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十字相乘法

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十字相乘法分解因式
因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相
乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复
进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试
一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

1．二次三项式
（1）多项式cbxax2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一
次项， 为常数项．

例如：322xx和652xx都是关于x的二次三项式．
（2）在多项式2286yxyx中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如
果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．

（3）在多项式37222abba中，把 看作一个整体，即 ，就是关于
的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2yxyx，把 看作一个整体，就是关
于 的二次三项式．
2．十字相乘法的依据和具体内容

(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2bxaxabxbax
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项
系数的符号相同．

例1、 因式分解。

分析：因为
7x + (-8x) =-x
解：原式=（x+7）（x-8）
例2、 因式分解。
分析：因为
-2x+（-8x）=-10x
解：原式=（x-2）（x-8）

(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
cbxax
2
))(()(2211211221221cxacxaccxcacaxaa

它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一
次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉
相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．

例3、 因式分解。
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。

因为
9y + 10y=19y
解：原式=（2y+3）（3y+5）

例4、 因式分解。

分析：因为
21x + (-18x)=3x
解：原式=（2x+3）（7x-9）

例5、 因式分解。
分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。

因为
-25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2）
解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]
=（2x-1）（5x+8）
例6、 因式分解。
分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次
十字相乘。
因为

-2
+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +（-4a）=-a
解：原式=[-2][ -12]
=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定

要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实
数范围内就不能再进一步因式分解了

二、典型例题
例1 把下列各式分解因式：

(1)1522xx； (2)2265yxyx．

例2 把下列各式分解因式：
(1)3522xx； (2)3832xx．

例3 把下列各式分解因式：
(1)91024xx； (2))(2)(5)(723yxyxyx；
(3)120)8(22)8(222aaaa．
例4 分解因式：90)242)(32(22xxxx．
例5 分解因式653856234xxxx．
例6 分解因式655222yxyxyx．
例7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．
例8、已知12624xxx有一个因式是42axx，求a值和这个多项式的其他因式．
试一试：
把下列各式分解因式：

(1)22157xx (2) 2384aa (3) 2576xx (4) 261110yy

(5) 2252310abab (6) 222231710ababxyxy (7) 22712xxyy
(8) 42718xx (9) 22483mmnn (10) 53251520xxyxy
课后练习
一、选择题

1．如果))((2bxaxqpxx，那么p等于 ( )
A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)
2．如果305)(22xxbxbax，则b为 ( )
A．5 B．－6 C．－5 D．6
3．多项式axx32可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 ( )
A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 ( )

A．22xx B．xxx310322 C．242xx

D．22865yxyx
5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 ( )
A．20)(13)(22yxyx B．20)(13)22(2yxyx

C．20)(13)(22yxyx D．20)(9)(22yxyx
6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有 ( )
①672xx； ②1232xx； ③652xx；

④9542xx； ⑤823152xx； ⑥121124xx
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题

7．1032xx__________．

8．652mm(m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________．
9．3522xx(x－3)(__________)．
10．2x____22y(x－y)(__________)．
11．22____)(____(_____)amna．
12．当k＝______时，多项式kxx732有一个因式为(__________)．
13．若x－y＝6，3617xy，则代数式32232xyyxyx的值为__________．
三、解答题
14．把下列各式分解因式：

(1)6724xx； (2)36524xx； (3)422416654yyxx；

(4)633687bbaa； (5)234456aaa； (6)422469374babaa．
15．把下列各式分解因式：
(1)2224)3(xx； (2)9)2(22xx；

(3)2222)332()123(xxxx； (4)60)(17)(222xxxx；
(5)8)2(7)2(222xxxx； (6)48)2(14)2(2baba．

16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，2633yx，求a的值．

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十字相乘法

十字相乘法

十字相乘法 十字相乘法的方法：(1)对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．

例1把m²+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解： 因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解： 因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式， 则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解： 因为 2 -5 3 ╳ 5 所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 用十字相乘法解一些比较难的题目： 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y

十字相乘法

十字相乘法

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目，例子中的²是平方的意思例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳ -4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解：因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程 6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

十字相乘法

十字相乘法

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法）然后按斜线交叉相乘、再相加，若有，则有，否则，需交换的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。

3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；（2）如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解；（3）对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解；（4）对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。

在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。

以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。

在我们做题时，可以参照下面的口诀：首先提取公因式，然后考虑用公式；十字相乘试一试，分组分得要合适；四种方法反复试，最后须是连乘式。

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

十字相乘法的方法

十字相乘法的方法

十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1 -21 ╳6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为1 25 ╳-4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解：因为1 -31 ╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。