2021年全等三角形经典题型分类

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【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

概念深入理解：(1)形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。

（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

(位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′"其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题。

(1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。

（2）全等三角形的对应边上的高，中线,角平分线对应相等。

（3）全等三角形周长，面积相等。

4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找图3图1图2如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边.通常情况下，两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;（3)通过观察,想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

全等三角形的常见模型利用“K型图”(也叫“一线三等角”模型)证明全等三角形．例1如图S8－1，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线MN上，分别过点A，B 作MN的垂线，垂足分别为D，E.求证：△ACD≌△CBE.(图S8－1)解：证明∠CAD＝∠BCE即可．(可将条件转化为∠ADC＝∠ACB＝∠BEC，结论仍成立)(1)等腰三角形的顶角顶点在直线上，向两腰外侧作两个三角形，如果这条直线上有三个相等的角，那么所作的两个三角形__全等__．1．如图S8－2，BD是正方形ABCD的对角线，E是边BC上一点，连结AE交BD于点P，过点P作PF⊥AE，交CB延长线于点F.求证：AP＝FP.(图S8－2) (图DS8－1)解：如图DS8－1，过点P作MN⊥AD，交AD，BC于点M，N.利用正方形的性质证明AM＝BN＝NP，∠AMN＝∠APF＝∠FNP，∠P AM＝∠FPN，∴△APM≌△PFN(ASA)，∴AP＝FP.2．如图S8－3，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上两点，∠EAF＝45°，FG⊥AE于点G，连结BG.求证：CF＝2BG.(图S8－3)(图DS8－2)解：如图DS8－2，过点G 作MN ⊥AB ，交AB ，CD 于点M ，N . 证明△AGM ≌△GFN 可得MG ＝FN ， 从而证明MB ＝12FC ， ∴CF ＝2BG .利用“手拉手”模型证明全等三角形．例2 如图S8－4(1)，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ，连结DE .现将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜360°)，如图S8－4(2)，连结CE ，BD .当 0°＜α＜180°时，求证：CE ＝BD ，CE ⊥BD .(1)(2)(图S8－4)解：证明∠CAE ＝∠BAD 即可证△ACE ≌△ABD ，得CE ＝BD .延长CE ，利用三角形的内角和与对顶角可证垂直．(2)两个有公共顶角顶点的等腰三角形，将其中一个绕着公共顶点旋转，会产生一对__全等三角形__，并且还能由等腰三角形顶角的度数推得对应边夹角的度数．3．如图S8－5，△ABC ，△ADE 均为等腰三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°.若点G 是CE 的中点，连结GB 并延长至点F ，使CF ＝CD .求证：∠EBG ＝∠F .(图S8－5)(图DS8－3)解：如图DS8－3，延长BG 至点M ，使MG ＝FG . 由基本图形可证BE ＝CD ＝CF ， 由倍长中线可证△EGM ≌△CGF ， ∴∠M ＝∠F ，EM ＝CF ，∴BE ＝ME ，∴∠EBG ＝∠M ，∴∠EBG ＝∠F .4．如图S8－6，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点P 是三角形内一点，到点A ，B ，C 的距离分别为23，2，4.求△ABC 的面积．