中山大学2010年高等代数

试求其通解. 二、 （10 分）设 1 ， 2 ， 3 是实数域上三维向量空间 V 的一组基，
1 21 2 3 ， 2 2 ， 3 2 2 3 .
证明： 1 ， 2 ， 3 也是 V 的一组基，并求 V 中在这两组基下坐标相同的所有向量. 三、 （15 分）设 R 中 1 (1, 2,1, 0) ， 2 ( 1,1,1,1) ， 3 (0, 3, 2,1) 生成的子空间为 V1 ，
科目代码：870
a1n
n a2
a12 a1n 2
2 n 2 a2 a2
1 a2 1 an




n an
.
2 n 2 an an
二、 （20 分）证明： （1）对任意矩阵 A ，矩阵方程 AXA A 都有解； （2）如果矩阵方程 AY C 和 ZB C 有解，则方程 AXB C 有解. 三、 （20 分）设 f : R R 是线性映射. （1）证明：存在 a, b R 使得对任意 ( x, y ) R 2 有 f ( x, y ) ax by ； （2）已知 f (1,1) 3 , f (1, 0) 4 ，求 f (2,1) . 四、 （15 分）设 V 是 F 上 n 维线性空间， f 是 V 上的一个非零线性函数. 证明：存在 V 的 一个基 (e1 , e2 , , en ) ，使得对任意向量 x
上线性空间 V 的一个线性变换. 证明： ker f ( ) ker g ( ) ker m( ) . 3． 设 是复线性空间 V 的一个线性变换. 证明： 相似于对角矩阵当且仅当对任意 子 空间 U 都有 子空间 U 使得 V U U . 4． 设 A, B 是 n 阶实对称矩阵，且 B 是正定矩阵. 证明：存在实可逆矩阵 C 使得 C AC 和
3 0 8 6． 设 A 3 1 6 ，则 A 的若当标准形为______________________________. 2 0 5
7． 实二次型 q( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x3 的符号差等于____________. 8． 设 f ( x) x 4 2 x 3 x 2 4 x 2 ， g ( x ) x 4 x3 x 2 2 x 2 ，则它们的首一最大 公因式 ( f , g ) ______________________. 9． 设 x (1, 2, 2, 3), y (3,1,5,1) R 4 ，则 x 与 y 的夹角 ( x, y ) _______________. 10． 设 W {( x, y, z ) : x y 2 z 0} R 3 ，则 W 的正交补 W _______________. 二、证明题（每小题 10 分. 写出详细步骤） 1. 设 A 为数域 F 上 m n 矩阵，定义 LA : F F ， x Ax . 证明： LA 是单射当且仅
二、 （ 10 分 ） 设 f ( x ) an x an 1 x
n n 1
a1 x a0 F [ x ] ， 其 中 an 0, a0 0 . 令
g ( x ) a0 x n a1 x n 1 an 1 x an ，证明： f 不可约当且仅当 g 不可约.
的解都是方程 b1 x1 b2 x2 bn xn 0 的解，那么 可以由 1 , 2 , , m 线性表出.
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中山大学历年考研试题-高等代数（2003-2010）
0 0 a 六、 （10 分）已知 a, b, c F ，求矩阵 1 0 b 的极小多项式. 0 1 c
1
A1 亦正定.
a b 如果 a d 2 ， ，其中 a, b, c, d 是实数，且 ad bc 1 . 证明： c d cos sin sin . cos
k
则存在实数 和实可逆矩阵 T ，使得 T 1 AT
考试科目：高等代数 科目代码：369
2 x1 4 x2 5 x3 3 x4 1 一、 （10 分） 取何值时，线性方程组 3 x1 6 x2 4 x3 2 x4 2 有解？当方程组有解时， 4 x 8 x 3x x 2 3 4 1
2
2 0 1 七、 （15 分）求复矩阵 A 0 2 0 的若当标准形及最小多项式. 2 2 1
八、 （10 分） 证明：n 元实二次型 q( X ) X T AX 是半正定的当且仅当 A 的任意主子式非负. 九、 （10 分）设 是 n 维欧氏空间 V 上的一个对称变换. 证明： 的核的正交补 ker 等于 的象 im .
（ 2） （6 分）设 A 为元素都是整数的 n 级方阵. 证明：若整数 k 是 A 的一个特征值，则 k 是 A 的一个因子. 四、 （15 分）就 a 取何值时讨论以下方程组解的情况，有解时求解：
ax y z a 3 x ay z 2 . x y az 2
六、 （10 分） 设 A, B 是两个可换的实方阵， 且存在自然数 k 使得 A 0 . 证明： A B B .
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中山大学历年考研试题-高等代数（2003-2010）
中山大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
1 a1
一、 （10 分）计算行列式 D
五、 （10 分）在 F 中. 设 ai ( ai1 , ai 2 , , ain ), i 1, 2, , m ， (b1 , b2 , , bn ) . 证明：如
n
果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
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中山大学历年考研试题-高等代数（2003-2010）
中山大学 2010 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数 科目代码：874
一、填空题（每小题 10 分. 只写答案，不写计算过程） 1. 设 U { A M 2 ( F ) : a11 a12 0} ，V { A M 2 ( F ) : a11 a21 0} ，则 U V 的维 数等于__________.（ M 2 ( F ) 表示数域 F 上所有 2 阶方阵构成的 F 上线性空间.） 2. 设 e1 (1,0, 2), e1 (1, 2,1), e1 (0, 2,1) R 3 ， ( f1 , f 2 , f 3 ) 与 (e1 , e2 , e3 ) 互为对偶基， 则对于 x ( x1 , x2 , x3 ) R ，有 f1 ( x ) _________, f1 ( x ) _________, f1 ( x ) _________. 3． 设 A ( aij ) nn 的所有对角元都等于 2， 当 i j 1 时，aij 1 ， 其他元都是 0， 则A 的行列式 det A 等于___________. 4 ． 设 f ( x ) 是数域 F 上的 n 次多项式，令 ( f ) {g ( x) : g F[ x], f | g} ，则商空间
n n
当 A 的列向量组线性无关； LA 是满射当且仅当 A 的行向量组线性无关. 2. 设 f ( x ), g ( x ) 是数域 F 上的多项式， m( x) [ f , g ] 是它们的首一最小公倍式， 是F
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整理者：aleaf932
中山大学历年考研试题-高等代数（2003-2010）
3
F [ x] (f)
的维数等于___________.
5． 已知线性变换 : R 3 R 3 , ( x, y , z ) ( x 2 y 2 z , 2 x y 2 z , 2 x 2 y z ) ， 则 的特征值为_______________，对应的特征向量为_____________________________.
三、 （1） （14 分）求下列行列式：
a1 j1
j1 j2 jn
a1 j2 a2 j2

