幻方与数阵
姓名 __________________
1、 根据表中数字排列规律，在空格中填上适当的数。
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6
2、 根据图中直行数字的排列规律，在O内填上适合的数。
3、自然数按下面规律排列， 第 8行的第2个数是什么？ 28应该是第
几行左起的第几个数。
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
11 12 13 14 15
20 19 18 17 16
4、 在下面数阵中，第8行的第8个数是多少?
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
5、观察下面各题中数的变化规律，然后填上各题中所缺的数。
8 7 15
14
6
9 3 18 5 30 6
4 28 7
3
8
6下面哪一项数字可以代替表格中的问号?
7、先找出图形中各数之间的规律，然后将空缺的数填上
A 24
B 30
C 18
D 12
E 26 6 2 5 7
8 3 17 7
9 2 17 7
7 4 10 ？
•
第20讲 幻方与数阵图扩展
内容概述
掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题。
典型问题
兴趣篇
1．把1～9这9个数分别填人图20-1中的9个○内，使得三个圆周及三条线段上的3个数之和都相等。
答案：答案不唯一，如：
解析：全部数字之和等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，而每一个圆圈都算了2次，则三个圆周上的数字和、三条线段上的数字和都加起来的总和，等于全部数字之和的2倍，即45×2=90，则每部分的和为90÷6=15.而15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6.
可发现1、3、7、9只出现2次，优先考虑．
若其中一格填1，则与1相连的圆周和线段上的数字分别为6、8和5、9，如图1所示，则与9相连的圆周上只能是2、4．如图2，则竖线第2空为15-2-8=5，但5已经填过了，不合题意，舍去，
如图3，则竖线第2空为15-4-8=3，左斜线第2空为15-2-6=7，如答案所示，经检验符合题意，
（本题实际上是基本三阶幻方的变形
简化：横行对应本题的圆圈，竖行对应本题直线，若熟记此基本幻方，就可以快速得到本题答案）
2．(l)如图20-2，在3×3的方格表的每个空格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等．
(2)如图20-3，在4×4的方格表的每个空格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等。
答案：(1)(2)
解答(1)幻和等于16+11+12=39.第二行已知11和15，中间的数为39-11-15=13.
此时两条对角线都可以填出： 39-12-13=14, 39-16-13=10.
笫一行与第三行也可以填出：
5-1-3-3.数阵图.题库 教师版 page 1 of 9
1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
数阵图与数论
【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．
【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题
【解析】 设顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55， 得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.
1.10.5数阵图
1.10.5.1基础知识
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
1.10.5.2辐射型数阵
例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15
题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3
其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。
三年级趣味数学（8）
九宫格与阵
班级 姓名
1.在1——9这九个数中，取其中3个不同的数相加，使和为15，你能写出哪些三组数？（例如1，5,9。1+5+9=15）
2.如右图把一个正方形划分为3行3列9个方格，我们俗称“九宫格”。每个方格填一个数，使横行、数列以及对角线上三个数的和相等。这样的九宫格成为三阶幻方。
把上面的1——9这九个数填入格子中，使横行、数列以及对角线上三个数相加的和为15，怎样填呢？
3.探索三阶幻方的特点
（1）对角线上三个数之间有什么关系？
（2）“十”字形中纵列或横行三个数之间有什么关系？
（3）中宫数（最中间的数）与九个数之间有什么关系？
（4）研究特殊的等腰三角形数之间的关系。
2 7 6
9 5 1
4 3 8 7 22 13
22 16 10
19 4 25 7 8 12
14 9 4
6 10 11 10 21 8
11 13 15
18 5 16 4.利用掌握三阶幻方的特点制作三阶幻方。
5.九宫阵（俗称数独）。将1——9这九个数填入每行、每列、每个九宫格的小方格内。每个数字在每行、每列、每个九宫格内只能出现一次。
13
15 10
8
11
5 4
10
5
7 4 1 3 9
8 1 6
9 2 3 6 8
2 9 5 7 4
6 4 7 2
3 1 9
8 2 7
1 6 8 4 5 3
2 5 9 7 3 1 6 5 7 3 4
2 4 8 9 1 7
3 9 1 6 8 2
4 2 8
7 9 8 1 2
5 4 9 6 3
2 5 6
8 5 7 6 4
1 3 7 5 9
2 9 4
