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天一大联考
2020－2021学年高三年级上学期期末考试
理科数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{x|2x1
x3
+
-
≤1}，B＝{x|3x≥
1
3
}，则A∩B＝
A.[－1，3)
B.[－1，3]
C.[－4，－1]
D.[－4，3)
2.若z＋2z＝3－i，则|z|＝
A.1
B.2
C.3
D.2
3.已知(x2＋1
x
)n(n∈N*)的展开式中有常数项，则n的值可能是
A.5
B.6
C.7
D.8
4.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔。塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为
3233
5.已知11a b >>0，则下列不等式：①b a >1；②|a|>|b|；③a 3>b 3；④(12)a >(12
)b 。其中正确的是 A.①② B.③④ C.②③ D.①④
6.从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为 A.114 B.37 C.47 D.34
7.已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，点A ，B 是曲线y ＝f(x)相邻的两个对称中心，点C 是f(x)的一个最值点，若△ABC 的面积为1，则ω＝
A.1
B.2
π C.2 D.π 8.已知函数f(x)＝e x ＋e －x ＋cosx ，则不等式f(2m)>f(m －2)的解集为
A.(－∞，－2)∪(23，＋∞)
B.(－∞，－23)∪(2，＋∞)
C.(－2，23)
D.(－23
，2) 9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，且(sinA ＋sinB)2＋cos 2C ＝1＋sinAsinB ，则cosB ＝ A.1314 B.1114 C.12 D.－12
10.已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且AB ＝AC ＝
BC ＝
，P 为球面上的动点，则三棱锥P －ABC 体积的最大值为
11.已知点A 在直线3x ＋y －6＝0上运动，点B 在直线x －3y ＋8＝0上运动，以线段AB 为直径的圆C 与x 轴相切，则圆C 面积的最小值为 A.4
π B.32π C.94π D.52π 12.已知α，β∈(0，2π)，且满足sin α－cos α＝
12，cosβ－sinβ＝12，则sin(α＋β)＝ A.1 B.
－2或1 C.－34
或1 D.1或－1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.平面向量a ＝(2，2)，b ＝(－1，3)，若(a －b)⊥(λa ＋b)，则λ＝ 。
14.若实数x ，y 满足约束条件x 2y 302x y 30x y 30-+≥??--≤??+-≥?，则y x x y +的取值范围是 。
15.若函数f(x)＝|e x －a|－1有两个零点，则实数a 的取值范围是
。
16.设P 为双曲线C ：2
2
x －y 2＝1上的一个动点，点P 到C 的两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，则3d 1＋d 2的最小值为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分
17.(12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且
n n S a 和n 2a 的等差中项为1。 (I)求数列{a n }的通项公式；
(II)设b n ＝log 4a n ＋1，求数列n n 1b b 1???
?+??的前n 项和T n 。 18.(12分)
如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为平行四边形，AD ＝3，AB ＝5，cos ∠BAD ＝35
，BD ＝DD 1，E 是CC 1的中点。
(I)求证：平面DBE ⊥平面ADD 1；
(II)求直线AD 1和平面BDE 所成角的正弦值。
19.(12分)
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 只能是1，2，3，…，24这24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的。
(I)当输入x ＝12和x ＝20时，求输出y 的值；
(II)求输出的y 值的分布列；
(III)某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出y 的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由。
20.(12分)
已知椭圆C 16(0，2)，曲线C 2上任一点到点(94，0)和到直线x ＝－94
的距离相等。 (I)求椭圆C 1和曲线C 2的标准方程；
(II)点P 为C 1和C 2的一个交点，过P 作直线l 交C 2于点Q ，交C 1于点R ，且Q ，R ，P 互不重合，若PQ RP =，求直线l 与x 轴的交点坐标。
21.(12分)
已知函数f(x)＝ln(x ＋1)＋a ，g(x)＝e x －a ，a ∈R 。
(I)若a ＝0，曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线也是曲线y ＝g(x)的切线，证明：ln(x 0＋1)＝00
x 1x +。 (II)若g(x)－f(x)≥1，求a 的取值范围。
(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为4x 3t 53y 3t 5?=--????=+??
(t 为参数)，直线l 2的参数方程
为x 310y 3?=--????=+??
(s 为参数)。
(I)设l 1与l 2的夹角为α，求tan α；
(II)设l 1与x 轴的交点为A ，l 2与x 轴的交点为B ，以A 为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A 的极坐标方程。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x －1|＋|ax ＋1|。
(I)当a ＝2时，解不等式f(x)≤5；
(II)当a ＝1时，若存在实数x ，使得2m －1>f(x)成立，求实数m 的取值范围。