河北省邯郸市大名县第一中学2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（普通班，含解析）一、单选题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1.化225-o弧度为（ ）A.34π B. 54π-C.54π D. 34π-【答案】B 【解析】 【分析】利用180π=o ，454π=o，易得42255π--=o. 【详解】因为180π=o ，所以454π=o，所以225(18045)(44)5πππ-=-+=-+=-ooo. 故选B.【点睛】本题考查角度制与弧度制的互化，注意角的正负与旋转方向的关系，考查基本运算能力.2.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项. 【详解】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，则tan 0α<，cos 0α<， 所以sin tan cos 0ααα=>， 则可知角α的终边在第二象限. 故选B.【点睛】本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下： 第一象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x >>>； 第二象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x ><<； 第三象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x <<>； 第四象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x <><. 3.与30︒角终边相同的角的集合是（ ） A. |360,}6k k παα︒=⋅+∈ZB. {}|230,k k ααπ=+︒∈ZC.{}|236030,k k αα︒︒=⋅+∈ZD. |2,6k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D 【解析】 【分析】根据终边相同的角的表示进行判断，注意单位制统一.【详解】与30︒角终边相同的角表示为36030,k k α=⋅︒+︒∈Z ，化为弧度制为2,6k k παπ=+∈Z .故选D.【点睛】若α与β的终边相同，则2,k k Z αβπ=+∈或者360,k k Z αβ=+︒∈，同时要注意角的单位的统一.4.a 终边落在2y x =上，则sin a 等于（）C. 5±D. 5±【解析】 【分析】根据三角函数定义进行求解即可【详解】因为a 终边落在2y x =上，2y x =过第一和第三象限，可取终边上的点1P ()1,2和2P ()1,2--12=OP OP r ==，根据sin =y a r ，可求得sin =a 答案选D【点睛】本题考查a 终边落在某一直线时，对应三角函数值的求解，需注意直线为正比例函数时，过两个象限，要防止漏解 5.设函数()sin(2)2f x x π=-，x ∈R ，则()f x 是（ ）A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式，化简得函数f （x ）=sin （2π﹣2x ）=cos2x ，由此结合余弦函数的奇偶性和三角函数的周期公式进行计算，即可得到本题答案． 【详解】解：∵sin （2π﹣α）=cosα，∴函数f （x ）=sin （2π﹣2x ）=cos2x ， 可知f （x ）是偶函数，最小正周期T=22π=π故选B.【点睛】本题考查诱导公式，三角函数的周期性与奇偶性，属于基础题． 6.方程3log 30x x +-=的解所在的区间是（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】C 【解析】令()3f x log 3x x =+-由零点存在性定理得, ()()f 20,f 30故函数零点所在区间为(2,3)即为方程解所在区间. 【详解】解：令()3f x log 3,x x =+- ,()332log 223log 210f =+-=-< ,()33log 33310f =+-=>由零点存在性定理知函数零点所在区间为(2,3)，即方程3log 3x x +=的解所在的区间是（2，3）.故选C ．【点睛】本题考查函数零点存在性定理，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，属于基础题. 7.下列关系式中正确的是（ ） A. sin11cos10sin168︒<︒<︒ B. sin168sin11cos10︒<︒<︒ C. sin11sin168cos10︒<︒<︒ D. sin168cos10sin11︒<︒<︒【答案】C 【解析】 【分析】要比较大小，可考虑将三角函数化为同名、同一单调区间上的三角函数再进行比较. 【详解】cos100sin 80,sin168sin12==oooo，函数sin y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以sin11sin12sin80︒<︒<︒， 即sin11sin168cos10︒<︒<︒. 故选C【点睛】本题考查三角函数的单调性和诱导公式，属于基础题.8.若ABC V 的内角A 满足1sin cos 8A A =-，则cos sin A A -的值为（ ）A. B. ±C. D. ±【答案】C 【解析】将所求式子平方后，利用完全平方公式展开，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将sin cos A A 的值代入，开方即可求出解．【详解】解：1sin cos 08A A =-<Q ，(0,)A π∈ cos 0,sin 0A A ∴<>，即cos sin 0A A -<，222(cos sin )cos 2sin cos sin 121584A A A A A A ∴-=-+=-⨯⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos si 2n A A -=-， 故选：C.【点睛】此题考查同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．9.已知函数()f x 满足：①对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-；②对定义域内的任意x ，都有()()0f x f x --=，则符合上述条件的函数是（ ） A. ()21f x x x =++B. x1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()ln 1f x x =+D. ()cos f x x =【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性以及函数的奇偶性逐一判断即可．