a1 jn a 2 jn anjn
，这里 是对 1, 2, , n 的全排列求和；

a2 j1

anj1
anj2
a 1 a

a a

a a

.
来自百度文库
1 2
a
a
a
1 n
4
1 (2, 1, 0,1) ， 2 (1, 1,3, 7) 生成的子空间为 V2 . 分别求 V1 V2 ， V1 V2 的一组基.
四、 （15 分）设 A, B 都是 n 阶正定实对称方阵，证明： （1） AB 正定的充要条件是 AB BA ； （2）如果 A B 正定，则 B 五、 （10 分） 设A
n
2
x e V ，有 f ( x) x .
i i
1
i 1
五、 （15 分）求一个次数最低的多项式 f ( x) F [ x] ，使得它被 ( x 1) 除所得余式为 2 x ， 而被 ( x 2)3 除余式为 3 x . 六、 （15 分） 设 f ( x) F [ x] 是一个次数大于零的多项式. 证明： f ( x ) 不可约的充要条件是： 由“ f ( x ) 整除两个多项式的乘积”可推出“ f ( x ) 必整除其中的一个”.
中山大学 2008 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数 科目代码：851
一、 （ 10 分） 设 f ( x ) x 4 x3 3x 2 4 x 1 ， g ( x ) x 3 x 2 x 1 . 求 u ( x), v ( x ) 使
u ( x) f ( x ) v( x) g ( x ) ( f ( x), g ( x)) .
七、 （10 分）设 A 为实对称矩阵， B 为实反对称矩阵， A B 可逆，且 AB BA . 证明： ( A B )( A B ) 是正交矩阵.
1
1 2 2 八、 （20 分）设实矩阵 A 2 2 4 . 2 4 2
（1）求正交阵 P ，使 P AP 为对角矩阵； （2）若 tE A 正定，求 t 的取值范围； （3）求二次型 X AX 的规范型. 九、 （10 分）设 A 为 n 阶正定矩阵， B 为 n m 实矩阵，证明：如果 r ( B) m ，则 BAB 为 正定矩阵. 十、 （10 分）证明：如果 A 是正交变换，则 A 的不变子空间的正交补也是 A 的不变子 空间. 十一、 （15 分）设 V 为 F 上的有限维线性空间，A , B 为其上的两个线性变换，满足条件：
C BC 都是实对角矩阵.
5． 设 是 n 维欧氏空间 V 的一个正规变换，且满足条件： 2 idV 0 . 证明：对任意
x V ，有 x ( x ) * ( x) . （ * 表示 的伴随变换， x 表示 x 的长度. ）
中山大学 2006 年硕士研究生入学考试试题
4 2 2 1 十、 （20 分）设实矩阵 A 2 4 2 . （1）求正交矩阵 P ，使 P AP 为对角矩阵； 2 2 4
（2）求正交矩阵 Q 及上三角矩阵 R 使 A QR .
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整理者：aleaf932
中山大学历年考研试题-高等代数（2003-2010）