高考数学专题复习之解析几何

查补易混易错点06解析几何1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa ＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合．4致错解．5．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．6．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．8．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进1．（2023·吉林·统考三模）已知圆C：线l的距离为（）123．（2023·甘肃兰州则a 的取值范围是（A ．[12,12]-+C ．[2,12)+【答案】B【解析】2y =-即曲线2y x =--作出曲线2y =-4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设()4,0B ，若AF BF =，则AB A ．2B ．22A．2B 【答案】DPQ=【解析】因为24A ．22194y x -=B ．22124y x -【答案】B【解析】双曲线(222104y x a a -=>以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆的方程为A ．23B 【答案】D【解析】以A 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，由题意知：NQ a c =+，则直线:134xy PR -+=，即设()(),03Q n n <-，则M ∴点M 到直线PR 的距离71322QR ∴=-+=，即a -设直线(:4PN y kx k =+>∴点M 到直线PN 的距离又直线PN PR k k <，15k ∴=令0y =，解得：152x =-715422NQ ∴=-+=，即将()MAy k x a =+与by x a =-联立，解得将()MA y k x a =+与by x a =联立，解得因为线段MA 被两条渐近线三等分，所以212y y =，即MA MAk abb ak=-对于B ：设()00,M x y ，则15．（多选题）（2023·广东左、右焦点分别为1F ，2F ，A ．若()2,1P ，且2PF x ⊥B ．若C 的一条渐近线方程是C ．若点P 在C 的右支上，D ．若12sin sin PF F e PF ∠=⋅∠【答案】AD【解析】对于A ，若(2,1P 所以()221221PF PF -=+221x y -=，故A 正确；对于B ，若C 的一条渐近线方程是确；对于C ，若C 的离心率为等腰三角形，则1PO OF =18．（2023·山东聊城·统考模拟预测）已知双曲线2F ，且124F F =，(3,2)P 是(1)求C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 轴于点D ，若||||2|AM AN ⋅=【解析】（1）设C 的焦距为由双曲线的定义，得2a PF =即3a =，所以22b c a =-=故C 的方程为2213x y -=；（2）设(),0A s ，()11,M x y ，联立2213x ty s x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得(2t -由题意，得222230Δ44(3)(t s t t ⎧-≠⎨=--⎩则12223st y y t -+=-，212233s y y t -=-()(1AM AN AM AN x s ⋅=⋅=-由OA OB ⊥得直线OB 方程为：由24y kx y x =⎧⎨=⎩，解得244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

双曲线的几何性质易错点
主标题：双曲线的几何性质易错点
副标题：从考点分析双曲线的几何性质在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：双曲线的几何性质易错点
难度：4
重要程度：5
内容：一、双曲线的渐近线的易错点
例1．已知双曲线2
2
b y a x -=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22
a (O 为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )
A ．30° B． 45° C．60° D．90°
二、双曲线的离心率
例2．双曲线2
2
b y a x -=1(a>1，b>0)的焦距为2
c ，直线l 过点(a ，0)和(0,b)，且点(1，0)
到直线l 的距离与点(-1，0)到直线l 的距离之和s≥54
c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．。

