电容 电场的能量

所以电容为 所以电容为： 电容
C= q q = U A − U B q( RB − RA ) 4πε 0 R A RB ⇒
4πε 0 RA RB C= RB − RA
上页 下页
若极间充满电介质（不导电的物质），实际表明， 此时电容C要比真空情况电容大，可表示为：
C = εr >1 C0
或
C = ε r C0
i
n
上页
下页
五、电容器的储能 电容器的充电过程实质上是电源逐步把正电荷从 电容器的充电过程 实质上是电源逐步把正电荷从 电容器的负极搬运到正极的过程。 电容器的负极搬运到正极的过程。电源所作的功就以 电能的形式储存在电容器中。 电能的形式储存在电容器中。 设某一瞬时,电容器两极板的带电量分别为+q和-q, 而极板间的电势差为V,那么电源将电荷dq由电容器
上页 下页
电场的能量密度(即单位体积内储存的电能 电场的能量密度 即单位体积内储存的电能): 即单位体积内储存的电能 1 2 1 ωe = εE = ED 2 2 表明：电场能量是储存在电场中的。 表明 ： 电场能量是储存在电场中的 。 就是说 场是 能量的携带者。
（1）上式适用于任何电场 ）
说明
6-5
一、电容
电容
电场的能量
q u
Q C= V
电容在国际单位制(SI)中的单位 中的单位: 电容在国际单位制 中的单位 F(法拉 。1F=106µF=1012pF 。 法拉)。 法拉 电容器—任意形状的两个导体的集合。 电容器 任意形状的两个导体的集合。 任意形状的两个导体的集合 设电容器两个极板带有等量异 号的电荷+q和 号的电荷 和-q, 两板间的电势差 A (电压 为V , 则该电容器的电容为 电压)为 电压 +q
P点的场强为： 点的场强为： 点的场强为
B x
−λ
d
λ λ E= + 2πε 0 x 2πε 0 (d − x )
上页
下页
两导线A、 之间的电势差为 两导线 、B之间的电势差为
λ 1 1 VA − VB = ∫ E dx = ∫ + dx a a 2πε 0 x d − x d −a d λ λ = ln ≈ ln πε 0 a πε 0 a
由高斯定理知，A、B间场强大小为 +q σ E= (σ = ) S ε0 ε0S q q = U A − U B = Ed = d ⇒C = ε0S U A −U B d
q εS C= ⇒ C= o U d
上页
++ ++ + + + + +
下页
2.圆柱形电容器 圆柱形电容器
圆柱形电容器由两个同轴的金属圆筒组成。 圆柱形电容器由两个同轴的金属圆筒组成。设圆筒的长 度为L, 两筒的半径分别R 两筒之间是空气， 度为 两筒的半径分别 1和R2,两筒之间是空气，如图所示。 两筒之间是空气 如图所示。 求这电容器的电容。 忽略圆柱两端的边缘效应 忽略圆柱两端的边缘效应) 求这电容器的电容。(忽略圆柱两端的边缘效应
因此长直导线和圆筒之间的电场能量密度为
λ2 1 2 we = εE = 2 2 2 8π εr
在该区域取长为h 半径为r、厚为dr的薄圆筒 的薄圆筒， 在该区域取长为 、半径为 、厚为 的薄圆筒，其体 积元为: 积元为 dV = 2π rhdr ,在此体积元内电场的能量为 在此体积元内电场的能量为
RA
E=
q 4πε 0 r 2
U A −U B = q
RB
RB
所以面间电势差为： 所以面间电势差为 电势差
RA
∫ E • d r = ∫ Edr = ∫ 4πε
RA RA
RB
RB
q
0
r
2
dr
q( R B − R A ) 1 1 [ ]= = − 4πε 0 R A R B 4πε 0 R A R B
（2）对任一带电系统整个电场能量为 ）
1 1 2 We = ∫ we dV = ∫ ( DE )dV = ∫ εE dV 2 2 V V V
上页 下页
一球形电容器由两个同心导体球壳组成， 例6-8 一球形电容器由两个同心导体球壳组成，其间充满相 的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真空。 对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真空。 外球壳内、 内球壳半径为R1，带电量为q1；外球壳内、外半径分别为R2 和R3，带电量为q2。 求：(1)空间的电场分布；(2)该电容器的电容；(3)电介质 (1)空间的电场分布；(2)该电容器的电容；(3)电介质 空间的电场分布 该电容器的电容 中的电场能量。 中的电场能量。
负极板搬运到正极板时所作的功
q dA = Vdq = dq C
在极板上的电荷由零增加到Q的过 在极板上的电荷由零增加到 的过 程中电源所作的总功
上页
dq
q q
下页
A = We = ∫
Q
0
q 1 Q2 dq = 2 C C
利用Q=CV,可以得到电容器的储能公式为 可以得到电容器的储能公式为 利用 可以得到电容器的储能公式
εr
R1 < r < R2 : 2 q1 q1 1 1 E2 = = ( − ) 4πεoεr r 2 8πεoεr R1 R2 2 1 q1 电场能量也可用下式求得：We = 电场能量也可用下式求得： 2C
