通信原理(第二版)第二章

(2-13)
式(2-13)的物理意义： 信号f(t)与载波相乘的结果使得原 信号的频谱产生频谱搬移，搬移位置的大小为载波的频率。
图2-9 利用调制定理进行频谱搬移
第2章 确知信号与随机信号分析
2.1 确知信号分析 2.2 随机信号分析 2.3 确定性信号与随机信号通过线性系统 2.4 窄带随机过程概述 2.5 余弦波加窄带高斯随机过程
2.1 确知信号分析
2.1.1 周期信号傅里叶级数展开式与非周期信号的傅里叶变
换
1) 周期信号的傅里叶级数展开式
(1) 根据信号与系统原理，周期信号傅里叶级数展开式
j [ ( 0 ) ( 0)]
(2-8)
式(2-8)变换的结果如图2-6所示。注意到正弦和余弦信号 是单频，因此，变换后的结果为谱线。
图2-6 正弦和余弦信号的频谱
2.1.3 傅里叶变换的几个主要性质 1． 线性叠加性质 若 f1(t) F1(j) f2(t) F2(j)
f (t) e jtd t

d

(2-3)
通常将(2-3)式简记为
f (t) F(j)
(2-4)
即时域信号f(t)与频域信号F(jω)组成傅里叶变换对。
2.1.2 常用信号的频谱
1． 单位冲激函数δ(t)的频谱
单位冲激函数δ(t)的频谱为
E (t) E 或 (t) 1
图2-5 数字信号带宽与码元脉冲宽度成反比
4． 正弦和余弦信号的傅里叶变换 正弦和余弦信号的傅里叶变换为
cos0t

1 2
e j0t e j0t
[ ( 0 ) ( 0 )]

sin
0t

1 2j
e j0t e j0t
由图2-4可以看出，信号的大部分能量集中在第一个主
瓣内，因此，得此信号的带宽为 2k f。 1


主要结论： 矩形脉冲信号的带宽Δf与信号的宽度τ成反
比。
利用图2-4所示矩形脉冲信号的频谱，可对数字信号的
带宽进行估算，从而得出数字信号的带宽与码元脉冲的宽度
成反比的结论，如图2-5所示(这一结论很重要)。
(2-5)
上式的变换结果如图2-2所示。
物理意义: 变化快的信号，如很窄的脉冲等，可近似用
数学模型δ(t)来表示，上式说明这类随时间变化很快的信号
的频谱很宽。
图2-2 单位冲激函数δ(t)的频谱
2． 直流信号f(t)=A的频谱 直流信号f(t)=A 的频谱为
1 2 () A 2A ()
的三角形式为
n
f (t) A0 An cos(n0t n ) (2-1)
n1
其中，ω0=2π/T0为基波频率，T0为信号的周期，nω0为n次谐 波频率。
(2) 利用高等数学中的欧拉公式，可将三角形式的傅里
叶级数展开式变换成指数形式的级数展开式


f
(t)


上式的变换结果如图2-3所示。
(2-6)
物理意义： 直流信号对应频域中的0频率分量，随时间
变化很慢的信号，它的频带宽度(带宽)很窄。
图2-3 直流信号f(t)=A的频谱
3． 矩形脉冲的傅里叶变换及其频谱 矩形脉冲的傅里叶变换为
F(j)
f (t) e jtd t

/ 2 / 2
图2-7 利用对称性求低通滤波器对应时域信号的过程
3． 时移特性 若 f (t) F(j) ，则
f (t t0 ) F (j) e jt0
(2-11)
物理意义： 时域中的时移，在频域中反映为在原频谱函
数F(jω)基础上附加一个相移函数 e jt0 。
4． 频移特性
若 f (t) F(j) ，则
2 A0
Sa 0t cos ct
5． 调制定理 若 f (t) F(j) ，则

f
(t) cos0t

1 2
F[j(

0
)]

1 2
F[j(

0 )]

f
(t ) sin 0t

j 2
F[j(
0 )]
j 2
F[j(
0 )]
式(2-13)变换的结果如图2-9所示。
号为
f
(t)

A0
Sa 0t
在此基础上，利用频移特性，得带通滤波器对应的时域信号为
f
(t)

A0
Sa 0t [ejct ejct ]
由欧拉公式，得 e jct e jct 2 cosct ，因此
f
(t)

A0
Sa 0t [e jct ejct ]
Ae jtd t

A
sin( / 2) / 2

ASa
2

(2-7)
式中，F(jω)的零点满足如下关系：
从而得：
2k ， k 1, 2,...
k， k 1, 2,...
2
(2-7)式的变换结果如图2-4所示。
图2-4 矩形脉冲信号的频谱
，则
f1(t) f2(t) F1(j) F2(j)
(2-9)
2． 对称性
若 f (t) F(j) ，则 F(jt) 2f ()
或
F( jt) 2Biblioteka Baidu ()
(2-10)
【例2.1】 已知低通滤波器的截止频率为ω0，试利用对 称性求它对应的时域信号。
解 利用对称性求低通滤波器对应时域信号的过程如图 2-7所示。
f (t) e j0t F[j( 0 )]
（2-12）
物理意义： 时域中的相移，对应频谱函数在频域中的频移。
【例2.2】 已知带通滤波器的频率特性如图2-8所示，利用
频移特性和例2.1的结果，试求带通滤波器所对应的时域信号。
图2-8 带通滤波器的频率特性
解 根据例2.1的结果，已知低通滤波器对应的时域信
Fn
n
e
jn0t
(2-2)


Fn

1 T0
T0 / 2 f (t) e jn0td t
T0 / 2
周期信号频谱Fn是离散谱，如图2-1所示。
图2-1 周期信号的离散谱
2) 非周期信号的傅里叶变换
非周期信号的傅里叶变换为




f F
(t)
(j)
1 F (j) e jt 2