第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真 题 感 悟(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.解 (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1). 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.考 点 整 合1.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.2.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一 定点与定值问题 [考法1] 定点的探究与证明【例1－1】 (2018·杭州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又由题意知（2＋c ）2＋12＝10，解得c ＝1， 故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4（m 2－3）3＋4k2.①∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3（m 2－4k 2）3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2，0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3（m 2－4k 2）3＋4k 2＋4（m 2－3）3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7.由Δ>0，得3＋4k 2－m 2＞0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)， 直线过定点(2，0)，与已知矛盾. 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27， 直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 探究提高 (1)动直线l 过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0).(2)动曲线C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.[考法2] 定值的探究与证明【例1－2】 (2018·金丽衢联考)已知O 为坐标原点，直线l ：x ＝my ＋b 与抛物线E ：y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点. (1)当b ＝2p 时，求OA →·OB →；(2)当p ＝12且b ＝3时，设点C 的坐标为(－3，0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 21＋1k 22－2m 2为定值.解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋b ，消元得y 2－2mpy －2pb ＝0，所以y 1＋y 2＝2mp ，y 1y 2＝－2pb .(1)当b ＝2p 时，y 1y 2＝－4p 2，x 1x 2＝（y 1y 2）24p2＝4p 2， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4p 2－4p 2＝0.(2)证明 当p ＝12且b ＝3时，y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－3.因为k 1＝y 1x 1＋3＝y 1my 1＋6，k 2＝y 2x 2＋3＝y 2my 2＋6， 所以1k 1＝m ＋6y 1，1k 2＝m ＋6y 2.因此1k 21＋1k 22－2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 22－2m 2＝2m 2＋12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋36⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22－2m 2＝12m ×y 1＋y 2y 1y 2＋36×（y 1＋y 2）2－2y 1y 2y 21y 22＝12m ×－m 3＋36×m 2＋69＝24，即1k 21＋1k 22－2m 2为定值.探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练1－1】 (2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )， 由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0.所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点. 【训练1－2】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解 由已知ca ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 0＝1.当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.热点二 最值与范围问题[考法1] 求线段长度、面积(比值)的最值【例2－1】 (2018·湖州调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝kx －4(1<k <2)与y 轴、抛物线C 分别相交于P ，A ，B (自下而上)，记△PAF ，△PBF 的面积分别为S 1，S 2.(1)求AB 的中点M 到y 轴的距离d 的取值范围； (2)求S 1S 2的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝4x ，消去y 得，k 2x 2－(8k ＋4)x ＋16＝0(1<k <2).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k ＋4k 2，x 1x 2＝16k2，所以d ＝x 1＋x 22＝4k ＋2k2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋12－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6.(2)由于S 1S 2＝|PA ||PB |＝x 1x 2，由(1)可知S 1S 2＋S 2S 1＝x 1x 2＋x 2x 1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝k 216·（8k ＋4）2k 4－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋22－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫174，7， 由S 1S 2＋S 2S 1>174得，4⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－17·S 1S 2＋4>0， 解得S 1S 2>4或S 1S 2<14.因为0<S 1S 2<1，所以0<S 1S 2<14.由S 1S 2＋S 2S 1<7得，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－7·S 1S 2＋1<0， 解得7－352<S 1S 2<7＋352，又S 1S 2<1，所以7－352<S 1S 2<1. 综上，7－352<S 1S 2<14，即S 1S 2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－352，14. 探究提高 (1)处理求最值的式子常用两种方式：①转化为函数图象的最值；②转化为能利用基本不等式求最值的形式.(2)若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法).【训练2－1】 (2018·温州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与圆O ：x 2＋y 2＝34相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋23b2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，b 2＝1，∴x 23＋y 2＝1.(2)①当k 不存在时，直线为x ＝±32，代入x 23＋y 2＝1，得y ＝±32， ∴S △OAB ＝12×3×32＝34；②当k 存在时，设直线为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消y 得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km1＋3k2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k2，直线l 与圆O 相切d ＝r 4m 2＝3(1＋k 2)， ∴|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 1＋3k 22－12（m 2－1）1＋3k 2＝3·1＋10k 2＋9k41＋6k 2＋9k 4＝3·1＋4k21＋6k 2＋9k4 ＝3×1＋41k 2＋9k 2＋6≤2.当且仅当1k 2＝9k 2，即k ＝±33时等号成立，∴S △OAB ＝12|AB |×r ≤12×2×32＝32，∴△OAB 面积的最大值为32， ∴m ＝±34⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝±1， 此时直线方程为y ＝±33x ±1. [考法2] 求几何量、某个参数的取值范围【例2－2】 已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围. 解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t. 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 因此k 的取值范围是(32，2).探究提高 解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. (3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练2－2】 (2018·台州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c ，0)， 则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c ).由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433， 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x23（x ＋1）2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x， 即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立， 整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、选择题1.F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A.－2B.1C.2D.4解析 设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，注意到－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案 B2.(2018·镇海中学二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A.2B.12C.14D.18解析 根据题意，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d .抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18.答案 D3.设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 (1)当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m ≥tan ∠AMB 2＝ 3.∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. (2)当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB2＝3，∴m ≥9，综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 A4.已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝( ) A.3B.5C.6D.10解析 因y 2＝8x ，则p ＝4，焦点为F (2，0)，准线l ：x ＝－2.如图，M 为FN 中点， 故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线， ∵|CN |＝2，|AF |＝4， ∴|MB |＝3，又由定义|MB |＝|MF |， 且|MN |＝|MF |，∴|NF |＝|NM |＋|MF |＝2|MB |＝6. 答案 C5.(2018·北京西城区调研)过抛物线y 2＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 22－y 2＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2>0，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 易知双曲线两渐近线为y ＝±22x ，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，当k >22或k <－22时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x 1x 2>0. 答案 D6.在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( ) A.(0，1)B.(0，2)C.(2，0)D.(1，0)解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2，又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程， 代入得－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过点(0，2).答案 B 二、填空题7.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0可化为(x －2)2＋y 2＝2，其圆心为(2，0)，半径为 2. 因为直线bx ±ay ＝0和圆(x －2)2＋y 2＝2相交， 所以|2b |a 2＋b2＜2，整理得b 2＜a 2.从而c 2－a 2＜a 2，即c 2＜2a 2，所以e 2＜2.又e ＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)8.(2018·金华质检)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________，椭圆的离心率为________.解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b＝3，e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12.答案3 129.已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为________，此时圆Q 的方程为________. 解析 如图，在Rt △QPF 中，FP →·FQ →＝|FP →||FQ →|cos ∠PFQ ＝|FP →||FQ →||PF →||FQ →|＝|FP →|2＝ |FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴|FQ →|min ＝2， ∴FP →·FQ →的最小值为3. 此时圆Q 的方程为x 2＋y 2＝1. 答案 3 x 2＋y 2＝110.(2018·温州模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析 不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0). 则|AC |＋|BD |＝y 1＋x 2＝y 1＋y 224.又y 1y 2＝－p 2＝－4，∴|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2<0).设g (x )＝x 24－4x (x ＜0)，则g ′(x )＝x 3＋82x2，从而g (x )在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.∴当x ＝－2时，|AC |＋|BD |取最小值为3. 答案 311.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，又F (c ，0)， 则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2，代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 答案 63三、解答题12.(2018·北京海淀区调研)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值. (1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.故k AP ＋k AQ 为定值2.13.(2018·杭州调研)已知F 是抛物线T ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点P ()1，m 是抛物线上一点，且|PF |＝2，直线l 过定点(4，0)，与抛物线T 交于A ，B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q .(1)求m ，p 的值；(2)若m >0，且|PQ |2＝|QA |·|QB |，求直线l 的方程. 解 (1)由|PF |＝2得，1＋p2＝2，所以p ＝2，将x ＝1，y ＝m 代入y 2＝2px 得，m ＝±2.(2)因为m >0，故由(1)知点P (1，2)，抛物线T ：y 2＝4x .设直线l 的方程是x ＝ny ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋4，y 2＝4x 得，y 2－4ny －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4n ，y 1·y 2＝－16. 因为|PQ |2＝|QA |·|QB |，所以PA ⊥PB ， 所以PA →·PB →＝0，且1≠2n ＋4，所以(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，且n ≠－32.由(ny 1＋3)(ny 2＋3)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0得， (n 2＋1)y 1y 2＋(3n －2)(y 1＋y 2)＋13＝0，－16(n 2＋1)＋(3n －2)·4n ＋13＝0，4n 2＋8n ＋3＝0，解得，n ＝－32(舍去)或n ＝－12，所以直线l 的方程是：x ＝－12y ＋4，即2x ＋y －8＝0.14.(2018·绍兴模拟)如图，已知函数y 2＝x 图象上三点C ，D ，E ，直线CD 经过点(1，0)，直线CE 经过点(2，0).(1)若|CD |＝10，求直线CD 的方程； (2)当△CDE 的面积最小时，求点C 的横坐标. 解 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 直线CD 的方程为：x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝x 得：y 2－my －1＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝m . (1)由题意，得|CD |＝1＋m 2×m 2＋4＝10，得m ＝±1， 故所求直线方程为x ＝±y ＋1，即x ±y －1＝0.(2)由(1)知y 2＝－1y 1，同理可得y 3＝－2y 1，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－2y 1，并不妨设y 1>0，则E 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2，S △CDE ＝121＋m 2×m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2＝12m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－1，而m ＝y 1＋y 2＝y 1－1y 1，所以S △CDE ＝12y 21＋1y 21＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 21＋1＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋1y 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 21＋1，得S △CDE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 1＋2y 31.考虑函数f (x )＝x ＋3x ＋2x3，令f ′(x )＝1－3x 2－6x 4＝x 4－3x 2－6x 4＝0，得x 2＝3＋332时f (x )有最小值， 即x 1＝y 21＝3＋332时，△CDE 的面积最小， 也即△CDE 的面积最小时，点C 的横坐标为3＋332. 15.(2018·湖州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，短轴长为2.直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，又l 与直线y ＝12x ，y ＝－12x 分别交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第二象限，且△OAB 的面积为2(O 为坐标原点).(1)求椭圆C 的方程；(2)求OM →·ON →的取值范围.解 (1)由于b ＝1且离心率e ＝22， ∴c a ＝a 2－1a ＝22，则a 2＝2， 因此椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立直线l 与直线y ＝12x ，可得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ， 联立直线l 与直线y ＝－12x ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k ， 又点A 在第一象限，点B 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 1－2k >0，－2m 1＋2k <0⎩⎪⎨⎪⎧m （1－2k ）>0，m （1＋2k ）>0， 化为m 2(1－4k 2)>0，而m 2≥0，∴1－4k 2>0.又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ＋2m 1＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－2k －m 1＋2k 2＝4|m |1－4k 21＋k 2， 原点O 到直线l 的距离为|m |1＋k 2，即△OAB 底边AB 上的高为|m |1＋k 2， ∴S △OAB ＝124|m |1＋k 21－4k 2·|m |1＋k 2＝2m 21－4k2＝2，∴m 2＝1－4k 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 代入椭圆方程，整理可得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2， Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝48k 2>0，则k 2>0，∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－2k 21＋2k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝81＋2k 2－7. ∵0<k 2<14，∴1＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴81＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫163，8，∴OM →·ON →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1. 故OM →·ON →的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1.。

