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分式单元知识总结(二)

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页眉内容

页脚内容16 分式单元知识总结（二）

题型发散

发散1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内．

（1）分式axb，bxc3，35cxa的最简公分母是（ ）

（A）35cx （B）abcx15 （C）515abcx （D）315abcx

（2）下列各式的约分运算中，正确的是（ ）

（A）339xxx （B）bacbca （C）0baba （D）1baba

（3）将分式)1)(1(1xx，)2)(1(2xx，)1)(2(3xx通分，下列变形中正确的是（ ）

（A）)2)(1)(1(2)1)(1(1xxxxxx

（B）)2)(1)(1(12)2)(1(2xxxxxx

（C）)2)(1)(1(33)1)(2(3xxxxxx

（D）以上答案都不正确

（4）若311yx，则yxyxyxyx2232的值是（ ）

（A）21 （B）32 （C）59 （D）4

（5）已知x:2=y：3=z：0.5，则zyxzyx23的值是（ ）

（A）71 （B）7 （C）3 （D）31

解 (1)用直接法．

求最简公分母，先求几个分式的分母的最低公倍式，几个分式分母的最低公倍式是：331553abcxcxba．

故本题应选(D)．

(2)用排除法．

选项(A)中，3636339xxxxxxx；； 页眉内容

页脚内容16 选项(B)中，bacbca，如532523；

选项(C)中，01baba，因此可排除(A)、(B)、(C)，

故本题应选(D)．

(3)用直接法．

选项(A)中，)2)(1)(1()2()1)(1(1xxxxxx，错；

选项(B)中，)2)(1)(1(22)2)(1(2xxxxxx，错；选项(C)正确．

故本题应选(C)．

(4)用直接法．

∵ 311yx，∴ 311xy，

将分式的分子和分母都除以xy，得

.59233)3(221131121212322232xyxyxyxyyxyxyxyx

故本题应选(C)．

(5)用直接法．

从题设入手，设5.0:3:2:zyxk(可设k=1)，

则x=2k,y=3k,z=0.5k．

∴7232215.03225.033223kkkkkkkkzyxzyx．

故本题应选(B)．

发散2填空题

(1)已知分式12122xxx，

当x___________时，分式无意义；

当x___________时，分式有意义；

当x___________时，分式的值为零；

当x=0时，分式的值为_________．

(2)把下面分式的分子、分母的各项系数都化为整数． 页眉内容

页脚内容16 ①_________04.03.05.001.0aba； ②yxyx41314131_________________．

(3)把下面分式化为最简分式2222444yxyxxy__________________．

(4)已知5922baba，则a：b=_______________．

解(1)∵原式2)1()1)(1(xxx

当x=1时，0)1(2x，分式无意义；

当x≠1时，分式有意义；

当x=-1时，分子(x+1)(x-1)=0，分母0)1(2x，故分式值为零；

当x=0时，1101012122xxx．

(2)①运用分式的基本性质，将分式的分子、分母都乘以100，得原式=43050aba.

②运用分式的基本性质，将分式的分子、分母都乘以12，得原式yxyx3434．

（3）分别将分式的分子、分母因式分解，得

yxyxyxyxyxyxyxyx22)2()2)(2()44()4(22222原式．

（4）原式两边乘以(2a-b)得 )2(592baba，

进一步整理，得 bbaa592518．

∴ ba519513．

∴ a：b=19：13．

发散3 计算132111223xxxxxxxx．

分析 先将假分式化为真分式与整式之和，再进行加减运算．

解 132111223xxxxxxxx 页眉内容

页脚内容16 .12)1)(1(2)1)(1()1()1(2111212)2(1122xxxxxxxxxxxxxx

发散4 计算1111111232232xxxxxxxxx．

分析 本题是分式的四则混合运算问题．应先乘除后加减，有括号的先做括号内的计算．

解 1211112232323xxxxxxxxxxx原式

.xxxxxx)xx(x)x)(x()xx)(x(x)x)(x(x121122111111111222

解散发散

发散1 计算.15814865552222xxxxxxxx

分析1 将分式655522xxxx化成65112xx，15814822xxxx可化为158112xx．

解法1 15811651122xxxx原式

.)5)(3)(2(3)5)(3)(2()5(2)3)(2(1)5)(3(1651158122xxxxxxxxxxxxxxxx

分析2 将分式655522xxxx化成65112xx，再对15814822xxxx进行通分． 页眉内容

页脚内容16 解法2 1581486511222xxxxxx原式

.)5)(3)(2(3)5)(2)(5)(3()3(3)165)(158()158(6565115816511581481222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

