有关利息计算的实践与探索
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有关利息计算的实践与探索
首都师范大学2002级教育硕士 （100037）
张家港市港区初中学数学组 姚荣（215633）
在华师版的义务教育课程标准实验教科书九年级（上）中，有一道关于利息计算的应用题(见下面问题1)，再看22.1一元二次方程里的问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率（此题解法可类比复利计算）。一直以来，应用题是大部分学生感到头痛的，为了进一步激发学生对数学应用题的学习兴趣，加上在现实生活中，利息与人们的生活息息相关，各种各样的利息到底如何计算呢？于是我便尝试将教材及相关内容进行整合，让学生进行了一次有关利息的实践与探索。
课前我先让学生运用各种手段对跟利息有关的信息进行了搜集。通过了解，学生基本知道利息计算一般有两种方式：一种是单利计息法；一种是复利计息法（利滚利计息法），如人们所谈的高利贷。所谓单利计息法就是指利息的计算不把先前周期中的利息夹到本金中去，而是每次计息仅以原本金为基数计算利息。例如：银行里的活期存款。所谓复利计息，就是指以本金和累计利息为基数计算利息。复利计息又分间断复利计息法（以某一时段为计息周期）与连续复利计息法（时段的长度为无穷小）。连续复利计算法将用到极限和微积分的知识，这里不去谈它，事实上我们经常见到的绝大部分是间断复利计息法，例如：银行的定期存款，国家发行的国库券，一些投资债券等。利息税的计算方法比较简单，即储户所得利息的百分之几（一般为20%）作为税收上缴国家，剩余利息才是自己实得利息。
下面就是我分类型设计的存贷款如何计息的实践与探索。
类型一．整存整取型
整存整取型即一次性存款过一段时间后又一次性取出，取出是要计算本金和利息的问题。目前通常所见的活期存款，定期储蓄存款，国库券，公债券都可归到这种类型。
1．单利计息法
问题1：
你还记得银行存款的利息计算公式吗？如果小张一次性存入p元，银行的年利率为r，按单利计算，那么要存多少年，才能使本利和（扣除利息税）达到q元？
分析：利息税目前一般是扣除利息的20%。若利息为1元，扣除利息税剩下0.8元。
探索
引导学生自己调整问题，如问n年后本利和达到多少元，或其它条件不变，要存多少年，才能使本利和（扣除利息税）达到___元(如q元)？等等。激发学生学习数学的兴趣。
2．复利计算法
问题2：
小王把10000元现金存入银行，年利率1.98%，并且跟银行约定自动转存（即按复利计算），税率20%
（1）因为有急用，一年到期小王就取了5000元出来，第二年到期将剩余的钱取了出来，他两年本利和总共拿到到多少元？（此时可给出平均增长率等相关的问题，让学生类比）
（2）10年到期他总共能拿到多少元？
年数 本金 利息 利息税 本利和
1 5000
2 5000
10 10000
请将答案填在上表中，并观察利息和本利和。
探索 一般地，设复利周期利率为I，计算周期为n,，本金为p，利息税率为m，试算出到期利息In[可类比书上平均增长（降低）率的问题]和到期实得本利Sn为多少？[答案：In=
p(1+I) n - p，Sn= p(1+I) n(1-m)+pm]
类型二．等额零存整取型
等额零存整取型是解决分期存入等额的款项到期一次性取出的计息问题。例如银行的零存整取，养老金储蓄等都可归在这一类。
问题3：
小何从1月起，每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金及其利息。已知月利率是0.165%，那么实际取出多少钱？
探索
若每期期初存入金额A，连存n次，每期的利率为p，那么到第n期期末时，本金为nA，且各期存款的利息如下（教师适当的引导应视学生掌握的情况而定，问题4同样如此）。
第1期存款利息____________（答案：Apn）
第2期存款利息_____________[答案Ap(n-1)]
……
第n-1期存款利息___________ (答案Ap×2)
第n期存款利息_____________(答案Ap×1)
于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和：
Sn=_____________________________________[答案Ap+Ap×2+…+Ap(n-1)+Apn]
=_____________________________________[答案Ap(1+2+…+n)]
=_____________________________________[答案21n(n+1)Ap]（学生初一已了解，若忘记可引导，且横线的条数选择可由学生自己发挥，像上面可三条也可两条，下面一样）
应缴税______________________________________ [答案101n(n+1)Ap]
实际取出_____________________________________[答案：nA+21n(n+1)Ap -101n(n+1)Ap]
＝_____________________________________{答案A[n+52n(n+1)p]}
类型三．等额整存零取型
等额整存零取型是解决一次性存（贷）款若干，平分若干期等额取出。目前推行的分期归还的住房贷款问题，企业投资的资金回收问题等就可归在这种类型中。
问题4：例：某人购房申请按揭贷款12万元，分10年还清，假设贷款利率为年息7.2％（月息6‰），并选择每月等本不等息的还款方式，每月还款多少元？
分析：从借款后第二个月起，每月需归还贷款本金＝__________________元
第一个月需付息＝［120000—1000（1—1）］×6‰＝720元，本息相加就是第一个月的偿还金额。其余类推。
最后一个月需付息＝［120000—1000________］×6‰＝6元
为了规范个人住房贷款计息办法，中国人民银行重新明确了个人住房贷款利息计算方法，从1999年1月1日起，除实行每月等额本息偿还法外，又推出了利随本清的等本不等息递减还款法，两种还贷方式，其偿还总额相等。上述120次归还本息相加，共需支付______元，如果选择等额本息偿还法，每月应归还本息为______÷120＝____元
等本不等息递减还款法的计算公式为：
月偿还额＝贷款本金/贷款期月数＋（贷款本金—已还本金累计额）×贷款月利率 由上述公式可知，每月归还本金是个固定不变的常数，起变化的是每月需支付的利息，由此得出：
月还息额＝［A—月还本金×（n—l）］×C
这里A表示贷款本金，n表示还款次数，C表示贷款月利率。
探索
如果把投资额（或一次性借贷款项的数目）称作现金，并用P表示，把等额回收（归还）的数目称作年金，用A表示。周期利率用I表示，回收（归还）的周期数为n，假设回收（归还）的时间发生在期末，则按复利计算法有
P(1+I)n=A(1+I)n-1+_______________________[答案：A(1+I)n-2+…+A]
按单利计算有
P+nPI=A+AI(n-1)+_______________________[答案：A+AI(n-2)+A+AI(n-3)+…+A]
=________________________________ {答案：nA+AI[1+2+3+…+（n-1）]}
=_________________________________[答案：nA+AI2)1(nn]
=_________________________________{答案：nA[1+2)1(nnI]}
绝大部分学生通过实践、思考、探索、交流，不仅掌握了有关利息问题的计算（包括平均增长率等相关问题），下次碰到这类应用题应该不再是那么不知所措，而且进一步了解到数学与生活是这样的息息相关，增强了学习数学的兴趣和信心。