全国高考数学专题汇编：解析几何一．选择题（共21小题）1．（2020•新课标Ⅰ）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．42．（2020•新课标Ⅰ）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A．B．3C．D．23．（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．4．（2020•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．325．（2020•新课标Ⅲ）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD ⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）6．（2019•新课标Ⅰ）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．7．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝18．（2019•新课标Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．89．（2019•新课标Ⅱ）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2D．10．（2019•新课标Ⅲ）已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．11．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣113．（2018•新课标Ⅲ）直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 14．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．215．（2017•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．16．（2017•新课标Ⅰ）设A，B是椭圆C：+＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）17．（2017•新课标Ⅱ）若a＞1，则双曲线﹣y2＝1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）18．（2017•新课标Ⅱ）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l 为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．319．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．20．（2016•新课标Ⅰ）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）22．（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．23．（2018•新课标Ⅰ）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝．24．（2017•新课标Ⅲ）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝．25．（2016•新课标Ⅰ）设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为．三．解答题（共15小题）26．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．27．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．28．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．29．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．30．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．31．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．32．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．33．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B 两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．34．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M （1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝，证明：2||＝||+||．35．（2017•新课标Ⅰ）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．36．（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．37．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．38．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p ＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．39．（2016•新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：+＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．40．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．参考答案一．选择题（共21小题）1．B；2．B；3．B；4．B；5．B；6．D；7．B；8．D；9．A；10．B；11．C；12．D；13．A；14．D；15．D；16．A；17．C；18．C；19．A；20．B；21．A；二．填空题（共4小题）22．（3，）；23．2；24．5；25．4π；三．解答题（共15小题）26．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．【解答】解：（1）由题设得，A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），则，，由得a2﹣1＝8，即a＝3，所以E的方程为．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t），若t≠0，设直线CD的方程为x＝my+n，由题可知，﹣3＜n＜3，由于直线P A的方程为，所以，同理可得，于是有3y1（x2﹣3）＝y2（x1+3）①．由于，所以，将其代入①式，消去x2﹣3，可得27y1y2＝﹣（x1+3）（x2+3），即②，联立得，（m2+9）y2+2mny+n2﹣9＝0，所以，，代入②式得（27+m2）（n2﹣9）﹣2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）＝0，解得n＝或﹣3（因为﹣3＜n＜3，所以舍﹣3），故直线CD的方程为，即直线CD过定点（，0）．若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，也过点（，0）．综上所述，直线CD过定点（，0）．27．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【解答】解：（1）由题意设抛物线C2的方程为：y2＝4cx，焦点坐标F为（c，0），因为AB⊥x轴，将x ＝c代入抛物线的方程可得y2＝4c2，所以|y|＝2c，所以弦长|CD|＝4c，将x＝c代入椭圆C1的方程可得y2＝b2（1﹣）＝，所以|y|＝，所以弦长|AB|＝，再由|CD|＝|AB|，可得4c＝，即3ac＝2b2＝2（a2﹣c2），整理可得2c2+3ac﹣2a2＝0，即2e2+3e﹣2＝0，e∈（0，1），所以解得e＝，所以C1的离心率为；（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：（±a，0），（0，±b），而抛物线的准线方程为：x＝﹣c，所以由题意可得2c+a+c+a﹣c＝12，即a+c＝6，而由（1）可得＝，所以解得：a＝4，c＝2，所以b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12，所以C1的标准方程为：+＝1，C2的标准方程为：y2＝8x．28．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．【解答】解：（1）由e＝得e2＝1﹣，即＝1﹣，∴m2＝，故C的方程是：+＝1；（2）代数方法：由（1）A（﹣5，0），设P（s，t），点Q（6，n），根据对称性，只需考虑n＞0的情况，此时﹣5＜s＜5，0＜t≤，∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1①，又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0②，又+＝1③，联立①②③得或，当时，则P（3，1），Q（6，2），而A（﹣5，0），则（法一）＝（8，1），＝（11，2），∴S△APQ＝＝|8×2﹣11×1|＝，同理可得当时，S△APQ＝，综上，△APQ的面积是．法二：∵P（3，1），Q（6，2），∴直线PQ的方程为：x﹣3y＝0，∴点A到直线PQ：x﹣3y＝0的距离d＝，而|PQ|＝，∴S△APQ＝••＝．数形结合方法：如图示：①当P点在y轴左侧时，过P点作PM⊥AB，直线x＝6和x轴交于N（6，0）点，易知△PMB≌△BQN，∴NB＝PM＝1，故y＝1时，+＝1，解得：x＝±3，（x＝3舍），故P（﹣3，1），易得BM＝8，QN＝8，故S△APQ＝S△AQN﹣S△APB﹣S△PBQ﹣S△BQN＝（11×8﹣10×1﹣（1+65）﹣1×8）＝，②当P点在y轴右侧时，同理可得x＝3，即P（3，1），BM＝2，NQ＝2，故S△APQ＝，综上，△APQ的面积是．29．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．【解答】解：∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上，∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d＝，又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，d2+（|AB|）2＝R2，即①又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②由①②解得或，∴⊙M的半径为2或6；（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，∴y2＝4x，∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．30．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【解答】解：（1）连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（+1）c，故曲线C的离心率e＝＝﹣1．（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当：|y|•2c＝16，•＝﹣1，+＝1，即c|y|＝16，①x2+y2＝c2，②+＝1，③由②③及a2＝b2+c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4，由②③得x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4，+∞）．31．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．【解答】（1）证明：设D（t，﹣），A（x1，y1），则，由于y′＝x，∴切线DA的斜率为x1，故，整理得：2tx1﹣2y1+1＝0．设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0．故直线AB的方程为2tx﹣2y+1＝0．∴直线AB过定点（0，）；（2）解：由（1）得直线AB的方程y＝tx+．由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．于是．设M为线段AB的中点，则M（t，），由于，而，与向量（1，t）平行，∴t+（t2﹣2）t＝0，解得t＝0或t＝±1．当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为．32．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x＝2，代入抛物线解得y＝±2，所以M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y＝x+1，或：y＝﹣x﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消x得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有k BN+k BM＝+＝＝＝0，所以直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．33．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B 两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝1，由|AB|＝x1+x2+p＝+2＝8，解得：k2＝1，则k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；方法二：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|＝＝＝8，解得：sin2θ＝，∴θ＝，则直线的斜率k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即y ＝﹣x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16或（x﹣11）2+（y+6）2＝144．34．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M （1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝，证明：2||＝||+||．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m将A，B代入椭圆C：+＝1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，∴k＝＝﹣＝﹣点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴k＝﹣．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2＝2∵++＝，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，∴x3＝1由椭圆的焦半径公式得则|F A|＝a﹣ex1＝2﹣x1，|FB|＝2﹣x2，|FP|＝2﹣x3＝．则|F A|+|FB|＝4﹣，∴|F A|+|FB|＝2|FP|，35．（2017•新课标Ⅰ）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y＝上两点，则直线AB的斜率为k＝＝（x1+x2）＝×4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y＝，可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，再由y＝的导数为y′＝x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM＝﹣1，即为•＝﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t＝7．则直线AB的方程为y＝x+7．36．（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足＝．可得（x﹣x0，y）＝（0，y0），可得x﹣x0＝0，y＝y0，即有x0＝x，y0＝，代入椭圆方程+y2＝1，可得+＝1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2＝2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•＝1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）＝1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+m sinα﹣2sin2α＝1，当α＝0时，上式不成立，则0＜α＜2π，解得m＝，即有Q（﹣3，），椭圆+y2＝1的左焦点F（﹣1，0），由•＝（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）＝3+3cosα﹣3（1+cosα）＝0．可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•＝1，可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）＝﹣3m﹣m2+nt﹣n2＝1，又P在圆x2+y2＝2上，可得m2+n2＝2，即有nt＝3+3m，又椭圆的左焦点F（﹣1，0），•＝（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）＝3+3m﹣nt＝3+3m﹣3﹣3m＝0，则⊥，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．37．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，可设A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得x1x2＝﹣2，若AC⊥BC，则k AC•k BC＝﹣1，即有•＝﹣1，即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾，故不出现AC⊥BC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，可得D＝m，F＝﹣2，圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），则由相交弦定理可得|OA|•|OB|＝|OC|•|OH|，即有2＝|OH|，再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，解得y＝1或﹣2．即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．38．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p ＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴＝，＝t，∴N（，t），∴ON的方程为y＝x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴＝＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH＝，∴直线MH的方程为y＝x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2＝0，∴△＝16t2﹣4×4t2＝0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．39．（2016•新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：+＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．【解答】解：（I）由椭圆E的方程：+＝1知，其左顶点A（﹣2，0），∵|AM|＝|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2＝12，整理得：7a2﹣12a＝0，∴a＝或a＝0（舍），∴S△AMN＝a×2a＝a2＝；（II）设直线l AM的方程为：y＝k（x+2），直线l AN的方程为：y＝﹣（x+2），由消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，∴x M﹣2＝﹣，∴x M＝2﹣＝，∴|AM|＝|x M﹣（﹣2）|＝•＝∵k＞0，∴|AN|＝＝，又∵2|AM|＝|AN|，∴＝，整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8＝0，设f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8，则f′（k）＝12k2﹣12k+3＝3（2k﹣1）2≥0，∴f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数，又f（）＝4×3﹣6×3+3﹣8＝15﹣26＝﹣＜0，f（2）＝4×8﹣6×4+3×2﹣8＝6＞0，∴＜k＜2．40．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP＝AF，BQ＝BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ＝90°，∴∠PFQ＝90°，∵R是PQ的中点，∴RF＝RP＝RQ，∴△P AR≌△F AR，∴∠P AR＝∠F AR，∠PRA＝∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ＝180°﹣∠QBF＝∠P AF＝2∠P AR，∴∠FQB＝∠P AR，∴∠PRA＝∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x＝﹣，S△PQF＝|PQ|＝|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF＝|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|＝1，∴x N＝1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得＝2（x1﹣x2），又＝，∴＝，即y2＝x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2＝x﹣1．。