【详解】解：由题意得：()f x 是偶函数，在(0,)+∞上单调递减，对于A ，()()f x f x -=，是偶函数，且0x >时，2()1f x x x =++，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意；对于B ，()()f x f x -=，是偶函数，且0x >时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在(0,)+∞上单调递减，符合题意；对于C ，由10x +=，解得：1x ≠-，定义域不关于原点对称，故函数()f x 不是偶函数，不合题意；对于D ，函数()f x 在(0,)+∞上不是单调函数，不合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．10.已知()f x 是定义在()0,3上的函数，()f x 的图像如图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是（ ）A. ()()0,12,3UB. (0,1),32π⎛⎫⋃⎪⎝⎭C. 1,,322ππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. (0,1)(1,3)U【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象可得，()f x 小于0时，x 大于0小于1；()f x 大于0时，x 大于1小于3，；且根据余弦函数图象可知，cos x 大于0时，x 大于0小于2π；当cos x 小于0时，x 大于2π小于3，则把所求的式子转化为()f x 与cos x 异号的问题，即可求出不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知：当()0f x <时，01x <<；当()0f x >时，13x <<；而cos x 中的(0,3)x ∈，当cos 0x >时，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当cos 0x <时，,32x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()cos 0f x x <，可化为：()0cos 0f x x >⎧⎨<⎩或()0cos 0f x x <⎧⎨>⎩即1332x x π<<⎧⎪⎨<<⎪⎩或0102x x π<<⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得：32x π<<或01x <<，所以所求不等式的解集为：(0,1),32π⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭， 故选：B ．【点睛】此题以函数的图象及单调性为平台，考查了其他不等式，如三角不等式的解法，是一道综合题．11.函数2()2(1)2f x ax a x =+-+在区间(,4)-∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ）A. 105a <≤ B. 105a ≤≤C. 105a ≤<D. 15a >【答案】B 【解析】 【分析】根据a 取值讨论是否为二次函数，然后根据二次函数的性质建立不等关系，最后将符合条件的结果求并集．【详解】解：当0a =时，()22f x x =-+，符合题意当0a ≠时，要使函数2()2(1)2f x ax a x =+-+在区间(,4)-∞上为减函数10154a a a a>⎧⎪∴⇒<≤-⎨≥⎪⎩综上所述105a ≤≤ 故选：B ．【点睛】本题主要考查了已知函数在某区间上的单调性求参数a 的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题． 12.给出以下命题：①若,αβ均为第一象限角，且αβ>，且sin sin αβ>； ②若函数2cos()3y ax π=-的最小正周期是4π，则12a =； ③函数2sin sin sin 1x xy x -=-是奇函数；④函数1sin 2y x =-的周期是π； ⑤函数sin sin y x x =+的值域是[0，2] 其中正确命题的个数为（ ） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数周期公式，奇偶性以及图像即可得出结果. 【详解】解: ①若,αβ均为第一象限角，且αβ>，如46παπ=+，23πβπ=+，但是sin sin αβ< ，因此不正确.②若函数2cos 3y ax π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的最小正周期是4π，则24a ππ=，解得12a =±因此不正确. ③由函数2sin sin sin 1x xy x -=-，可知sin 10x -≠，而由sin 1x ≠，得到()22x k k Z ππ≠+∈可知此函数的定义域关于原点不对称,因此不是奇函数,故不正确; ④若函数1sin 2y x =-的周期是π，由周期定义知()()()111sin sin sin 222f x x x x f x ππ+=+-=--=+≠ ，故函数1sin 2y x =-的周期不是π，故不正确.⑤sin sin y x x =+=2sin ,00,0x x x ≥⎧⎨<⎩,当0x ≥时，[]sin 1,1x ∈-，可知函数的值域为[]22-,故不正确;综上可知:①②③④⑤都不正确. 故选D ．【点睛】本题主要掌握三角函数的图像及性质，会判断函数的周期性，属于基础题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.sin 480tan 300+o o的值为_______．【答案】﹣【解析】【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于sin60°﹣tan60°，为可求值的特殊角，进而可得答案． 【详解】解：由诱导公式可得： sin 480°+tan 300°= sin（ 360°+120°）+tan （ 360°﹣60°）= sin120°﹣tan60°= sin60°﹣tan60°22==-故答案为; . 【点睛】本题考查诱导公式的应用，熟记公式是解决问题的关键，属基础题． 14.已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在x θ=处取得最大值，则(2)(4)f f θθ-=________.【解析】 【分析】 由题意可得2,32k k Z ππωπθ+=+∈，代入(2)(4)f f θθ-即可得到结果．【详解】∵函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在x θ=处取得最大值， ∴2,32k k Z ππωπθ+=+∈即2,6k kZ πωπθ=+∈，∴(2)(4)sin 2sin 433f f ππθθωθωθ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2sin 4sin 803k k ππππ⎛⎫+-+=⎪== ⎝⎭，【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换，考查学生的运算能力，属于基础题． 