R1
We =
∫
R2 1
2
εoεr E2 ⋅ 4πr 2dr
2
上页
下页
如图，半径为a的长直导线 的长直导线， 例6-9 如图，半径为 的长直导线，外面套有共轴导体 圆筒，筒内半径为b， 圆筒，筒内半径为 ，导线与圆筒间充以介电常量为 ε 的均匀介质。 的均匀介质。沿轴线单位长度上导线带电为 λ ，圆筒 带电为忽略边缘效应， 带电为 λ 。忽略边缘效应，求沿轴线单位长度内的 电场能量。 电场能量。
上页
下页
(2)两球的电势差为： 两球的电势差为： 两球的电势差为
1 1 ( − ) V = ∫ E2dr = R1 4πεoεr R1 R2 q1 4πεoεr R R2 1 电容为 C = = V R2 − R 1
R2
q1
q1+q2 dr -q1 r q1 o
R3 R2 R1
(3) 电介质中的电场能量： 电介质中的电场能量：
先假设两条导线均匀带电， 解：先假设两条导线均匀带电，电荷线密度分别为 沿垂直于两导线的方向建立x轴 ，沿垂直于两导线的方向建立 轴，原点 O在A导线上，如图 导线上， 在 导线上
A O x P
+ λ和 − λ
λ
由无限长均匀带电直导线的 电场公式（ 电场公式（5-12）： ）：
λ E= 2πε 0 x
d −a d −a
两导线A、 构成的电容器单位长度 两导线 、B构成的电容器单位长度 的电容为
C=
λ
V A − VB
=
πε 0
ln d
( a)
上页 下页
重点和难点： 重点和难点：
★ 电容器电容的计算
平行板电容器
识记
C=
εoε r S
d
掌握电容串并联等效 电容的计算
1 1 =∑ C i Ci
n
C = ∑C i
平行板电容器
C=
εoε r S
d
有介质时
球型电容器
4πε 0ε r RA RB C= RB − RA
圆柱形电容器
2πεoεr L C= R2 ln R1
上页 下页
设有两根半径为a的平行长直导线 的平行长直导线， 例6-7 设有两根半径为 的平行长直导线，它们中心 轴线之间相距为d， 轴线之间相距为 ，且 d >> a 。求单位长度导线的电 容。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设同轴圆筒分别带电± 解 设同轴圆筒分别带电±Q ， 由高斯定理： 由高斯定理：
R2 R1
R2 V =∫ dr = ln R1 2 πεorL 2πεo L R1 2πεo L Q = C= R2 V ln R1
R2
Q
Q
εr
+Q -Q
L
上页
下页
3. 球型电容器
如图半径不同的两个均匀带电球面， 如图半径不同的两个均匀带电球面， 其带电量为+q、 其带电量为 、-q，由高斯定理得两球 面间任意点场强为： 面间任意点场强为：
1 Q2 1 1 2 = CV = QV We = 2 C 2 2 三、电场的能量
电容器储存的电能等于两极板间的电场的能量， 电容器储存的电能等于两极板间的电场的能量，用 描述场的量来改写上式有（以平行板电容器为例） 描述场的量来改写上式有（以平行板电容器为例）
1 εS 2 2 1 2 1 2 We = E d = εE Sd = εE V 2 d 2 2 (V = Sd : 电容器体积 )
λ2 h dwe = we dV = dr 4πεr
沿轴线单位长度内的电场能量为
We V = h h
∫ dW
e
λ2 = 4πε
∫
b
a
1 b λ2 dr = In r 4πε a
上页 下页
作业： 习题6-31。 作业：p206 习题 。
重点和难点： 重点和难点：
★ 电容器的储能公式
1Q 1 1 2 We = = CV = QV 2 C 2 2
解：空间电场分布具有圆柱对称性，根据高 空间电场分布具有圆柱对称性， 斯定理可得在长直导线内部和圆筒内半径以 外区域场强为零， 外区域场强为零，而在长直导线和圆筒之间 场强为 r r 1⋅ λ ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 2πr ⋅1 = ε S
∴ E=
b
a
λ 2πεr
(a < r < b )
上页 下页
由高斯定理有： 解 (1)由高斯定理有： 由高斯定理有
q1+q2
R3
0 < r < R : E1 = 0; 1
R1 < r < R2 : E2 =
4πεoεr r R2 < r < R3 : E3 = 0;
q1
; 2
-q1
q1 o oR1
R2
q1 + q2 r > R3 : E4 = 4πεor2
εr
★ 静电场的能量密度
2
1 2 1 ωe = εE = ED 2 2
★ 静电场的能量的计算
1 1 2 We = ∫ we dV = ∫ ( DE )dV = ∫ εE dV 2 2 V V V
上页 下页
B -q
q C = V
上页
V
下页
电容C只决定于两导体的形状 大小、 只决定于两导体的形状、 注意 电容 只决定于两导体的形状 、 大小 、 相对位 置和周围电介质的性质,与电容器是否带电无关。 置和周围电介质的性质 与电容器是否带电无关。 与电容器是否带电无关
二、几种电容器的电容 1.平行板电容器 平行板电容器