高考解析几何题高考解析几何题的解题技巧与方法解析几何作为高中数学的重要组成部分，在高考数学试题中占有不可忽视的地位。

它主要研究图形的几何性质与代数表达式之间的联系，通过坐标系将几何问题转化为代数问题进行求解。

本文将从几个方面探讨高考解析几何题的解题技巧与方法，帮助考生在面对这类题目时能够更加得心应手。

一、掌握基本概念和公式解析几何的基本概念包括点、线、面的位置关系，以及圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的性质。

熟练掌握这些概念及其相关公式是解题的基础。

例如，直线的方程有一般式、点斜式、两点式等，每种形式都有其适用的场合。

圆的标准方程、椭圆的焦点性质等，都需要考生牢记于心。

二、培养图形的直观感知能力解析几何题目往往需要考生能够在脑海中构建出题目所描述的图形，并能够对图形进行操作和变换。

因此，培养良好的图形直观感知能力对于解题至关重要。

考生可以通过多做练习题、观察生活中的几何图形等方式来提高这方面的能力。

三、运用代数方法解决问题解析几何的特点就是将几何问题转化为代数问题。

因此，考生需要掌握如何通过代数运算来求解几何问题。

例如，通过联立方程组求交点，利用向量方法求解角度和距离，或者运用坐标变换简化问题等。

这些方法都需要考生在解题时灵活运用。

四、注意解题步骤的条理性在高考中，解析几何题目往往步骤较多，需要考生条理清晰地进行解题。

首先，要仔细审题，弄清楚题目的要求和所给条件；其次，要合理规划解题步骤，避免在解题过程中出现混乱；最后，要仔细检查，确保每一步的计算都是正确的。

五、总结常见题型和解题模板高考解析几何题目虽然千变万化，但总有规律可循。

考生可以通过总结历年高考题，找出常见的题型和解题模板。

例如，直线与圆的位置关系、动点轨迹问题、最值问题等，都有其特定的解题思路和方法。

掌握这些模板，可以帮助考生在面对新题目时能够迅速找到解题的切入点。

六、提高解题速度和准确性高考是一场与时间赛跑的考试，提高解题速度和准确性是提高分数的关键。

第9讲 巧用同构 知识与方法1.同构式指的是除了变量不同,其余均相同的代数式.如果实数,a b 满足()()0,,,0,f a a b f b ⎧=⎪⎨=⎪⎩是方程()0f x =的两个根.在解析几何中,变量,a b 常以点的坐标或斜率作为同构变量,便于构建坐标或斜率之间的关系,其几何形式是“一点双线”同构模型,“双线”往往是“双切线”或“双割线”,最典型的结构图是“阿基米德三角形”. 2.圆锥曲线的切点弦(1)定义:从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线,那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦. (2)切点弦方程:(1)设()00,P x y 为圆222x y r +=外一点,则切点弦方程为200x x y y r +=;(2)设()00,P x y 为椭圆22221x y a b +=外一点,则切点弦方程为00221x x y ya b +=;(3)设()00,P x y 为双曲线22221x y a b -=外一点,则切点弦方程为00221x x y ya b -=;(4)设()00,P x y 为抛物线22y px =外一点,则切点弦方程为()00y y p x x =+.典型例题【例1】如图,已知抛物线2:4C y x =,直线l 过点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭与抛物线C 交于第一象限内,A B 两点,设,OA OB 的斜率分别为12,k k .(1)求12k k +的取值范围;(2)若直线,OA OB 恰好与圆222:(1)(2)(0)Q x y r r -+-=>相切,求r 的值.【分析】(1)直线l 过定点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则可得点,A B 的横、纵坐标的乘积为定值,考虑将12k k +用,A B 的坐标来表示.(2)是“一点双线”的同构模型,可由切线性质d r =得以斜率k 为主元的同构方程.【解析】(1)设4:(0)5l x ty t =->,代人24y x =,得22166440,Δ16055y ty t -+==->,得t >设点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1212164,5y y t y y +==.()121212124445y y k k t y y y y ++=+==>所以12k k +的取值范围是()25,∞+. (2)由(1)知1212165k k y y ==,设过原点且与圆相切的直线为y kx =,r =,整理得()2221440r k k r --+-=.2122451r k k r -==-,得214r =,所以12r =. 【点睛】本题主要涉及直线与抛物线的位置关系,直线与圆相切的性质运用.在解决抛物线上两点连线的斜率时,用点的坐标差构建斜率是重要方法;对于双切线的同构模型,以斜率为同构变量是本题处理的自然方式.【例2】双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点,直线y =为C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程;(2)过点()0,4P 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点,交x 轴于点Q (点Q 与双曲线C 的顶点不重合).当12PQ QA QB λλ==,且1283λλ+=-时,求点Q 的坐标.【分析】【例】的核心条件是12PQ QA QB λλ==,变量12,λλ的“地位”是平等的,于是考虑将其坐标化,寻求变量12,λλ的同构方程.此外,从设线的视角,尝试以直线l 的斜率k 为主变元表示12,λλ及点Q 的坐标.【解析】(1)设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>.由题意得22844,ba b a+=-==,所以1,a b ==双曲线C 的方程为2213y x -=.(2)由题意知直线l 的斜率k 存在且不为零.设直线l 的方程为4y kx =+,则可求点4,0Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设点()()1122,,,A x y B x y .因为11144,,4,,PQ QA PQ QA x y k k λ⎛⎫⎛⎫==--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以111144,4.x kk y λλ⎧⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-=⎩所以1111411,4.x k y λλ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩因为点()11,A x y 在双曲线22:13y C x -=上,所以222116116113k λλ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 所以()222111616321603k k λλ-++-=. 同理可得()222221616321603k k λλ-++-=. 若2160k -=,则4,k l =±过双曲线的顶点,不合题意, 所以2160k -≠,所以12,λλ是一元二次方程()2221616321603k x x k -++-=的两个根, 因为122328163k λλ+==--,验知Δ0>,所以2k =±. 所以点Q 的坐标是()2,0±.【点睛】“设直联曲”是解决本题的基本方法.