发散2 计算)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1xxxxxxxx

解法1 采用两两相加的方法．

41213121111xxxxxx原式

.)4(4)4)(2()2(4)4)(2()4(2)4)(2(2)2(2)4)(2(2431)2(211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

解法2 用拆项的方法计算．

413131212111111xxxxxxxx原式

.)4(4)4(4411xxxxxxxx

变形发散 页眉内容

页脚内容16 发散1 已知a+b+c=0，求3111111baccabcba的值．

解法1 由a+b+c=0，得a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b．

∴ 3acabcbcabcba原式

.033aaccbbacbcbabca

解法2 ∵ a+b+c=0，

∴ 111abbcacacbcabbcacab原式

.0))(()()()(abccbacabcababcabbcaccacbcabbbcacabaababbcacacacbcabbcbcacab

发散2 已知0111baba，求33baab的值．

解 ∵ 0111baba

∴ 1bbaaba，即1baab．

∴ 542baabbaabbaab

∴ 33baab原式

.52)35(53222baabbaabbabaababbaab

发散3 计算1123aaaa． 页眉内容

页脚内容16 解 本题把多项式看做是分母为1的式子．

即 1)1(123aaaa原式

.1)1)(1(23aaaaa

这里逆用立方差公式，111)1(33aaaa原式．

纵横发散

发散1 请你先化简，再选取一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值．

112223xxxxxx．

（2002年江西省中考试题）

解 1)1)(1()1()1(2xxxxxxx原式

=.121xxx（0x且1x）

令x=2得 3122原式．

发散2 计算abbaabbbaa22．

解 baabbabbaa22原式

.))((22abbaabbabababaabbaba

发散3 化简.221323322aaaaaaa

（2002年苏州市中考试题）

解 2231)2)(1()3(aaaaaaa原式

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分式知识点总结

分式知识点总结

分式知识点总结

在数学中，分式是指两个数的比，其中分子是被除数，分母是除数。分式也可以被写成分数的形式，即分子在分数线上方，分母在分数线下方。分式涉及到一些特定的知识点，在以下内容中将进行详细总结和讨论。

一、分式的基本概念

分式由分子和分母组成，分子表示被分割的部分，分母表示整体被分割的总数。分式用字母表示为a/b，其中a为分子，b为非零分母。

二、分式的简化与扩展

1. 简化分式：可以通过约分的方法，即找到分子和分母的最大公约数(GCD)，将其同时除以最大公约数得到的新分式即为简化后的形式；

2. 扩展分式：可以将分子和分母同时乘以同一个非零数，得到等价的分式。

三、分式的运算

1. 分式的加法和减法：当分母相同时，只需将分子相加或相减，并保持分母不变；

2. 分式的乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母；

3. 分式的除法：将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘，得到新的分子和分母。 四、分式的化简

1. 分式的化简通常是指将复杂分式转化成简单分式的过程；

2. 可以使用分母有理化的方法，将分式中的分母进行操作，使得分母为整数或无理数，进而简化分式的形式；

3. 具体化简方法根据题目的具体要求而定，例如利用公式、移项、分配律等。

五、分式的应用

分式在实际生活中有很多应用，例如比例、百分比、利润分配等。

六、分式的注意事项

1. 在分式运算中，除数不能为零，需要排除零作为分母的情况；

2. 当分子和分母均为整数时，可以进行有理数运算；

3. 在进行分式加减法时，必须先找到公共分母。

总结：

本文对分式的基本概念进行了介绍，讨论了分式的简化与扩展、分式的运算、分式的化简、分式的应用以及分式的注意事项。了解和掌握这些分式的知识点，可以帮助我们更好地解决数学中的分式问题，提高数学思维能力。

