第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
1.填空题:
（1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 x y = 对称.
（2
）函数21()1f x x
=-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} .
（4）设b ax x f +=)(，则=-+=
h
x f h x f x )()()(ϕ a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2
x
x e e y --=的反函数为 。 （7
）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1
2. 选择题:
（1）下列正确的是：(B ，C )
A.2
lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数.
C.⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数.
D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. .
（2）)sin()(2x x x f -=是( A ).
A.有界函数；
B. 周期函数；
C. 奇函数；
D. 偶函数.
（3）设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ).
A.1；
B.–1；
C.2；
D.–2.
（4）函数21arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）
(A)1≤x ； (B)13≤≤-x ；
(C))1,3(-； (D){}{}131≤≤-⋂（5）函数⎩⎨⎧≤<+≤≤--=3
0,104,3)(2x x x x x f 的定义域是（ ）
(A)04≤≤-x ； (B)30≤(C))3,4(-; (D){}{}3004≤<⋃≤≤-x x x x .
（6）函数x x x y sin cos +=是（ ）
(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数； (D)奇偶函数.
（7）函数x x f 2
cos 1)(π+=的最小正周期是（ ）
(A)2π； (B)π
； (C) 4 ； (D)2
1 . （8）函数21)(x x x f +=在定义域为（ ）
(A)有上界无下界； (B)有下界无上界；
(C)有界，且 2121)(≤≤x f ； (D)有界，且
2122≤+≤-x
x . （9）与2)(x x f =等价的函数是（ ）
(A) x ； (B) 2)(
x ； (C) 33)(x ； (D) x .
3．设132)1(2--=-x x x g
（1） 试确定c b a ,,的值使
c x b x a x g +-+-=-)1()1()1(2 ；
（2） 求)1(+x g 的表达式
解. 352)1(,0,1,22++=+===x x x g c b a
4．求x x x f sgn )1()(2+=的反函数)(1x f -.
解：
⎪⎩⎪⎨⎧-<+--=>-=-1,)1(0
,01,1)(1x x x x x x f
5．设249)
3lg(1)(x x x f -+-=
，求)(x f 的定义域及)]7([-f f 。
6．已知2
sin
)(,cos 1))((x x x x f =+=ϕϕ，求)(x f . 解：)1(22x -；
7．设()f x 的定义域是[]0,1，求下列函数的定义域：
（1） ()x f e
解：由010()x x
e x
f e ≤≤⇒≤⇒的定义域为(,0]-∞. （2） (ln())f x
解：由0ln 11(ln )x
x e f x ≤≤⇒≤≤⇒的定义域为[1,]e . （3） (arctan )f x
解：由0arctan 10tan1(arctan )x x f x ≤≤⇒≤≤⇒的定义域为[0,tan1].
（4） (cos )f x 解：由0cos 122,0,1,2,,(cos )22x n x n n f x ππππ≤≤⇒-≤≤+=±±⇒的定义域为[2,2],22n n n Z ππ
ππ-+∈. 8．设 -0,0(),0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，20,0(),0
x g x x x ≤⎧=⎨->⎩， 求[()],[()],[()],[()].f f x g g x f g x g f x
解：0,()00,0[()](),()0,0
f x x f f x f x f x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>>⎩⎩. 20,()0[()](),
()0g x g g x g x g x ≤⎧=⎨->⎩，而()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0g g x =. 0,()0[()](),
()0g x f g x g x g x ≤⎧=⎨>⎩，而()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0f g x =. 220,()00,0[()]().(),()0,0f x x g f x g x f x f x x x ≤≤⎧⎧===⎨⎨->->⎩⎩.