从几何形式看,同构形态不明显;从代数视角看,才可以发现以12,λλ为同构变量. 【例3】已知抛物线2y x =和()22:11C x y ++=，过抛物线上的一点()()000,1P x y y ,作C 的两条切线,与y 轴分别相交于,A B 两点.(1)若切线PB 过抛物线的焦点,求直线PB 的斜率;(2)求ABP 面积的最小值.【分析】对于(1),可设直线PB 的斜率为k ,运用切线性质求出PB 的斜率.对于(2),以坚线段AB 为底,P x 为高,考虑以两切线在y 轴上的截距12,m m 为同构变量,将ABPS表示为()0f x ,进而求最小值.【解析】(1)抛物线的焦点为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,设切线PB 的斜率为k .则切线PB 的方程为14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即104kx y k --=.点C 到切线PB1=,所以43k =±.因为点()()000,1P x y y ,所以43k =. (2)设切线方程为y kx m =+,由点P 在直线上得00y m k x -=(1)圆心到切线的距离21210m km =⇒--=(2)将(1)式代人(2)式得()2000220x m y m x +--=(3)设方程的两个根分别为12,m m . 由韦达定理得001212002,22y xm m m m x x +==-++, 从而12AB m m =-=所以)00112ABPSAB xx ==.记函数()()()22231(2)x x x f x x x +=+,则()()223211180(2)x x x f x x '++=>+,所以ABPS的最小值为23,当01x =时取得等号. 【点睛】本题的关键是以切线截距12,m m 为同构变量,将ABPS 表示为()0f x ,其中双切线是常见的同构模型.【例4】已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上,,P Q 是直线2y x =+ 上的两个不同的点,且线段,AP AQ 的中点,M N 都在抛物线上. (1)求0y 的取值范围;(2)若APQ 的面积等于求0y 的值.【分析】对于(1),设点()(),2,,2P a a Q b b ++,线段,AP AQ 的中点都在抛物线上,得到,a b 的同构方程,继而通过对应方程解得0y 的取值范围.对于(2),将APQ 的面积表示为同构变量,a b 的关系式.【解析】(1)设点()(),2,,2P a a Q b b ++.因为点200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则AP 的中点20042,82y a y a M ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,代人24y x =,得()2200042440a y a y y ---++=.同理可得()2200042440b y b y y ---++=.所以,a b 是方程()2200042440x y x y y ---++=的两个根, 所以()()22200000Δ424448320y y y y y =---++=->,解得04y >或00y <.(2)点A 到PQ的距离2d ==,由韦达定理可知,200042,44a b y ab y y +=-=-++,则PQ b =-==所以21122APQSPQ d =⋅=⋅=t =,则38240t t +-=,即()()222120t t t -++=,解得2t =,即20440y y --=,解得02y =±【点睛】已知两条线段的中点在曲线上,是得到同构方程的显性条件,利用所得同构方程的判别式得到变量的限制条件,运用韦达定理构建变量之间的关系.此类方法的运用值得关注.【例5】已知点()2,4P 和抛物线2y x =，动圆()()22:11C x y m m +-=＞ （1）若Q 是圆C 上任意一点,且4PQ 恒成立,求实数m 的取值范围;(2)如图,过点P 作圆C 的切线分别交抛物线于点,A B ,若直线AB 恰与圆C 相切,求实数m 的值.【分析】(1)PQ 的最值当且仅当,,P Q C 三点共线时取到.(2)由于直线AB 恰与圆C 相切,于是考虑以双切线的斜率表示点,A B 的坐标,进而得到直线AB 的方程;也可考虑设点()()22,,,A a a B b b 表示直线方程. 【解析】(1)由题意知,min ||114PQ PC =+=,得4545m -+.又1m >,故m的取值范围是4⎡⎣.(2)方法1设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,直线PA 的方程为()142y k x -=-,即11240k x y k --+=.直线PB 的方程为()242y k x -=-.由直线PA 与圆22:()1C x y m +-=相切,1=,整理得()22113448150k m k m m +-+-+=.同理可得()22223448150k m k m m +-+-+=.所以12,k k 是方程()223448150k m k m m +-+-+=的两个不同的根， 则()()2121244815,.*33m m m k k k k --++=-=又由点差法知,12,2PA P A A A k x x x x k =+=++=,即12A x k =-, 所以点()()2112,2A k k --. 同理可得点()()2222,2B k k --.直线AB 的方程为()A B A B y x x x x x =+⋅-,即()()()1212422y k k x k k =+----,即()()121212424y k k x k k k k =+--++-.将()*代人上式,整理得()241350m x y m ---+=. 由直线AB 与圆C 相切,1=,化简得3261720m mm +-+=,即()()22810m m m -+-=,解得2m =或4m =-±因为1m >,所以2m =.方法2设点()()22,,,A a a B b b ,则2422APa k a a -==+-.所以()()2:2AP y a a x a -=+-,即()220a x y a +--=. 因为圆C 与AP 相切,所以1d ==,整理得()2234450a m a m +-+-=.同理可得()2234450b m b m +-+-=.所以,a b 为方程()2234450x m x m +-+-=的两个根,则()2445,.*33m m a b ab --+== 从而()()222,:ABa b k a b AB y a a b x a a b-==+-=+--,即()y a b x ab =+-. 将()*代人上式,得2445:33m m AB y x --=+,即()244350m x y m --+-=. 又因为圆C 与AB 相切,所以1d ==,化简得3261720m m m +-+=,即()()22810m m m -+-=, 解得2m =或4m =-因为1m >,所以2m =.【点睛】运用设点法,得到关于,a b 的同构方程,能有效减少运算量.在抛物线中,运用点差法构建直线的斜率,进而表示直线方程,是解决抛物线问题的巧妙方法.【例6】如图，已知抛物线21C x y =：，P 是圆222y 21C x ++=：（）上任意一点，过点P 作两直线12,l l ,分别交抛物线1C 于点,,,A C B D ,使得13AB CD =.(1)当M 为CD 的中点时,证明://PM y 轴; (2)求PCD 面积的取值范围.【分析】(1)11//,33PA PB AB CD AB CD PC PD =⇔==,可建立(0P x ,)()()01122,,,,y C x y D x y 三点之间的坐标关系.(2)结合(1),运用PM “铅垂高”与“水平宽”乘积的一半表示PCD 面积. 