15.函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 【答案】[0,8) 【解析】 【分析】由x ≥0求出3﹣x 的范围，根据指数函数y=2x的单调性，求出函数y=8﹣22﹣x的值域．【详解】因为x ≥0，所以3－x ≤3， 所以0＜23－x ≤23＝8，所以0≤8－23－x <8， 所以函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)． 故答案为[0,8)【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用，考查整体思想，属于基础题． 16.若2πθπ<≤，且sin 1m θ=-，cos 2m θ=-，则实数m 的值是__________．【答案】1. 【解析】 【分析】 现根据2πθπ<≤，求出12m ≤<，再利用平方关系，即可求解．【详解】解：因为2πθπ<≤，所以0sin 11cos 0θθ≤<⎧⎨-≤<⎩ 即011120m m ≤-<⎧⎨-≤-<⎩解得：12m ≤< ，又2222sin cos (1)(2)=1m m θθ+=-+- 整理得：2264=0m m -+ 即(24)(1)0m m --= 解得：1m =或2（舍去） ． 故答案为1【点睛】本题考查，正弦、余弦函数的单调性以及同角三角函数的平方关系，属于基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知1tan 2α=， （1）求sin α，cos α值（2）求2212sin()cos(2)5sin ()sin 2a a a a πππ+---⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2）3- 【解析】 【分析】 （1）根据tan α12sin cos αα==，以及 sin 2α+cos 2α＝1，求得sin α、cos α的值； （2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tan α，即可求出式子的值． 【详解】（1）tan α12sin cos αα==，sin 2α+cos 2α＝1， ∴sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）2212sin()cos(2)5sin ()sin 2παπαπαα+---⎛⎫--- ⎪⎝⎭2212sin cos(2)(sin )sin 2απαπαα++=⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 2212sin cos sin cos αααα+=-2222sin cos 2sin cos sin cos αααααα++=- 2(sin cos )(sin cos )(sin cos )αααααα+=+-sin cos 1tan sin cos tan 1αααααα++==--. ∵1tan 2α=， ∴原式1123112+==--. 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系与诱导公式的应用问题，考查了转化思想，考查了学生的运算能力，属于基础题．18.已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,)A ωφπ>><的一段图像如图所示.（1）求此函数的解析式；（2）求此函数在(2,2)ππ-上的单调递增区间. 【答案】（1）3384y sin x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）(]2,6π--和[)2,2π. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的图象求出A ，ω，φ，即可确定函数的解析式； （2）根据函数的表达式，即可求函数f （x ）的单调递增区间； 【详解】（1）由函数的图象可知A 3=，()6282T=--=， ∴周期T ＝16， ∵T 2πω==16，∴ω2168ππ==， ∴y ＝3（8πx +φ），∵函数的图象经过（2，﹣3）， ∴28π⨯+φ＝2k π2π-， 即φ324k ππ=-， 又|φ|＜π， ∴φ34π=-； ∴函数的解析式为：y ＝3（8πx 34π-）． （2）由已知得3222842k x k ππππππ-≤-≤+，得16k +2≤x ≤16k +10，即函数的单调递增区间为[16k +2，16k +10]，k ∈Z ． 当k ＝﹣1时，为[﹣14，﹣6]， 当k ＝0时，为[2，10]， ∵x ∈（﹣2π，2π），∴函数在（﹣2π，2π）上的递增区间为（﹣2π，﹣6）和[2，2π）．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质． 19.已知函数()()2251f x x ax a =-+>．（1）若()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数a 的值；（2）若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，且对任意的[]1,1x a ∈+，都有()0f x ≤，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2a =（2）3a ≥ 【解析】试题分析：（1）由对称轴与定义区间位置关系确定最值取法，得方程组，解得实数a 的值；（2）由二次函数单调性得a≥2，再根据二次函数图像转化不等式恒成立条件，解对应不等式可得实数a 的取值范围．试题解析：解：（1）∵f（x ）=（x ﹣a ）2+5﹣a 2（a ＞1）， ∴f（x ）在[1，a]上是减函数， 又定义域和值域均为[1，a]， ∴，即，解得 a=2．（2）∵f（x ）在区间（﹣∞，2]上是减函数， ∴a≥2，又∵对任意的x∈[1，a+1]，总有f （x ）≤0， ∴，即解得：a≥3， 综上所述，a≥320.设函数3()sin()(0)4f x xπωωπ=->的最小正周期为（1）求ω；（2）若324()2825fαπ+=，且(,)22ππα∈-，求tanα的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）．（1）列表x 0y －1 1（2）描点，连线【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【详解】试题分析：（1）由正弦函数周期公式得，2Tπω==π，即可求得ω；（2）将328απ+代入()f x的解析式，得到关于α的方程，结合诱导公式即可求出sinα，再利用平方关系结合α的范围，求出cosα，再利用商关系求出tanα；（3）先由x为0和π算出324xπ-分别等于34π-，54π，在（34π-，54π）分别令324xπ-取2π-，0，2π，π求出相应的x值和y值，在给定的坐标系中描出(,)x y点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1）Q函数3()sin()(0)4f x xπωωπ=->的最小正周期为，2ππω∴= 2.