习题3-1
1.
已知随机变量X1和X2的概率分布分别为
X1 -1 0 1
P 14 12 14
X2 0 1
P 12 12
而且12{0}1PXX. 求X1和X2的联合分布律.
解 由12{0}1PXX知12{0}0PXX. 因此X1和X2的联合分布必形如
X2
X1 0 1 pi·
-1 P11 0 14
0 P21 P22 12
1 P31 0 14
p·j 12 12 1
于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律
X2
X1 0 1 pi·
-1 14 0 14
0 0 12 21
1 14 0 14 p·j 12 12
1
(2) 注意到12{0,0}0PXX, 而121{0}{0}04PXPX, 所以X1和X2不独立.
2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X表示取到黑球的只数, 以Y表示取到红球的只数. 求X和Y的联合分布律.
解 从7只球中取4球只有3547C种取法. 在4只球中, 黑球有i只, 红
球有j只(余下为白球4ij只)的取法为
4322ijijCCC,0,1,2,3,0,1,2,ijij≤4.
于是有
0223221{0,2}3535PXYCCC,1113226{1,1}3535PXYCCC,
1213226{1,2}3535PXYCCC,2023223{2,0}3535PXYCCC,
21132212{2,1}3535PXYCCC,2203223{2,2}3535PXYCCC,
3013222{3,0}3535PXYCCC, 3103222{3,1}3535PXYCCC,
{0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0PXYPXYPXYPXY.
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案
1．设二维随机变量),(YX只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(，)
31
,1(及)0,2(，且取这几组值的概率依次为
61，
31，
121和
125
，求二维随机变量),(YX的联合
分布律．
解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(YX的联合分布律为
XY
0
31
1
10
121
31
0
61
00
2
125
00
2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．
现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X，Y分别为主席来自理
科、工科的人数，求：(1)),(YX的联合分布律；(2)X和Y的边缘分布律．
解：(1)由题意，X的可能取值为0，1，2，Y的可能取值为0，1，2，3，则
561
)0,0(
3
83
3
CC
YXP，
569
)1,0(
3
81
32
3CCC
YXP，
569
)2,0(
3
82
31
3
CCC
YXP，
561
)3,0(
3
83
3
CC
YXP，
283
)0,1(
3
82
31
2
CCCYXP，
289
)1,1(
3
81
31
31
2
CCCC
YXP，
283
)2,1(
3
82
31
2
CCC
YXP，0)3,1(YXP，
563
)0,2(
3
81
32
2
CCC
YXP，
563
)1,2(
3
81
32
2
CCC
YXP，
0)2,2(YXP，0)3,2(YXP．
),(YX的联合分布律为：
XY
0123
ip
0
561
569
569
561
145
1
283
289
283
0
2815
2
563
563
00
283
jp
285
2815
2815
561
1
(2)X的边缘分布律为
X012
P
145
2815
283
Y的边缘分布律为
Y0123
P
285
2815
2815
561
3．设随机变量),(YX的概率密度为
其他．,0,42,20),6(
),(yxyxk
yxf
求：(1)常数k；(2))3,1(YXP；(3))5.1(YP；(4))4(YXP．
第三章 多维随机变量及其分布
二维随机变量：
一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}.设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量（X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量。
设（X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数：
)}(){(),(yYxXPyxF),(yYxXP
称为二维随机变量（X,Y）的分布函数，或称随机变量X和Y的联合分布函数
分布函数F(x,y)具有以下基本性质：
1.F（x,y)是变量x和变量y的不减函数，
即对于任意固定的y，当);,(),(,1212yxFyxFxx
对于任意固定的x，当),(),(,1212yxFyxFyy
2.0≤F(x,y)≤1，且
对于任意固定的y，F（-∞，y)=0,
对于任意固定的x, F（x，-∞)=0，
F（-∞，-∞）=0，F（∞，∞）=1
3.F(x,y）=F(x+0,y），F(x,y+0），即F(x,y）关于x右连续，关于y也右连续
4.对于任意,,),,(),,(21212211yyxxyxyx下述不等式成立
0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF
离散型随机变量：
如果二维随机变量（X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称（X,Y）是离散型随机变量
称,2,1,,},{jipyYxXPijii……为二维离散型随机变量（X,Y）的分布律，或随机变量X和Y是联合分布律
表格形式表示联合分布律：
Y
X 1x … ix …
1y 11p … 1ip …
… … …
jy jp1 … ijp …
… … …
离散型随机变量X和Y的联合分布函数为
xxyyijiipyxF),(，其中和式是对一切满足yyxxii,的i,j来求和的
连续型随机变量：
对于二维随机变量（X,Y）的分布函数F（x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)使得对于任意x,y有 yxdudvvufyxF),(),(，则称（X,Y）是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量（X,Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度
概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量及其分布、随机变量的离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容。以下是本章的总结:
1. 随机变量及其分布
第三章第一小节介绍了随机变量的定义和性质,并介绍了离散型和连续型随机变量的区别。然后,章节第二小节介绍了随机变量的分布,其中包括概率分布、密度函数、期望和方差的计算方法。这些内容对于理解随机变量的分布非常重要。
2. 随机变量的离散概率和连续概率
第三章第三小节介绍了随机变量的离散概率和连续概率。离散概率讨论的是离散型随机变量在某一范围内的取值概率,而连续概率讨论的是连续型随机变量在某一区间内的概率。这些概念对于理解随机变量的性质和分布非常重要。
3. 期望和方差的计算
第三章第四小节介绍了期望和方差的计算方法。期望是指一个随机变量的平均值,可以通过计算各个取值的概率和总和来实现。方差是指一个随机变量在各个取值之间的差异,可以通过计算各个取值的差值和总和来实现。这些内容对于计算随机变量的期望和方差非常重要。
4. 贝叶斯统计学
第三章第五小节介绍了贝叶斯统计学的原理和应用。贝叶斯统计学可以用来预测未来事件的概率,也可以用于概率模型的建模和优化。这些内容对于实际应用非常有帮助。
综上所述,概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量的分布、离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容,是学习概率论和统计学的重要基础。
