一类二阶微分方程的特征值估计及其反问题

且 Ｙ（ ） ｚ 一一ｃ，ｉ （ｘ ＋ｆ ｃ ｓａ ） ） 问题 （ ． ） ｓ Ａ ） ｏ （ｘ ． Ｉｎ ａ （ 是 ０ １ 的特征 函数必 须 （ ） 足问题 （． ） 满 ｚ Ｏ １ 的边 界条 件， 因此
厂 ＋ ｚ ０ 一 ，
记
（２ １） ．
叫 ） ｌ 是ｓｎ（～ ｓ（ 丌）） 全 （ ｉ ７）＋ ｃ。 （△ ｒ
ｆ ｙ （ 一 — ｎ ） （ ），
对应于问题（． ） ２ ２ 的特征函数为 多 （ ）则 ｚ ，
－ ｙ“
￣
（ －Ａ ｘ）－ ２
．
（ ｚ）
（． ２ ３）
及
一
，
（ 一 ｚ） （ ） １ ． ｚ （． ） ２ ４
将方 程 （ ． ） 边乘 （ ） 方程 （ ． ） ２３两 － ， ｚ ２ ４ 两边乘 （ ） 相 减后从 ０到 丌积 分得 ｚ ，
基 金 （ Ｋ２ １ ４ ９ Ｂ ００８）
第 ４期
王於 平 ， ： 粪二 阶微 分 方程 的特 征值 估 计及 其反 问题 等 一
１
１９ １
记 （ 一 ｔ ｎ ） １ ） ａ （ 丌 一
，
ｃ ｔｄｎ
其 零 点 为 ， 则 一 ＋
，
Ｅ ． 为 （ ） 周 期 的 ， 以 Ｖ ｒ （ ｅ ， 因 Ａ是 所 Ｅ Ｏ， ）
反之 ， 若 （ 屉 一 五，） 是 否有 ｈ ， ） （ 石 ， 一左，一点 志 ？下面 的定理 回答 了这个 问题 ．
ｃ 一 ｚ 。 ． ２
记 问题 （ ． ） （ ． ） ２ １ 及 ２ ２ 的特征值 集分 别为 （ 尼 ，（ 占 ． ＾，） ，） 我们 知道 ： ｈ ， 一点 则 （ ， ） （ 石 ； 若 一 是 ， ＾ 是 ＝ｄ ， ）
＝＝
１
ｔ ｎ
１
１ ＋
ｔ ｎ
１
＋
丌
ｎｉ
７ ｒ
＋
１ ａ ｃａ 。 ｒｔｎ。 ｋ — —
１ 一
ａｒ ａ ｃｔ ｎ
１
＋（ ｝ ｏ） ．
（． １ ５）
＋
＋
丌
由（． ） （． ） １ ４ 及 １ ５ 得
１
ｔ ａｎ
丌
因 此
１
特 征 值 ： 应 的 特 征 函数 （ ） 对 ｚ 一 ｃ ｓａ ） ｓ （ ｚ） ｏ （ ＋ｈ ｉ ａ ． ｎ 证 方 程 一ｙ （ 一 （ ） 通 解 为 Ｕ ） 。 ｚ 的
（ ￣ Ｃ ｃ ｓ ａ ＋ ｉ （ ｘ） ｚ）－ １ ｏ （ ｘ） － ２ ｎ ａ ， Ｃ ，２ ， ｓ ｌ Ｅ
ｌ （ （） 一 （） （）ｄ ＝Ｏ ｆ 多 ｚ （） ｚ ｚ ）ｘ ．
Ｊ ｏ
（．） ２５
结合特 征值 问题 （ ． ） （． ） ２ １及 ２ ２ 的边 界条件 ， 由分 部积 分得
（ （ ｚ（ 吾 丌（ （五 （ （ 』 （ （ ｚ ｚ 一 一） ）丌 ）。 。 ： ｚ ｚ ， ） ） 丢 ＜ ） ～ ） ） ） ） ｄ 十 ＋ ｄ
例 果 定 题ｏ）特 值 ： 子 为（＋ ）正１，｝ 里 趋 ＋。 １如 给 问 （１ 征 ｛ 的 列 ｛ ｛２一，…， 是 于 。 ．的 ｝ ， ２ 这
的正 整数 序列 ， 确定 ｈ ｋ ，．
由定理 ３ 来重构 ｈｋ易知 Ａ一÷ ， ｋ ｔｎ ４ ，一０事实上 ， ，． 因此 一＿＝ｎ ， ＾ ． ａ ＇ 一１ ７／ 问题
第 ４期
Ｙ ｉ 平 ， ： 类 二 阶 微 分 方 程 的 特 征 值 估 计 及 其 反 问 题 －＋ ． 等 一
１１ ２
３ 边 条 件 参 数 ｈ 是的重 构 ，
由定理 ２可知 ： 于 问题 （ ． ） 它 的一 组 特征 值 可 惟 一 确定 边 条 件 参 数 ｈ，． 对 Ｏ １， 足 如果 给定 问题 （ ． ） Ｏ １
［ 献 标 识 码 ］Ａ 文
