<0，即F ′(x )<0.当x ∈(－∞，0]时，函数F (x )单调递减；由于F (x )＝xf (x )为偶函数，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增．所以F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)， 即3>|2x －1|，解得－1<x <2. 答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.详细分析：由f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，令x ＝2，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)，解得f ′(2)＝－2.答案：－214．已知某矩形广场面积为40 000 m 2，则其周长至少为________米．详细分析：设广场的长为x m ，则宽为40 000xm ，于是其周长为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋40 000x (x >0)，所以y ′＝2⎝⎛⎭⎫1－40 000x 2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0<x <200时，y ′<0；当x >200时，y ′>0，所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800 m.答案：80015．由曲线y 2＝x ，直线y ＝x －2所围成的封闭图形的面积为________．详细分析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝2，根据定积分的几何定义可知所求封闭图形的面积.答案：9216．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是________． 详细分析：令f(x)＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．显然，当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当－1<x<1时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以当x ＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝m ＋2；当x ＝1时，f(x)取极小值f(1)＝m －2.而f(0)＝m ，f(2)＝m ＋2，f(0)<f(2) 因为f(x)＝0在[0,2]上有解，所以⎩⎨⎧f (1)≤0f (2)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤02＋m ≥0，所以－2≤m ≤2. 答案：[－2,2]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 详细分析：(1)∵f ′(x)＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝3×22－8×2＋5＝1， 又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5.∴切线方程为y －(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －x 0)又切线过点A(2，－2)，∴－2－(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(2－x 0)，整理，得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或1.∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0.18．(12分)已知函数f(x)＝ln (ax ＋1)＋1－x 1＋x，x ≥0，其中a>0.(1)若f(x)在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a 的取值范围．详细分析：(1)f ′(x)＝a ax ＋1－2(1＋x )2＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，因为f(x)在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0， 即a ＋a －24(a ＋1)＝0，解得a ＝1. (2)由(1)知f ′(x)＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，因为x ≥0，a>0，所以ax ＋1>0.①当a ≥2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x)>0，所以f(x)的单调增区间为[0，＋∞)． ②当0<a<2时，由f ′(x)>0解得x>2－aa， 由f ′(x)<0解得x<2－aa， 所以f(x)的单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2－a a ，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2－aa ，＋∞. 综上可知，当a ≥2时，f(x)的单调增区间为[0，＋∞)；当0<a<2时，f(x)的单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0， 2－a a ，单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－aa ，＋∞. (3)当a ≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1， 当0<a<2时，由(2)②知，f(x)在x ＝2－a a 处取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫2－a a <f(0)＝1，综上可知，若f(x)的最小值为1，则a 的取值范围是[2，＋∞)．19．(12分)苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p(万件)与广告费用x(万元)满足p ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)．已知生产该批产品p 万件还需投入成本(10＋2p)万元(不含广告费用)，产品的销售价格为⎝⎛⎭⎫4＋20p 元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完． (1)将该产品的利润y(万元)表示为广告费用x(万元)的函数； (2)问广告投入多少万元时，厂商的利润最大？详细分析：(1)由题意知，y ＝⎝⎛⎭⎫4＋20p p －x －(10＋2p)， 将p ＝3－2x ＋1代入化简得y ＝16－4x ＋1－x(0≤x ≤a ，a 为正常数)．(2)由(1)知y ′＝－1－－4(x ＋1)2＝－(x ＋1)2＋4(x ＋1)2＝－(x ＋3)(x －1)(x ＋1)2(0≤x ≤a ，a 为正常数)．①当a>1时，在区间(0,1)上，y ′>0，函数在(0,1)上单调递增； 在区间(1，a)上，y ′<0，函数在(1，a)上单调递减． 则广告费用投入1万元时，厂商的利润最大． ②当a ≤1时，函数在[0，a]上单调递增，所以x ＝a 时，函数有最大值，即广告费用投入a 万元时，厂商的利润最大．