【解析】(1)证明:设点()()()001122,,,,,P x y C x y D x y .由13AB CD =可得13PA PB PC PD ==,则点010*********,,,3333x x y y x x y y A B ++++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则211222101000101,232022,33x y x x x y x x x y y ⎧=⎪⇒-+-=⎨++⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎩. 同理有22202002320x x x y x -+-=. 则12,x x 是方程220002320x x x y x -+-=的两个根, 则1202x x x +=,即1202x x x +=. 即有//PM y 轴.(2)由(1)得212012002,32x x x x x y x +==-.222121200004422y y x x PM y y x y ++=-=-=-.则12x x -==.[]3322221200000153,3,12PCDSPM x x x y y y y =⋅-=-=++∈--.则PCD S ⎡∈⎢⎣⎦.【点睛】本题的难点在于条件13AB CD =的转译,既从几何角度得到13PA PB PC PD ==,也从坐标化角度寻找同构变量;PCD 的面积采用水平分割转化“底”与“高”,可大大减少计算量.【例7】如图，F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，抛物线在,A B 两点处的切线相交于点M . (1)求证:点M 在抛物线的准线上;(2)过抛物线上的点C 作拋物线的切线,分别交直线,AM BM 于点P ,Q ,求FPQ 面积的最小值.【分析】(1)弦AB 过点F ,可得4,1A B A B x x y y =-=,于是利用(1A x ,)()122,,y B x y 两点求出切线方程,解出交点M 的坐标.(2)将FPQ 面积表示为关于12,x x 的函数,12124,1x x y y =-=,求面积的最小值. 【解析】(1)方法1设点()()1122,,,A x y B x y ,则由2xy '=可知直线AM 的方程:21124x x y x =-.同理可得BM 的方程:22224x x y x =-.联立直线AM 与BM 的方程,解得点1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭.又2121214AB y y x x k x x -+==-，所以直线1212:44x x x x AB y x +=-过点()0,1F ,可知1214x x=-, 因此点M 在抛物线的准线上.方法2设点()11,A x y ,直线AM 的方程:()2114x y k x x -=-.()222112114,44044,x y x kx kx x y x k x x ⎧=⎪⇒-+-=⎨-=-⎪⎩, 所以()()222111Δ1644020k kx x k x =--=⇒-=,解得12x k =. 代人直线AM 的方程可得21124x x y x =-.设点()22,B x y ,同理可得直线BM 的方程:22224x x y x =-.可得点1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭.又设直线AB 的方程:221,1.4404,y k x y k x x k x x y =+⎧=+⇒--=⎨='''⎩. 因为12,x x 是上述方程的两个根,所以124x x =-, 可知1214x x =-,即点12,12x x M +⎛⎫- ⎪⎝⎭. 因此点M 在抛物线的准线上.(2)设点()33,C x y ,则直线PQ 的方程:23324x x y x =-,则点F 到直线PQ的距离231x d +==,同(1)中的解法可得点13132323,,,2424x x x x x x x x P Q ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以PQ ==, 所以212123112444FPQx x x x x Sd PQ --⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,当1232,2,0x x x =-==时取得等号.【点睛】本题的基本结构是“一点两线”所围成的阿基米德三角形,常用方法是选择两个切点坐标或切线斜率作为同构变量,从而将面积表示为坐标或斜率的函数关系,其关键是紧扣,A B 的坐标关系.【例8】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在抛物线C 上. （1）设AB 的中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点,求PAB 面积的取值范围.【分析】(1)先设点()21002,,,4y P x y A y ⎛⎫⎪⎝⎭,将,PA PB 的中点代入抛物线的方程,得到12,x x 的同构方程,探寻M P y y =.(2)由(1)知,将PAB 面积以PM 为水平线进行分割,即将面积表示为()02112M S x x y y =-⋅-,进而以0x 限制PAB 面积的取值范围.【解析】（1）设点()22120012,,,,,44y y P x y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AP 的中点为20011,282x y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 由AP 的中点在抛物线上,可得2201014228y y x y ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得2210100280y y y x y -+-=.显然21y y ≠,且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=. 所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两个不等实根, 所以1212002,2M P y y y y y y y y ++====,即PM 垂直于x 轴. (2)()()()120121122PABM P M M M Sx x y y y y x x y y =--+-=--, 由(1)可得212012002,8y y y y y x y +==-,()()()()2220000012Δ248840y x y y x y y =--=->≠,此时点()00,P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上,所以()()()222000000Δ848414321y x x x x x ⎡⎤=-=--=--⎣⎦, 因为010x -<,所以Δ0>,所以12y y a-===,()()()()22222000121212000220042828886443318M P y x y y y y y y y x x x x x xxx x --+-+-=-=-=--=-=--所以()2301200112PABM Sx x y y x x =--=--=,因为t ⎡=⎢⎣⎦,所以3S ⎡=∈⎢⎣⎦,即PAB 面积的取值范围是⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题从代数的视角,利用割线段的中点在拋物线上,得到以12,y y 为变量的同构方程.这是同构问题的常用处理方式;通过同构方程建立多点之间的坐标关系,在面积函数的整体消元中起到关键作用,因此,同构法是本题的破题核心.。