分式数学知识点归纳总结

分式数学知识点归纳总结

分式数学知识点归纳总结

一、分式的定义和基本性质

1. 分式是由分子和分母组成的数，分子和分母都是整数，并且分母不为零。

2. 分式可以表示有理数，有理数包括整数和分数。

3. 分式可以看作是代数式的特殊形式，其中分母不为零。

4. 分式的分子和分母可以约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零数。

5. 分式可以相加、相减、相乘和相除，也可以化简和合并。

6. 分式的大小比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。

二、分式的化简和合并

1. 化简分式：化简分式是指对分式的分子和分母进行约分，使分数的值保持不变的基础上，得到最简分数。

2. 合并分式：合并分式是指将两个分式相加或者相减，得到一个最简分式。

三、分式的加减乘除性质

1. 分式的加法性质：分式相加时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相加，分母保持不变。

2. 分式的减法性质：分式相减时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相减，分母保持不变。

3. 分式的乘法性质：分式相乘时，分子相乘，分母相乘。

4. 分式的除法性质：分式相除时，将除数分子分母互换，再将所得的分式作为乘数分式进行运算。

四、分式的大小比较

1. 分式的大小比较：分式大小的比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。对于两个分式a/b和c/d来说，若a/bc/d，则ad>bc。

2. 分式的大小比较练习：比较分式大小时，可以将分式通分进行比较，也可以将分式转化为小数进行比较。

五、分式方程的解法

1. 分式方程的定义：分式方程是含有分式的代数方程。 2. 分式方程的解法：对于分式方程的解法，首先要通过分式的化简和合并，将分式方程化为最简分式方程，然后可以通过分式方程的乘法性质和除法性质进行求解。

六、分式在实际应用中的问题求解

1. 分式在应用问题中的运用：分式在实际生活中有着广泛的应用，包括比例、百分数、利率、比率、工程问题等。

2. 分式应用问题求解：在实际应用问题中，我们可以将问题中的条件转化为分式形式，然后通过分式的运算法则进行求解。

分式的运算知识点总结

分式的运算知识点总结

分式的运算知识点总结

一、分式的含义和性质

1. 分式的定义

分式是指两个整数的比例，通常用a/b表示，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。分式通常表示成有理数的形式，例如1/2、3/4等。

2. 分式的性质

分式有以下性质：

（1）分式的分母不可以为0，因为0不能作为除数。

（2）分式可以化简，即约分，将分子与分母的公因数约掉。

（3）分式可以相互转换，即通过乘以相同的数或者分式和分数的换算，可以将分式相互转换。

二、分式的加减法

1. 分式的相加

分式的相加即将两个分式的分子相加，分母不变，然后化简得到最简分式。

例如：1/2 + 1/3 = (1*3+1*2)/(2*3) = 5/6。

2. 分式的相减

分式的相减即将两个分式的分子相减，分母不变，然后化简得到最简分式。

例如：2/3 - 1/4 = (2*4-1*3)/(3*4) = 5/12。

三、分式的乘除法

1. 分式的相乘

分式的相乘即将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，然后化简得到最简分式。

例如：1/2 * 2/3 = (1*2)/(2*3) = 2/6 = 1/3。

2. 分式的相除

分式的相除即将两个分式的分子相除作为新的分子，分母相除作为新的分母，然后化简得到最简分式。 例如：3/4 ÷ 1/2 = (3*2)/(4*1) = 6/4 = 3/2。

四、分式的乘方和括号的运算

1. 分式的乘方

分式的乘方即将分式的分子和分母分别进行乘方运算，得到新的分子和分母，然后化简得到最简分式。

例如：(1/2)^2 = 1^2/2^2 = 1/4。

2. 分式的括号运算

分式的括号运算即根据括号内的运算顺序进行计算，先乘除后加减，然后化简得到最简分式。

例如：(1/2 + 1/4) ÷ (1/2 - 1/4) = (2/4 + 1/4) ÷ (2/4 - 1/4) = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 * 2/1 = 3/2。

分式知识点总结及复习汇总

分式知识点总结及复习汇总

分式知识点总结及复习汇总

一、分式的定义和性质：

分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。

分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。

分式可以进行四则运算，包括加减乘除。

分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。

分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。

分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。

二、分式的运算法则：

1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。

2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。

3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。

4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。

三、分式的化简方法：

1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。

2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。 四、分式与整式的相互转化：

1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。

2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。

五、分式的应用：

1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。

2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。

3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。

4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。

六、分式的简化步骤：

1.因式分解。

2.分子、分母约去最大公约数。

3.整理化简结果。

七、分式的应用举例：

1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？

解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。