ω∴=2分（2）由（1）知3()sin(2)4f x xπ=-由324()2825fαπ+=得：24sin25α=， 4分∵22ππα-<<∴7cos25α=6分∴24tan7α=． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知3()sin(2)4f x xπ=-，于是有（1）列表x 0 πy －1 0 1 011分（2）描点，连线函数()[0,]y f xπ=在区间上图像如下14分考点：正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图21.已知函数()2sin(0,0)6f x wx wπφφ⎛⎫=+-<⎪⎝⎭为偶函数，且函数()y f x=图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数6y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称轴方程； （3）当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f x m =有两个不同的实根，求m 的取值范围．【答案】,26k x k Z ππ=-∈ ;(3) 2m -<≤【解析】 【分析】（1）根据题意求出φ、ω的值，写出f （x ）的解析式，计算8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）由f （x ）写出函数6y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的解析式，求出对称轴方程；（3）若f （x ）=m 有两个不同的实根，则函数y=f （x ）与y=m 有两个不同的交点，令t=2x,70,6t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,则72cos ,0,6y t t π⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦的图像与y m =有两个不同交点即可求结果. 【详解】解：（1）()26f x sin x πωφ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则φ﹣6π=2π+kπ（k∈Z）， 解得φ=23π+kπ（k∈Z）， 又因为0＜φ＜π，所以φ=23π， 所以()22f x sin x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=2cosωx； 由题意得2πω=2•2π，所以ω=2； 故f （x ）=2cos 2x ，因此8f π⎛⎫⎪⎝⎭=2cos 4π （2）由f （x ）=2cos 2x ，得6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=223cos x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 所以，23x k k Z ππ+=∈，，即26k x k Z ππ=-∈，， 所以函数6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程为26k x k Z ππ=-∈，； （3）若f （x ）=m 有两个不同的实根，则函数y=f （x ）与y=m 有两个不同的交点，函数y=f （x ）=2cos 2x ，令t=2x,70,6t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ,则72cos ,0,6y t t π⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦的图像与y m =有两个不同交点，由图像知2m -<≤即m 的取值范围是2m -<≤【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题以及方程与函数，是综合题．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断()f x 的单调性并用定义证明； （3）已知不等式3(log )(1)04mf f +->恒成立, 求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =； （2）()f x 是减函数，证明见解析； （3）()30,1,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义域若存在x=0，则f （0）=0，求解参数a 的值；（2）结合y=2x 的性质，通过证明任意12x x <，有()()12f x f x >，证明函数是减函数； （3）根据函数的奇偶性，将不等式()3log 104mf f ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立转化为不等式()3log 14m f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，再结合函数的单调性求解3log 14m <.【详解】（1）()f x Q 是R 上的奇函数,()00f ∴=，()10011af -+==+ 得1a = （2）()f x 是减函数，证明如下： 设12,x x 是R 上任意两个实数，且12x x <，()()12121221212121x x x x f x f x -+-+-=-++ ()()()()()()211212211221122121x x x x x x +--+-=++ ()()()21122222121x x x x -=++12x x <Q 2122x x ∴>，即21220x x ->， Q 1210x +>，2210x +>()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，()f x ∴在R 上是减函数（3）Q 不等式()3log 104mf f ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立，()3log 14m f f ⎛⎫∴>-- ⎪⎝⎭()f x Q 是奇函数()()11f f ∴--=，即不等式()3log 14m f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立 又Q ()f x 在R 上是减函数，∴不等式3log 14m <恒成立 当01m <<时，得34m < 304m ∴<< 当1m >时，得34m >1m ∴> 综上，实数m 的取值范围是()30,1,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了不等式恒成立问题，考查了应用对数函数单调性解与对数有关的不等式，涉及了指数函数与对数函数的图象与性质，体现了转化思想在解题中的运用 .。