(图S8－6)(图DS8－4)解：如图DS8－4，作BM ⊥PB ，使BM ＝BP ＝2，连结CM . 由基本图形可证△ABP ≌△CBM (SAS)， ∴PM ＝2，CM ＝23，∴△CPM 是直角三角形，∠CMP ＝90°， ∴∠APB ＝∠CMB ＝135°，A ，P ，M 三点共线， ∴△ABC 的面积为14AC 2＝14(AM 2＋CM 2)＝7＋2 3.发现隐藏在等边三角形中的全等三角形．例3如图S8－7，△ABD，△BCE均是等边三角形，点A，B，C在同一直线上，AE 与BD交于点M，C与BE交于点N，连结MN.求证：(图S8－7)(1)AE＝CD；(2)△BMN是等边三角形．解：由例2模型可证△ABE≌△DBC，∴AE＝CD，进一步证明△ABM≌△DBN，及∠MBN ＝60°，即证△BMN是等边三角形．(3)等边三角形的性质有很多，从边来看，__三条边相等__，从角来看，__三个角都等于60°__，牢记活用，全等三角形就隐藏在它们之间．5．如图S8－8，D是等边三角形ABC内一点，DA＝DB，P，C两点在直线BD两侧，BP＝AB，∠BPD＝30°.求证：BD平分∠PBC.(图S8－8) (图DS8－5)解：如图DS8－5，连结CD.由BD＝AD，AC＝BC，易证CD平分∠BCA，结合BP＝BC，BD公共边可证△BDP≌△BDC，∴BD平分∠PBC.6．如图S8－9，以△ABC的边AB，AC为边向外作等边三角形ABD，等边三角形ACE，连结BE，CD交于点P，连结AP.求证：∠APD＝∠APE.(图S8－9)解：由基本图形可证△ACD≌△AEB，得CD＝BE，故点A到CD，BE的距离相等，即点A到∠DPE两边的距离相等，∴P A是∠DPE的平分线，即∠DP A＝∠EP A.将角平分线与垂直联系在一起，会产生全等三角形．例4如图S8－10，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C ＝50°.求∠CDE的度数．(图S8－10)解：易证△ABF≌△EBF，∴BD是AE的中垂线，∴∠BEA＝72.5°，∠EAC＝22.5°.∴∠CDE＝2∠EAC＝45°.(4)过角平分线上的点向角两边作垂线段，会产生一对全等三角形；过角平分线上的点作与角平分线垂直的直线，也会产生一对全等三角形．7．如图S8－12，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点E，BD⊥AD.求证：AE＝2BD.(图S8－12) (图DS8－6)解：如图DS8－6，延长AC，BD交于点M，可证△ACE≌△BCM，∴AE＝BM.∵BM＝2BD，∴AE＝2BD.8．如图S8－13，在△ABC中，DE是边BC的中垂线，AD平分∠BAC，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.求证：BM＝CN.(图S8－13) (图DS8－7)解：如图DS8－7，连结BD，CD.由中垂线知BD＝CD，由角平分线知DM＝DN，∴△BDM≌△CDN(HL)，∴BM＝CN.满足“SSA”的一对三角形可能全等．例5如图S8－14，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.问：△ABC与△ADC是否全等？(图S8－14) (图DS8－8)解：如图DS8－8，连结BD.由AD＝AB知∠ABD＝∠ADB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∴△ACD≌△ACB.(5)满足“SSA”的两个三角形可能全等，也可能不全等．若这两个三角形不全等，则它们一定相差一个__等腰__三角形，也可拼成一个__等腰__三角形．9．已知在△ABC与△A′B′C′中，AB＝A′B′＝8，BC＝B′C′＝5，∠A＝∠A′＝30°.若△ABC 与△A′B′C′不全等，求它们的面积之差、面积之和．解：如图DS8－9，将△ABC与△A′B′C′的∠A，∠A′重合，AB，A′B′重合，过点B作BD⊥AC，(图DS8－9)则两个三角形面积之差即为△BCC′的面积，S△BCC′＝12BD·CC′＝12，面积之和为△ABD面积的两倍，即为AD·BD＝16 3.10．如图S8－15，E是线段CD的中点，点B在边AE上，AD＝BC.求证：∠CBE＝∠A.(图S8－15) (图DS8－10)解：如图DS8－10，延长BE至点F，使EF＝BE，则△BCE≌△FDE，∴∠CBE＝∠F，BC＝DF，由AD＝BC＝DF得∠A＝∠F，∴∠CBE＝∠A.1．如图ZS8－1，将一个等腰直角三角形放置在距离是1的横格纸上，三个顶点都在横线上，则此三角形的斜边长为__10__．(图ZS8－1)2．如图ZS8－2，BD平分∠ABC，且∠ABC与∠ADC互补．若AD＝3，AB＝4，BC＝5，则CD＝__3__．(图ZS8－2)3．