专题六解析几何第一讲直线和圆——小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝12√A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝00√A2+B2.保分题1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．13B．－13C．3 D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0提分题例1 [2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0听课笔记：技法领悟1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．巩固训练1[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(−D2，−E2)为圆心，√D2+E2−4F2为半径的圆．2．直线与圆的位置关系22222切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝√|PC|2−r2(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2√r2−d2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，(1)(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．保分题1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是()A．2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．提分题例2 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．听课笔记：【技法领悟】1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．巩固训练21.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗ 的值为()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为()A．√33B．√22C．±√33D．±√22微专题3有关圆的最值问题常考常用结论1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如μ＝y−bx−a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A 到圆上距离最近为|AO |－r ，最远为|AO |＋r ； (2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d ＋r ，最小为d －r ； (4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积． (5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离． 4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．保分题1.圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为( )A ．2√7B ．2√2C ．4√3D ．22．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y ＝2x ＋1上的点作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，则切线长的最小值为( )A ．2B ．√3C ．1D ．√53．[2022·辽宁辽阳二模]若点P ，Q 分别为圆C ：x 2＋y 2＝1与圆D ：(x －7)2＋y 2＝4上一点，则|PQ |的最小值为________．提分题例3 (1)[2022·广东汕头一模]点G 在圆(x ＋2)2＋y 2＝2上运动，直线x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则△MNG 面积的最大值是( )A ．10B ．232 C ．92D ．212(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0，则下列说法正确的是( )A ．yx 的最大值为43 B ．y x 的最小值为0C ．x 2＋y 2的最大值为√5＋1D．x＋y的最大值为3＋√2听课笔记：技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．巩固训练31.[2022·北京昌平二模]已知直线l：ax－y＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为()A．1 B．√2C．2 D．2√22．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M为圆C：(x＋1)2＋y2＝2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是()A．直线l与圆C相切B．直线l与圆C相离C．|PM|的最大值为3√22D．|PM|的最小值为√22专题六解析几何第一讲 直线和圆微专题1 直线的方程及应用保分题1．解析：∵l 1⊥l 2，∴13·(－1a )＝－1⇒a ＝13. 答案：A2．解析：若l 1∥l 2，则有－a 2＋4＝0，解得a ＝±2，当a ＝2时，l 1：2x －4y －3＝0，l 2：x －2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 当a ＝－2时，l 1：2x ＋4y ＋3＝0，l 2：x ＋2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 所以若l 1∥l 2，a ＝±2，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 答案：A3．解析：由{x −y =0x +y =2，得x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v ＝(3，2)，所以所求直线方程为y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 答案：C提分题[例1] 解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， ∵点A (－2，2)，B (4，－2)到直线的距离相等， ∴√k 2+1＝√k 2+1，解得k ＝－23，或k ＝2，当k ＝－23时，直线l 的方程为y －4＝－23(x －3)，整理得2x ＋3y －18＝0， 当k ＝2时，直线l 的方程为y －4＝2(x －3)，整理得2x －y －2＝0.综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：BC [巩固训练1]解析：设△ABC 的重心为G ，垂心为H ， 由重心坐标公式得x ＝0+2+(−4)3＝－23，y ＝0+4+03＝43，所以G (－23，43)．由题，△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x ＝0，直线BC ：y ＝x ＋4，A (2，0)，所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y ＝－x ＋2， 所以{x =0y =−x +2⇒H (0，2)，所以欧拉线GH 的方程为y －2＝2−430−(−23)x ，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：由题得直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y ＝2x ＋b ，∴2x －y ＋b ＝0. 因为所求直线与圆相切，所以1＝√4+1，∴b ＝±√5.所以所求的直线方程为2x －y ＋√5＝0或2x －y －√5＝0. 答案：C2．解析：因为直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以直线2x ＋y －1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a ，0)，所以2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.答案：A3．解析：由x 2＋y 2－4x ＋2ky ＋2k ＝0，得(x －2)2＋(y ＋k )2＝k 2－2k ＋4＝(k －1)2＋3， 当k ＝1时，(k －1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为√3. 因为|CD |＝√22+(−1)2＝√5，√3－1<√5<√3＋1，所以两圆相交． 答案：相交提分题[例2] 解析：(1)因为k AB ＝a−32，所以直线AB 关于直线y ＝a 对称的直线方程为(3－a )x－2y ＋2a ＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以√4+(3−a )2≤1，整理，得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32.(2) 解析：由C 1：x 2＋y 2＝1和C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝1可得公共弦所在直线方程为x 2＋y 2－[(x −a )2+(y −b )2]＝0，即2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，由公共弦AB 的长为1可得直线2ax ＋2by －a 2－b 2＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交弦长即为1，又圆心到直线的距离22√4a 2+4b 2＝√a 2+b 22，故2√1−(√a 2+b 22)2＝1，即a 2＋b 2＝3，故直线a 2x＋2b 2y ＋3＝0，可化为a 2x ＋(6－2a 2)y ＋3＝0，整理得a 2(x －2y )＋6y ＋3＝0，由{x −2y =06y +3=0，解得{x =−1y =−12，故定点M 的坐标为(−1，−12).答案：(1)[13，32] (2)(−1，−12)[巩固训练2]1．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为C (3，0)，半径为3，即|CP ⃗⃗⃗⃗ |＝3， 由圆的几何性质可知AP ⊥CP ，所以，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ 2＝−|CP ⃗⃗⃗⃗ |2＝－9. 答案：B2．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为C (3，0)，半径为2， 由题意可知，圆心C 到直线l 的距离为d ＝2sin π3＝√3， 由点到直线的距离公式可得d ＝√k 2+1＝√3，解得k ＝±√22.答案：D微专题3 有关圆的最值问题保分题1．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝32， 故圆心为(－1，0)，半径为r ＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＋2x －8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为√(−1)2+(−1)2＝√2，根据圆的几何性质可知，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为2√32−(√2)2＝2√7.答案：A2．解析：直线y ＝2x ＋1上任取一点P (x 0，y 0)作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，设切点为A ，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2，0)，r ＝1， 切线长为√|PC|2−r 2＝√|PC|2−1， |PC |min ＝√22+(−1)2＝√5，所以切线长的最小值为√(√5)2−1＝2. 答案：A3．解析：因为|CD |＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ |的最小值为7－1－2＝4. 答案：4提分题[例3] 解析：(1)易知点M (3，0)、N (0，－3)，则|MN |＝√32+32＝3√2， 圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为√2， 圆心到直线x －y －3＝0的距离为√2＝5√22， 所以，点G 到直线x －y －3＝0的距离的最大值为5√22+√2＝7√22， 所以，△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22＝212. (2)由实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可得点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，作其图象如下，因为y x 表示点(x ，y )与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB 方程为y ＝kx ，则圆心(2，1)到直线OB 的距离d ＝√k 2+1＝1，解得：k ＝0或k ＝43， ∴y x ∈[0，43]，∴(y x )max ＝43，(yx )min ＝0，A ，B 正确；x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的最大值为|OC |＋1，所以x 2＋y 2的最大值为(|OC |＋1)2，又|OC |＝√22+12，所以x 2＋y 2的最大值为6＋2√5，C 错，因为x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故可设x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以x ＋y ＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋√2sin (θ＋π4)，所以当θ＝π4时，即x ＝2＋√22，y ＝1＋√22时x ＋y 取最大值，最大值为3＋√2，D 对． 答案：(1)D (2)ABD[巩固训练3]1．解析：因为直线l ：ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，r ＝2，所以△ABC 的面积的最大值为： S ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝12r 2sin ∠ACB ≤12r 2＝12×4＝2. 答案：C2．解析：圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心C (－1，0)，半径r ＝√2， ∵圆心C (－1，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝√12+(−1)2＝3√22>r ， ∴直线l 与圆C 相离，A 不正确，B 正确；|PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝√22，C 不正确，D 正确．答案：BD。

平面解析几何一、高考预测解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用． 二、知识导学 (一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+by ax；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1. (三)圆的有关问题 1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+.2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为FE D r 42122-+=.当FED422-+=0时，方程表示一个点（2D-，2E-）；当FED422-+＜0时，方程不表示任何图形.3.圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：222ryx=+⇔cossinx ry rθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）222)()(rbyax=-+-⇔cossinx a ry b rθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）(五)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+byax（a＞b＞0）.⑴范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=a±和y=b±所围成的矩形里.⑵对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点：有四个1A（-a，0）、2A（a，0）1B（0，-b）、2B（0，b）.线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace=叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ace=（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+by ax（a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程(六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b ya x（a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b=；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+b ya x与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b ya x和12222=-b xay（a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-b yax的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-by a x的渐近线方程为xab y ±=或表示为02222=-by ax.若已知双曲线的渐近线方程是xnm y ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k yn x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c ax 2-=和c ax 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有a ce =与222b ac +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.(九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。