［ 章编 号］ １７ —４ ４ ２ １ ） ４０ １—４ 文 ６ ２１ ５ （０ １０ —１８０
本 文考虑 了下 列边 界条件 含有 特征参 数 的二 阶微 分方 程 的特 征值 问题
＼ （ Ｊ ， ｒｙ Ｉ一。（） ／ ｚ ＿ ） ）
ｏ － ｈ Ｏ ＝ ０， ｋ ７ ｑ Ａ ｚ － ０ ） ｙ（ ） ｙ （ｒ － ｙ（ｒ ） ） ，ｈＥ ， ≠ 忌Ｅ ． ０
由（． ） ２ ５ 得
（ 丢 玎（ （左 （ （ （ 去 ） ）丌 ）ｏ ｏ ） 一 （ ） 一 ） ）Ｉ ＋ 一
由定 理 １得
（） ２ ． ６
ｙ （） ０ 一 ｏ 一多 （）
及
Ｙ Ｏｒ ： ｃ ｓ Ａ 丌） ｈ ｉ （ ｒ ） ｏ （ ＋ ｓｎ Ａ ７） ’
３ ＞ Ｏ， 得 对 于 ＡＥ ＼ Ｃ 这 里 Ｃ 便 Ｕ ， 是 以 ：为 圆 心 ， ｒ为 半 径 的 ， 有
ｌ Ｉ ｄ （ ） ＞ ．
记 （一ｎ ）去 ）ｔ（ 一 一 ａ ， （ ｃ）零 一 （证 ｏ是 题。）特 值． 则 ｕ 的 点 致验 得 —不 问 （１ 征 ） ） （ 与． ＝ Ｌ ．的 对 Ｅ＼ｋ， 于∈ Ｃｕ ＞ ２ Ｃ ｋ ｝ ， 有
一一） 。ａｔｉ ０ ） （１ ｓ ａｔ １ Ｏ１） （１ ｓｒｎ ＋ （ ） 一） ｉ ｒｎ ／， ｃ ｃ ＋ ”ｎ ｃ ｑ ＼￣ ａ１ ＾ ａ －
（）ｃａａ ） （ ± １ 十（ 一 。ｒｎ ＋ １ （） １ ｓｃ去 ｏ） 一” （ｔ 一 √ ｏ） １ ， ） （） ＋（ ＝ － ±１ √ ｏ） １ ．
即Ａ ＝０或
ｔｎ ａ ｃ 一 一 ＋ ．
［ 稿 日期］ ２ ０ —１０ ； ［ 改 日期］ ２ ０ —５１ 收 ０８１ －３ 修 ０ ９０—８ ［ 金项 目］ 南 京 理 工 大 学 教 学 改 革 项 目（ ４ ６ ０ ； 京 理 工 大 学 基 金 项 目（ Ｂ １６ ， ８ ７ ７ ； 苏 省 自然 科 学 基 ＡＢ ２ ４ ） 南 Ａ ４ ３ ６ ＡＥ ８ ８ ） 江
） Ｉ （ 一 （） ＜ Ｊ ＜ ＜ ｛ （） ， ｌ
因 为 ｒ ０可 选 任 意 小 ， ＞ 当 充 分 大 时 ， Ｒｏ ｃ ６ 理 知 ｏ ２ 在 附 近 存 在 惟 一 零 点 ， 由 ｕｈ 定 ２ ） （ 且
一
＋ Ｏ（ ） 】．
ａｃａ ｒｔｎｉ
记 一 ： ａ ＋ —ｎ＋
特 征值 渐 近公 式 ． 用 特 征 值 渐 近 公式 给 出 了特 征 值 反 问题 的一 个 惟 一 性 结 果 及 重 构 公 式 ． 运 ［ 键 词 ］ 二 阶微 分 方 程 ； 数 边 值 条 件 ； 征 值 渐 近 式 ； 征 值 反 问题 关 参 特 特
［ 中图 分 类 号］ Ｏ１４ ５ ７ ．
的一组 特 征值 ｛： ｝
怎 么 由特征 值 ｛： 构造 边条 件参 数 ｈ 尼 ） ，？
定 理 ３ 如果 给定 问题 （ ． ） Ｏ １ 的一 组特 征值 ｛： ， ｌ ，－ ｎ 存 在 ， ｌ ，～ ） ） 则 ｉ ） ｍＯ 记 ｉ ｍＯ 一Ａ， 有
愚一 —
１
ａｒ ａ ｃｔ ｎ
ｔ ｎ ＩＡ ・ ａ ７ ｒ
（ ）
（ ・１ ３ ）
…
１
ｔ ｎ
１ －ｎ ｉ ｍｆ －
、
７ ｆ
１ 存在， 且
＝ ｌ （一 一 。ｎ ７ ２ ｒ ｉ ｍ ｉ １
／ ｒ
１
ｎ
（ ２） ３．
； ｔ ｒ
证 由 定 理 １的 特 征 值 估 计 式 （ ． ） 定 理 ２可 得 边 条 件 参 数 ｈ， 重 构 公 式 （ ． ） （ ． ） １１ 及 ｋ的 ３１ 与 ３２ ．
ｃ ｎ ｔ
７ ｌ ＂
十卅 来自百度文库 （
ａｒ ａｎ ｃｔ
去丌 ）
一ｏ ） 十（．
