空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1已知直四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，AA L 2,底面ABCD是直角梯形，/ A为直角，AB // CD, AB = 4, AD = 2, DC = 1,求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.
解析：如图1,以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C1 (0, 1, 2)、B (2, 4, 0), •- BC1 =(-2,3,2), CD =(0, -1,0).
设BG与CD所成的角为厂
3 ：17
17 ' 二、利用线面垂直关系构建
直角坐标系
例2 如图2，在三棱柱ABC —A1B1C1中，AB丄侧面BB1C1C, E为棱CG上异于C、0的一点，EA丄EB1 .已知AB —, BB1= 2, BC= 1,Z BC6=—.求二面角A —EB「厲的平面
3
角的正切值.
解析：如图2,以B为原点，分别以BB「BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系.
由于BC = 1, BB1=2, AB= 2，/ BC6= — ,
3
•••在三棱柱ABC —A1B1C1 中，有B(0, 0, 0)、A(0,
C/— ,3,0 .
I2 2丿
,a,0 且—1 ca c 3
,
2 2
=-a （a _2） =a 2 _2a 3 =0, 4
4
1 3
即a 或a
（舍去）.故E
2
2
T T —） —*
由已知有EA _ EB i , B iA — EB i ,故二面角
A - E
B i -A i 的平面角v 的大小为向量
EA
的夹角.
因 BA = BA = （0,0八2）,
故说=目£=芈 EA B i Aj V 3 ，即 tan^
、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱锥 V - ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面
VAD 丄底面ABCD .
（1） 证明AB 丄平面VAD ;
（2） 求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值.
解析：（i ）取AD 的中点O 为原点，建立如图 3所示的空间直角坐标系. 设 AD = 2，贝U A （ i ，0，0）、D （- i ，0，0）、B （i ，2，0）、
V （0，0，爲），
••• A B =（0， 2，0），VA =（ i ，0，- V3）.
由 EA 丄 EB i ，得 EAEB =0 ,
BiA 与
2
由AB
=（0,2,0）L （i,0, -「3）=0
AB 丄 VA .
又AB 丄AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线 VA 、AD 都垂直,
(2)设E 为DV 的中点，贝U E '
--,0,晅
I
2 2丿
••• EB 丄 DV .
四、禾U 用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥 V - ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a ，高为h .
(1) 求/ DEB 的余弦值；
(2) 若BE 丄VC ,求/ DEB 的余弦值.
解析：(1)如图4,以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，
其中Ox // BC ,
Oy// AB,则由 AB= 2a, OV = h ，有 B (a, a,0)、C (-a, a,0)、D (-a, -a,0)、V (0, 0,
a h 2 2丿
-6a
2 h 2
…cos( BE, DE )
=— ------ 2-
AB 丄平面VAD ;
•去色,0,卫〕
*
2丿
,DV=(1,0,3).
•話电2 -另
」i,o J3)=0 ,
,Q 旦,3
a 』
12 2 2 BE DE
2 2 ?
10a 2 h 2 又EA 丄DV ，因此/ AEB 是所求二面角的平面角.
故所求二面角的余弦值为』
7
图4
即cos，DEB
-6a2 h2；
-10a2 h2 '
(2)因为E是VC的中点，又BE丄VC,
所以畝。，即-|a, 2 ”, a- h) = °，
2
1 2 a
--—a ―—
2 2
这时cos；：BE,DE -6a2 h2
10a2 h2
1 i
—,即卩cos, DEB --—.
I I
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等) ，利用自身对称性可建立空间直角坐标系.
例5已知两个正四棱锥P—ABCD与
Q —ABCD 的高都为2, AB= 4.
(1)证明：PQ丄平面ABCD ;
(2)求异面直线AQ与PB所成的角;
(I)求点P到平面QAD的距离.
(2)由题设知，ABCD是正方形，且AC丄BD .由(1) , PQ丄平面ABCD，故可分别以直线
CA, DB, QP 为x , y , z轴建立空间直角坐标系(如图1 ),易得
