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状元廊学校数学思维方法讲义之十三 年级：九年级
第13讲 直线和圆的位置关系
圆的知识在平面几何中乃至整个初中教学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何知识的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，在几何证明与计算中，将起到重要的作用，是中考必考查点。
【知识纵横】
§Ⅰ直线和圆的位置关系：
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．
⑴直线与圆相交d__ ____ r；
⑵直线与圆相切d__ ____ r；
⑶直线与圆相离d__ ____r。
§Ⅱ圆的切线：
1．一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的__ ___；这个公共点叫做__ ___；
2．两种判定：⑴若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；⑵经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；
3．判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”：
一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；
二“算”：算算圆心到直线的距离d和圆的半径为r之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断；
三“证明”： 证明直线是否经过直径的一端，并且与该直径的位置关系是否垂直。
4．四条性质：切线有许多重要性质
⑴圆心到切线的距离等于圆的_ ____；
⑵过切点的半径垂直于_ ____；
⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过___ __；
⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过____ _。
5．弦切角
定义 ：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角；
定理 ：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
推论 ：a)两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角也相等；
第六章 圆
第二十三讲 圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】
一、 圆的定义及性质：
1、 圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的 叫做弦
弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的
2、直径是圆中 的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、 垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。
2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 。
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角
2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别
第39讲 圆与圆的位置关系（一）
[复习目标]
使学生了解圆与圆之间的5种位置关系，掌握两圆位置关系的判定方法，了解两圆公切线的有关概念，掌握两圆相交、相切的有关性质，并会应用于解题．
[知识要点]
1．两圆的5种位置关系及判定方法．
2．相交、相切两圆的性质；
1） 相切两圆的连心线必过切点，相切两圆有公切线；
2） 相交两圆的连心线必垂直平分公共弦．
注：常见的辅助线是①画相切两圆的公切线②画公共弦和连心线。
[典型例题解析]
例1 选择、填空题：
1） 已知两圆的半径满足方程02222xx，圆心距为2，则两圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
2）如果两圆相（内）切，一个圆的半径为3，两圆的圆心距为4，则另一个圆的半径为 1或7 ．
3）相交两圆半径分别为一无二次方程0170272xx的两根，它们的公共弦长16，则它们的圆心距为 21或9 ．
4）如两圆共有三条公切线，那么这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
5）已知两圆半径分别为12和4，外公切线长是15，则两圆的位置关系为 ，外公切线与连心线夹角的正弦值为 ．
例2 如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且O1在⊙O2上，过点A的直线CD分别与
⊙O1和⊙O2交于点C，D，过点B的直线EF分别与⊙O1和⊙O2交于点E，F，⊙O2的弦O1D交AB于P.
1） 求证：CE∥DF；
2） 求证：DOPOOG112.
思路 1）画公共弦AB，证∠E+∠F=180°;
2）证ΔAO1P∽ΔAO1 D 得DOPOOG112.
小结 添公共弦AB对解题起到了桥梁和关键得作用，是两圆相交中常见得辅助线．
思考 1）如何证G是ΔABD得内心？2）若PG=1，GD=2，求⊙O1得半径？
例3 如图，⊙O1和⊙O2内切于A，⊙O2得弦BC切⊙O1于D，AD得延长线交⊙O2于M，连结AB，AC分别交⊙O1于E，F，连结EF． A
（备战中考）
（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）
与圆有关的位置关系
◆考点聚焦
1．理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系．
2．能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题，这也是本节的重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点．
3．能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系．
◆备考兵法
1．确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，涉及点与圆的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上、外三种可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决．
2．判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数；二是根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系．
3．证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”
◆识记巩固
1．设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆内______；点在圆上_______；点在圆外_______．
2．直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么：
（1）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_____，公共点叫做_____，此时d_____r；
（•2）直线和圆有_____•个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的______，公共点叫做______，此时d_______r．
（3）直线和圆有____个公共点时，叫做直线与圆相离，此时d______r．
3．圆和圆的位置关系：如果两圆半径分别为R和r（R>r），圆心距为d，那么：