如图ZS8－3，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E，F在边AB，AC上，DE⊥DF.(1)求证：△DEF是等腰直角三角形．(2)若AB＝4，求△DEF面积的最小值．(图ZS8－3) (图DT8－1)(1)证明：如图DT8－1，连结AD.由等腰直角三角形的性质可证△CDF≌△ADE，∴DF＝DE.又∵∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形．(2)解：由(1)知，S△DEF＝12DE2，当DE＝2时，S△DEF有最小值，最小值为2.4．如图ZS8－4，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE＝DB，连结CE并延长，交边AB于点F，连结DF.(图Z S8－4)求证：(1)AB＝CE；(2)BF＋EF＝2FD.证明：(1)由∠ACB＝45°，AD⊥BC，得CD＝AD.又∵DE＝DB，∴△CDE≌△ADB(SAS)，∴AB＝CE.(2)如图DT8－2，在CE上取点M，使ME＝BF，(图DT8－2)结合CE＝AB，得CM＝AF.由(1)知∠DCM＝∠DAF，∴△CDM≌△ADF(SAS)，∴DM＝DF，∠CDM＝∠ADF，∴∠MDF＝90°，∴△MDF是等腰直角三角形，∴ME＋EF＝2FD，即BF＋EF＝2FD.5．如图ZS8－5，△ABD，△BCE是等边三角形，点A，B，C在同一直线上，连结CD，AE，点M，N在CD，AE上，且CM＝EN.求证：△BMN是等边三角形．(图ZS8－5)证明：由基本图形可证△ABE≌△DBC，于是可得BM＝BN，∠NBM＝60°，∴△BMN是等边三角形．若设AE，CD交于点P，还可利用M，N，B，P四点共圆来证．6．如图ZS8－6，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，BD，若∠ABD＝60°，AB＝AC.求证：AB＝BD＋CD.(图ZS8－6) (图DT8－3)证明：如图DT8－3，过点A分别作CD，BD的垂线，垂足分别为F，E，∵∠ABD＝60°，∴AB＝2BE，∠ACD＝60°，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，BE＝CF，∴△ADE≌△ADF(HL)，∴DE＝DF，∴BE＝CF＝CD＋DE(折弦定理)，∴AB＝2BE＝BE＋DE＋CD＝BD＋CD.7．如图ZS8－7，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，AE⊥BC于点E，交BD 于点G，DF⊥BC于点F，连结FG.求证：四边形ADFG是菱形．(图ZS8－7)证明：由BD平分∠ABC，DA⊥AB，DF⊥BC，可证△ABD≌△FBD，∴AB＝BF，∴△ABG≌△FBG，∴∠BFG＝∠BAG，又∵∠C＝∠BAG，∴∠C ＝∠BFG ，∴AC ∥FG ，∵AG ∥DF ，AD ＝DF ，∴四边形ADFG 是菱形．8．如图ZS8－8，在△ABC 中，P 是边BC 中垂线上的一点，∠PBC ＝12∠A ，连结BP ，CP 并延长，交AC ，AB 于点E ，D .求证：BD ＝CE .(图ZS8－8) (图DT8－4) 证明：如图DT8－4，过点B 作BM ⊥CD 于点M ，过点C 作CN ⊥BE 于点N . ∵点P 在BC 的中垂线上，∴BP ＝CP ，∴△BPM ≌△CPN ，∴BM ＝CN .∵∠BPD ＝2∠PBC ＝∠A ，∠BDM ＝∠ABE ＋∠BPD ，∠CEN ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠BDM ＝∠CEN ，∴△BDM ≌△CEN (AAS)，∴BD ＝CE .9．如图ZS8－9，P 是△ABC 外一点，AP 平分∠BAC ，PE 垂直平分BC ，作PD ⊥AB 于点D .求证：AC －AD ＝BD .(图ZS8－9) (图DT8－5) 证明：如图DT8－5，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连结BP ，CP .∵EP 垂直平分BC ，∴BP ＝CP .∵AP平分∠CAD，PM⊥AC，PD⊥AB，∴PM＝PD，∴△APD≌△APM，△CMP≌△BDP，∴AM＝AD，CM＝BD，∴AC－AD＝BD.10．用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝45°，AB＝a，BC＝b.若这样的三角形只能作一个，求a，b应满足的条件．解：由题意知，以B为圆心，BC为半径的弧与射线AC(不包括顶点)只有一个交点．如图DT8－6－1，AC＝BC，则b＝2 2a.(图DT8－6－1) (图DT8－6－2) 如图DT8－6－2，BC≥AB，则b≥a.综上所述，b＝22a或b≥a.。