综上所述，当a>1时，广告费用投入1万元，厂商的利润最大；当a ≤1时，广告费用投入a 万元，厂商的利润最大．20．(12分)已知F(x)＝⎠⎛x －1t(t －4)d t ，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值． 详细分析：F(x)＝＝13x 3－2x 2－⎝⎛⎭⎫－13－2＝13x 3－2x 2＋73(x>－1)．(1)F ′(x)＝⎝⎛⎭⎫13x 3－2x 2＋73′＝x 2－4x ， 由F ′(x)>0，即x 2－4x>0，得－1<x<0或x>4；由F ′(x)<0，即x 2－4x<0，得0<x<4，所以F(x)的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F(x)在[1,4]上递减，在[4,5]上递增． 因为F(1)＝13－2＋73＝23，F(4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F(5)＝13×53－2×52＋73＝－6，所以F(x)在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253.21．(12分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R ) (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值；(2)对任意a ∈[－1，＋∞)，f (x )在区间(0,2)单调递增，求b 的最小值； (3)若a ＝1，且过点(－2,0)能作f (x )的三条切线，求b 的取值范围． 详细分析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意： f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0①，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10②由①②解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3；经检验当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3时无极值点，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－11时函数f (x )在x ＝1处有极小值，故b ＝－11.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对∀a ∈[－1，＋∞)， 当x ∈(0,2)恒成立记h (a )＝3x 2＋2ax ＋b ＝(2x )a ＋3x 2＋b ， ∴h (a )min ＝h (－1)＝3x 2－2x ＋b ≥0 又设H (x )＝3x 2－2x ＋b ，当x ∈(0,2)时H (x )min ＝H ⎝⎛⎭⎫13＝－13＋b ≥0， b ≥13，∴b 的最小值为13. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 3＋x 2＋bx ＋1，设切点为P (x 0，y 0)，则切线斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋2x 0＋b ＝f (x 0)x 0＋2， ∴2x 30＋7x 20＋4x 0＋2b －1＝0， 设F (x 0)＝2x 30＋7x 20＋4x 0＋2b －1，过点(－2,0)能作f (x )三条切线等价于F (x 0)有三个零点 F ′(x 0)＝6x 20＋14x 0＋4＝2(3x 0＋1)(x 0＋2)令⎩⎪⎨⎪⎧F (－2)>0F ⎝⎛⎭⎫－13<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3>02b －4427<0， ∴b ∈⎝⎛⎭⎫－32，2227. 22．(12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )； (3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>0. 详细分析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋(1－a )x －a x ＝(x ＋1)(x －a )x.若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则令f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－⎣⎡⎦⎤12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln (a －x )＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )． 所以g ′(x )＝2－a a ＋x －a a －x ＝2x 2x 2－a 2.当0<x <a 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，a )上是减函数． 而g (0)＝0，所以g (x )<g (0)＝0. 故当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )．(3)由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点， 故a >0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )<0. 不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<a <x 2，所以0<a －x 1<a . 由(2)得f (2a －x 1)<f (x 1)＝0＝f (x 2)， 从而x 2>2a －x 1，于是x 1＋x 22>a .由(1)知，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.。

数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作数学人教A 选修2-2第一章 导数及其应用单元检测(时间：60分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后走过的路程为43215243s t t t =-+，那么速度为0的时刻是( )A ．1 s 末B ．0 sC ．4 sD ．0 s 末，1 s 末，4 s 末2．当x 在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f ′(x )的符号变化如下表：x (－∞，1) 1 (1,4) 4 (4，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 －则函数f (x )的图象的大致形状为( )3．当x ＝a 时，函数y ＝ln(x ＋2)－x 取到极大值b ，则ab 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．π4π41cos 2d 3x x -⎰＝( )A ．13 B ．23C ．23D ．23-5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m 时F (x )做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．已知f (x )＝(x ＋a )2，且1'32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．28．