正弦定理 余弦定理应用实例练习 含答案

. . 课时作业3 应用举例

时间：45分钟 满分：100分

课堂训练

1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )

A．103海里

B．106海里

C．52海里 D．56海里

【答案】 D

【解析】 如图，∠A＝60°，∠B＝75°，

则∠C＝45°，

由正弦定理得：

BC＝AB·sinAsinC＝10×sin60°sin45°

＝56.

2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为( ) . .

A．502m B．503m

C．252m D.2522m

【答案】 A

【解析】 因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，根据正弦定理可知，ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，即50sin30°＝ABsin45°，解得AB＝502m，选A.

3．从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A，B间距离是35m，则此电视塔的高度是________m.

【答案】 521

【解析】 如图所示，塔高为OC，则∠OAC＝60°，∠AOB＝180°－30°＝150°，∠CBO＝45°，AB＝35， .

.

设电视塔高度为hm，则OA＝33h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，

即352＝(33h)2＋h2－2×33h×h×(－32)

解得h＝521.

4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

【分析】 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可． . .

【解析】 在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，

∴∠BAC＝15°

由正弦定理BCsinA＝ACsinB，即：30sin15°＝ACsin30°

∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)

＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)，

∴A到BC的距离为d＝ACsin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )

A．北偏东10° B．北偏西10°

C．南偏东10° D．南偏西10° .

.

【答案】 B

【解析】 如图所示，∠ECA＝40°，∠FCB＝60°，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，

∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝180°－80°2＝50°，∴∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10°.故选B.

2．某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要( )

A．450a元 B．225a元

C．150a元 D．300a元

【答案】 C

【解析】 S△＝12×20×30×sin150°＝12×20×30×12

＝150(m2)，

∴购买这种草皮需要150a元，故选C. .

. 3．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )

A．5 B．10

C．102

D．103

【答案】 C

【解析】

如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°.在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．

在△ABB′中，∠B′＝30°，

∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m.

由正弦定理，得

BB′＝ABsin45°sin30°＝10×2212＝102(m)．

∴坡底延长102m时，斜坡的倾斜角将变为30°.

4．一船以226km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为( )

A．66 km B．132 km . . C．96 km D．33 km

【答案】 A

【解析】 如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，

AB＝226×32＝336，

由正弦定理336sin120°＝SBsin45°，

∴SB＝66(km)．

5．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )

A.2063米 B．106米

C.1063米 D．202米

【答案】 A

【解析】 设树干底部为O，折断点为P，树尖着地处为M，如图，△OPM中，∠P＝180°－∠M－∠O＝180°－45°－75°＝60°，由正弦.

. 定理得POsinM＝MOsinP，∴PO＝MOsinMsinP＝20×sin45°sin60°＝2063.

6．甲船在B岛的正南A处，AB＝10km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )

A.1507min B.157h

C．21.5min D．2.15h

【答案】 A

【解析】

如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：

PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°， .

. 即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－12)

＝28x2－20x＋100.

当x＝－b2a＝514时，s2最小，此时x＝514h＝1507min.

7．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，该船实际航程为( )

A．215km B．6km

C．221km D．8km

【答案】 B

【解析】 如图，

∵|OA→|＝2，|OB→|＝4，∠AOB＝120°，

∴∠A＝60°，|OC→|＝22＋42－2×2×4cos60°＝23.

经过3h，该船的航程为23×3＝6(km)．

8．如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为( ) . .

A．75° B．60°

C．50° D．45°

【答案】 C

【解析】 如图，作CE⊥平面ABD于点E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE＝40°，延长DE交直线AB于点F，连接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S△ABD最大，只需DF最大．

在△CFD中，CFsin40°＝DFsin140°－α.

∴DF＝CF·sin140°－αsin40°.

∵CF为定值，∴当α＝50°时，DF最大．

二、填空题(每小题10分，共20分) .

. 9．如图在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，又测得山顶P的仰角为γ，则山高为________．

【答案】 asinα·sinγ－βsinγ－αm

【解析】 在△PAB中，已知∠BAP＝α－β，∠APB＝γ－α，AB＝a，

由正弦定理可得PA＝asinγ－βsinγ－α，

在Rt△PAQ中，PQ＝PAsinα＝asinαsinγ－βsinγ－α.

10．一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105°爬行20cm，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x＝________.

【答案】 2036

【解析】 如图△ABC中，∠A＝45°＋15°＝60°，∠B＝45°＋30°.

. ＝75°，∠ACB＝45°，由正弦定理知

xsin∠ACB＝20sinA，∴x＝2036.

三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

11．A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.

【分析】 如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可．

【解析】 在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°， .

. 由ABsin15°＝ADsin45°，

得AD＝AB·sin45°sin15°＝800×226－24

＝800(3＋1)(m)．

∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°

∴CD＝AD＝800(3＋1)≈2 186(m)．

答：山高CD为2 186 m.

12．如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角．