空军工程大学随机过程2013--2017年考博真题

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空军工程大学2013年博士研究生入学试题

考试科目： 随机过程 （A 卷） 科目代码 2001 说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，试题必须同试卷一起交回。

一、（16分）设{(),}T X X t t T =∈是正态过程，且()2()

0E X t ≠，证明：T X 是马

尔可夫过程的充要条件是其规范化相关函数满足：

(,)(,)(,),,r s u r s t r t u s t u =≤≤ 其中规范化相关函数

(,)r s t =

二、(10分)设{}(),[,]X t t a b ∈是一正态过程，若()X t 在[,]a b 上均方可积，令

()()t

a Y t X s ds =⎰，证明{}(),[,]Y t t a

b ∈是正态随机过程。

三、(12分)设{}(),0X t t ≥是状态空间为{}0,1I =的马尔可夫过程，转移概率矩阵

{}()(),,ij P t p t i j I =∈为标准阵，且

()()0001110011lim 1(),lim 1()t t p t q p t q t t

λμ++→→-==-== 求：（1）()P t ，在()00(0)0,01P P X P ==<<时；

（2）()()(),()E X t D X t .

四、（12分）已知一个独立随机变量序列12,,,,n X X X L L ，有()()n X n f x f x =，令

1121212,,,n n Y X Y X X Y X X X ==+=+++L L ，若()0n E X =，n X 与1n Y -独立，证明：1211(|,,,)n n n n E Y Y Y Y Y ---=L .