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21 D ．a ＝0或a ＝21 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________． 10．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．11．若函数()241xf x x =+在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．．三、解答题(共34分)12．(10分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值．13．(10分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？14．(14分)已知a ∈R ，f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求f ′(x )；(2)若f ′(1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a 的取值范围．参考答案1答案：D 解析：s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0得t ＝0,1,4．2答案：C 解析：从表中可知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．3答案：A 解析：y ′＝[ln(x ＋2)－x ]′＝112x -+．令y ′＝0，得x ＝－1，此时y ＝ln 1＋1＝1，即a ＝－1，b ＝1，故ab ＝－1．4答案：A 解析：ππ44ππ441111cos 2d sin 23323x x x--=⨯=⎰． 5答案：C 解析：f ′(x )＝2bx x -++．∵f (x )在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x )在(－1，＋∞)上小于零恒成立， 即2bx x -++≤0恒成立， ∴b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又∵x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1＜－1，∴b ≤－1． 6答案：C 解析：依题意F (x )做的功是 W ＝105⎰F (x )d x ＝105⎰(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )105＝825(J)．7答案：B 解析：∵f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，依题意有2×12＋2a ＝－3，解得a ＝－2．8答案：A 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A ．9答案：a ＜0 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x (x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，则曲线f (x )上存在导数为0的点，即3ax 2＋1x ＝0有解，313a x=-，∵x ＞0，∴3103x-<．∴a ＜0．10答案：54 解析：由题意f (x )＝110,0,211010,1,2x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩则xf (x )＝22110,0,211010, 1.2x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x ＝1323120121010533x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝101105101553834384⎛⎫⎛⎫⨯+---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11答案：－1＜m ≤0 解析：由已知得f ′(x )＝22244(1)x x -+在(m ,2m ＋1)上有f ′(x )≥0，即1－x 2≥0，－1≤x ≤1，∴1,211,2 1.m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩∴－1＜m ≤012答案：解：f ′(x )＝2ax ＋b ＋4x ＝224ax bx x ++，x ∈(0，＋∞)，由y ＝f (x )的极值点为1和2，∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，∴240,8240,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩答案：由(1)得f (x )＝x 2－6x ＋4ln x ，∴f ′(x )＝2x －6＋4x＝22642(1)(2)x x x x x x-+--=，x ∈(0,3]．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2(2,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0＋f (x )单调递增 －5 单调递减 4ln 2－8 单调递增4ln 3－9∵f (3)＝4ln 3－9＞f (1)＝－5＞f (2)＝4ln 2－8， ∴f (x )max ＝f (3)＝4ln 3－9．13答案：解：设CD ＝x (km)，则CE ＝3－x (km)． 由题意得所需电线的长为l ＝AC ＋BC ＝2221 1.5(3)x x +++-(0≤x ≤3)． ∴22222(3)'212 1.5(3)x x l xx --=+++-．令l ′＝0，则222301 1.5(3)x xx x --=++-，即22231 1.5(3)x x x x -=++-，平方， 得22222(3)1 1.5(3)x x x x -=++-， 即1.52x 2＋x 2(3－x )2＝(3－x )2＋x 2(3－x )2， ∴1.52x 2＝(3－x )2，∴1.5x ＝±(3－x )，解得x ＝1.2或x ＝－6(舍去)，经检验x ＝1.2为函数的最小值点，故当CD ＝1.2 km 时所需电线最短．14答案：解：f ′(x )＝(x 2－4)′(x －a )＋(x 2－4)(x －a )′ ＝2x (x －a )＋x 2－4＝3x 2－2ax －4．答案：由f ′(1)＝0，得3－2a －4＝0，∴12a =-． 此时f (x )＝(x 2－4)12x ⎛⎫+⎪⎝⎭，f′(x)＝3x2＋x－4＝(x－1)(3x＋4)．∴x＝1和43x=-是函数f(x)的极值点．∵9(1)2f=-，450327f⎛⎫-=⎪⎝⎭，f(2)＝f(－2)＝0，∴f(x)max＝5027，f(x)min＝92-．答案：f′(x)＝3x2－2ax－4，如图，设f′(x)＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1＜x2，则有'(2)0,'(2)0,22223ffa⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪-≤≤⨯⎩⇒223(2)440,32440,66aaa⎧⨯-+-≥⎪⨯--≥⎨⎪-≤≤⎩⇒2,2,66,aaa≥-⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩∴－2≤a≤2，即实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}．。