一，证明边或角相等方法：证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换，同样如果角不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，也是用等量代换（方法是：（1）同角（等角）的余角相等（2）同角（等角）的补角相等，此类型问题一般不单独作一大题，往往是通过得出角相等后用来证明三角形全等，而且一般是在双垂直的图形中）1.已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。

求证：BE＝CD。

2．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．3．已知：如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。

求证：HB=HC。

2、如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．求证：AC=EF．AEDCB654321EDCBAFGE DCBAFMNE1234EDC BA 二.证明线段和差问题 （形如：AB+BC=CD,AB=AD - CD)证明两条线段和等于另一条线段，常常使用截长补短法。

①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。

②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。

证明两条线段差等于另一条线段，只需把差化成和来解决即可。

1.如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．2、如图,已知：△ABC 中,∠BAC ＝90, AB ＝AC ,AE 是过A 一直线,且点B 、C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E . 求证：BD ＝DE ＋CE ；3、如图，AB ∥CD ，DE 平分∠ADC ，AE 平分∠BAD ，求证：AB=AD - CDP E D CB A三．证明线段的2倍或21关系 ( AB CE =2， MN BN =12） 1. 利用含30 角的直角三角形的性质证明例1. 已知，如图1，∆ABC 是等边三角形，在AC 、BC 上分别取点D 、E ，且AD ＝CE ，连结AE 、BD 交于点N ，过B 作BM AE ⊥，垂足为M ，求证：MN BN =12（提示：先证∠=BNE 60）2. 利用等线段代换（充分利用中点）例1．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ．3.4.转化为线段和问题，利用截长补短法 FE DCB A例5. 已知：如图5，四边形ABCD 中，∠=D 90 ，对角线AC 平分∠BAD ，AC BC =，求证：AD AB =12四．五．证明二倍角关系利用三角形外角和定理和等量代换如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠BD C BA。

2021初中数学证明三角形全等方法总结在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等．下面介绍证明三角形全等的几种方法，供同学们参考．一、利用公共角证明全等【例题 1】如图 1，已知 AB ＝ AC, AE ＝ AF，BF 交 CE 于点 O.图 1求证:∠ABF ＝∠ACE.分析：要证明∠ABF＝∠ACE，只需证明△BOE≌△COF 或△ABF≌△ACE. 而由图形可知∠A 是公共角，又由已知条件 AB ＝ AC, AE＝ AF, 所以△ABF≌△ACE（SAS），于是问题获证．证明：略.二、利用对顶角证明全等【例题 2】如图 2，点 B、E、F、D 在同一条直线上，AB ＝ CD，BE ＝DF，AE ＝ CF，连接 AC 交 BD 于点 O．图 2求证：AO ＝ CO．分析：要证明 AO＝CO，只需证明△AOE≌△COF 或△AOB≌△COD 即可．根据现有条件都无法直接证明．而由已知条件 AB ＝CD，BE ＝ DF, AE ＝ CF 可直接证明△ABE≌△CDF，则有∠AEB＝∠CFD，进而有∠AEO＝∠CFO，再利用对顶角相等即可证明△AOE≌△COF（AAS）于是问题获证．证明：略.三、利用公共边证明全等【例题 3】如图 3，已知 AB ＝ CD，AC ＝ BD．图 3求证：∠B ＝∠C．分析：设 AC 与 BD 交于点 O，此时∠B 与∠C 分别在△AOB 和△DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接 AD，那么 AD 是△ABD 和△DCA 的公共边，这样可以证明△ABD≌△DCA（SSS），从而可证明∠B ＝∠C，于是问题获证．证明：略.四、利用相等线段中的公共部分证明全等【例题 4】如图 4，点 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF ＝ CE.图 4求证：BE∥DF.分析：要证明BE∥DF, 只需证明∠BEC ＝∠DFA，此时可以转换为证明∠AEB ＝∠CFD, 进而证明△AEB≌△CFD（SAS）. 而 AE = AF - EF , CF = CE - EF , 故 AE = CF .证明：∵ 在平行四边形 ABCD 中，∴ AB∥CD，AB = CD，∴∠BAE = ∠DCF，∵ AE = AF - EF , CF = CE - EF , AF ＝ CE，∴AE = CF，∴ △AEB ≌ △CFD（SAS），∴ ∠AEB ＝∠CFD,∴ ∠BEC ＝180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD = ∠DFA，∴ BE∥DF.五、利用等角中的公共部分证明全等【例题 5】如图 5，已知∠E ＝30°，AB ＝ AD，AC ＝ AE，∠BAE＝∠DAC．图 5求：∠C 的度数．分析：已知∠E ＝30°，要求∠C，可考虑证明△ABC≌△ADE , 由∠BAE ＝∠DAC , 结合图形可知∠BAC ＝∠DAE，于是问题获解．证明：∵ ∠BAE＝∠DAC，∴ ∠BAE +∠EAC= ∠DAC +∠EAC，∴ ∠BAC ＝∠DAE，∵ AB ＝ AD，AC ＝ AE，∴ △ABC ≌ △ADE（SAS） ,∴ ∠C = ∠E = 30° .六、利用互余或互补角的性质证明全等【例题 6】如图 6，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE⊥AC 于点 B, 且DC ＝ EC, 能否找出与 AB + AD 相等的线段，并说明理由．图 6分析：由于 AC ＝ AB + BC，可以猜想 AC ＝ AB + AD，或 BE ＝AB + AD，此时只需证明 AD ＝ BC 即可．而事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA ＝∠E，从而证明△ADC ≌ △BCE，问题获证．注意考点：同角或等角的余角相等.证明：∵ BE⊥AC，∴ ∠EBC = 90°，∵ ∠DCA +∠ACE= ∠DCE = 90°，∠E +∠ACE= 90°，∴ ∠DCA ＝∠E，∵ ∠DAC = ∠EBC = 90°，DC ＝ EC,∴ △ADC ≌ △BCE（AAS），∴ AC = BE , AD = BC，∴AB + AD= AB + BC = AC= BE.七、利用角平分线的性质构造全等三角形证明全等考点：角平分线上的点到角两边的距离相等【例题 7】如图 7，点 P 是∠ABC 的平分线 BN 上一点，PE 垂直 AB 所在的直线与 E , PF 垂直BC 所在的直线于F, ∠PAB + ∠PCB = 180°.图 7求证：PA = PC.证明：∵ BN 是∠EBC 的角平分线，PE⊥BA，PF⊥BC，∴ ∠PEA = ∠PFC = 90°，PE = PF ,∵ ∠PAB + ∠PAE = ∠PAB + ∠PCB = 180°，∴ ∠PAE = ∠PCF，∴ △PAE ≌ △PCF，∴ PA = PC.八、利用截长补短法构造全等三角形证明全等所谓截长法是指在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可以把分散的条件相对集中起来，以便构造全等三角形。