由（ ． ） 知可取 ｃ 一 ， ， １２ 易 Ｃ 一 因此 ， 特征 值 ： 对应 的特征 函数 Ｙ （ ） ｃ ｓ２ｚ） ｓｎ ２ ） 完成 ｚ 一 ｏ （ ＋ｈ ｉ（ ．
定 理的证 明 ．
定 理 ２ 对 于特 征值 问题 （ ． ） （ ． ） 若 （ ， ） （ 占 ， （ 足 一（ 石 ． ２１及 ２２ ， ＾ 愚 —口 五，） 则 矗，） ， ）
证 记 ａｈ，） （ 一 ｛ ） ． 特 征 值 对应 于 问题 （ 。 ） （ 是 一 ，） 设 ２ １ 的特 征 函数 为 Ｙ （ ） 特 征值 ： ｚ ，
．
（． ） ｏ１
… ～
１ 特 征 值 估 计
定理 １ 问题 （ ． ） ０ １ 的特 征值至 多可数 ， 为 Ａ ， Ｌ， Ｉ 充分 大 时 ， 是 简单零 点 ， 记 ∈７ 当 ｌ 且有估计 式
＋
孚 ＋ ｈ ）硝 ， 丌 （ 专 科
ａｒｃｔ ａｎ
（） １ ． １
江苏 南京 ２０ ９） １０ ４ （ ． 京林 业 大学 理学 院 应 用 数学 系 ， 苏 南 京 ２ ０ ３ ； ２ 南京理工大学 理学院应用数学系 ， １南 江 １ ０ ７ ．
［ 摘 要 ］ 借 助 Ｒ ｕ ｈ 定 理 及 渐 近 分 析 的方 法 ， 出 了 边 界 条 件 含 有 特 征 参 数 的 一类 二 阶 微 分 方 程 的 ｏｃ６ 给
一
（ 。 （ ） ｓｎ ） ｃ ｓ ＋ ｉ （ 丌 ）
＾ ．
１ ， ｌ ’
（３ １ ． ） ・ ３
则 （ 是 问 题 （ ． ） 特 征 函 数 必 须 ） Ｏ１的 训（ ） Ｅ ｋ －ｈ ｓｎ ａ ） （ ＋ ）ｏ （￣ ］ ， ＝ａ （ ａ ） ｉ（ｒ 一 愚 ｃ ｓａ ） 一０ ｅ
第 ２ 卷 第 ４期 ７
２１ ０ １年 ８月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖｏｌ ２ № ． ＿ ７， ４
Ａ ｕ ．２ １ ｇ ０１
一
类 二 阶 微 分 方 程 的特 征 值 估 计 及 其 反 问题
王於 平 杨 传 富 ，
２ 特 征 值 反 问题
考虑 下 列两个 特 征值 问题
ｆ 一 （ｆ －）一 ， （ ），
＼ （） ｈ （） ， ｙＯ） （） ，∈ ，≠晟 Ｙ ０ － ｙＯ一ｏ ｋ ｒ ＋ 丌一ｏｈ ｏ ∈
（．） ２１
１Ｏ ２
及
大 学 数 学
第２ ７卷
｛；ｙ ， ａ）， ， ∈ ｌ） Ａ ０石 ，ｙ一 ∈。 鼹 （ ： Ｏ 。 ≠ ． （ ｂ） ） ｏ 石 瑟 ， （ ｒ ０ ｏ— 一 － Ｏ ＋
丌
１
＋ ａ 贝 （ ） ， ， ０ 一ｏ 即
ｔ ａａ ＋ ）去 ａ ｒｎ 珊一 ＋ ｎ ｃ ｔ
化 简 得
ｔ ｎ（ ａ 一 ＿ ａ 丌 ） ｈ
．
，
Ａ
由级 数 展 开 式 得
Ｏ 一 一 ａｒｃ ａｎ ＿ ｌ ｔ
７ ｒ
１
矗
，
（． １ ４）
＾
而
— —
一
由此 得
、
ｆ”Ｏ ｎ Ｏ 一Ａ ， ｙ （） （） ：
） 一丽１ 料 ０（） ３ ２ ２ １
将 （ ． ） 入 （． ） ２ ７代 ２ ６ 得
・ ７
（ ［ ＋ ］ 一 ÷ ＋ 一 （ ｏ ，
郎
８
（ 丢［ ＋ ］ ＝， 去 ） ＋ ｏ 一
让 ｎ． ｏ （ ｎ ｃ 时 ， 一 。 ） －ｏ 得 当 — × ． ￣ ３ 。
ｋ一石 。
将 志＝ ＝石代入 （ ． ） ＝ ２ ８ 得
（ －ａ） ： ａ 一０， Ｖ”∈ ， 于 是 一 ． 理 获 证 ． 定
注 １ 在 定 理 ２中 ， ｄ ， ） （ ， ） 在 一 个 无 穷 序 列 ， 理 结 论 也． 立 ． 若 （ 愚 ｎ 左石存 定 成