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2014届高考数学一轮复习 第69讲《随机抽样、用样本估计总体、正态分布》热点针对训练 理

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第69讲 随机抽样、用样本估计总体、正态分布
1.(2012·山东省临沂市3月一模)将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，„，
500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名
学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500
在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为( B )
A．20,15,15 B
．20,16,14

C．12,14,16 D
．21,15,14

解析：根据系统抽样特点，被抽到号码l＝10k＋3，k∈N，第353号被抽到，因此第二
营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数分别为20,16,14，故选B.
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等
于( C )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
解析：由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，
故P(0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.
3.(2013·宁波市四中高三上期末)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方
图如下图所示，则时速不低于60 km/h的汽车数量为( B )

A．65辆 B．76辆
C．88辆 D．95辆
解析：设时速不低于60 km/h的汽车数量为n，

则n200＝(0.028＋0.010)×10＝0.38，
所以n＝0.38×200＝76.
4.(2012·上海卷)设10≤x1

x4、x
5的概率均为0.2，随机变量ξ2
取值x1＋x22、x2＋x32、x3＋x42、x4＋x52、x5＋x12的概率也均

为0.2.若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则( A )
A．Dξ1＞Dξ2
B．Dξ1＝Dξ2
C．Dξ1＜Dξ2
D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关

解析：Dξ1＝15[(x－－x1)2＋„＋(x－－x5)2]

＝15(x21＋x22＋x23＋x24＋x25)－x－2，
Dξ2＝15[(x－－x1＋x22)2＋„＋(x
－
－x5＋x12)2]

＝15[(x1＋x22)2＋„＋(x5＋x12)2]－x－2
＜15(x21＋x22＋x23＋x24＋x25)－x－2，
所以Dξ1>Dξ2，故选A.
5.(2012·浙江省慈溪市5月模拟)某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超
2

市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，
应抽取中型超市 20 家．

解析：n＝100×400200＋400＋1400＝20.
6.(2012·嘉兴市高三教学测试)在一次运动员的选拔中，测得7名选手身高(单位：
cm)分布的茎叶图如图所示．已知记录的平均身高为174 cm，但有一名候选人的身高记录不
清楚，其末位数记为x，那么x的值为 7 .

18 0 1
17 0 3 x
16 8 9

解析：将所有数据都减去170，根据平均数的计算公式可得10＋11＋3＋x－2－17＝4，
解得x＝7.
7.(2012·南通市教研室模拟)给出如下10个数据：63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.

根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为 15 .

解析：落在区间[64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，则矩形的高等于
频率
组距

＝41066.5－64.5＝15.
8.在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图．

(1)从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定；
(2)用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好．
解析：(1)茎叶图的直观形状像横放的频率分布直方图，且保留了所有原始数据的信息，
所以从数与形的特征来看，甲和乙的得分都是对称的，叶的分布是“单峰”的，但甲全部的

叶都集中在茎2上，而乙只有57的叶集中在茎2上，这说明甲发挥得更稳定．

(2)x－甲＝20＋21＋25＋26＋27＋28＋287＝25，
x
－
乙
＝17＋23＋24＋25＋26＋29＋317＝25，

s
2甲＝17[(20－25)2＋(21－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(27－25)2＋(28－25)2
＋(28－

25)2]≈9.14，
s
2乙＝17[(17－25)2＋(23－25)2＋(24－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(29－25)2
＋(31－

25)2]≈17.43.
因为x－甲＝x－乙，s2甲9.(2012·江南十校联考)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，
测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：
分组 频数 频率
[39.95,39.97) 10
[39.97,39.99) 20
3

[39.99,40.01) 50
[40.01,40.03] 20
合计 100
(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在下图中画出频率分布直
方图；

(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批乒乓球的直
径误差不超过0.03 mm的概率；
(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值
是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．
解析：(1)频率分布表及频率分布直方图如下：

分组 频数 频率
频率
组距
[39.95,39.97) 10 0.10 5
[39.97,39.99) 20 0.20 10
[39.99,40.01) 50 0.50 25
[40.01,40.03] 20 0.20 10
合计 100 1

(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97,40.03]范围内，其概率为0.2＋0.5＋0.2
＝0.9.
(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋
40.02×0.20≈40.00(mm)．

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1.(2012·山东省临沂市3月一模)将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为( B ) A．20,15,15 B．20,16,14 C．12,14,16 D．21,15,14 解析：根据系统抽样特点，被抽到号码l＝10k＋3，kN，第353号被抽到，因此第二营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数分别为20,16,14，故选B. 2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于( C ) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2， 故P(0＜ξ＜2)＝0.3，故选C. 3.(2013·宁波市四中高三上期末)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速不低于60 km/h的汽车数量为( B ) A．65辆 B．76辆 C．88辆 D．95辆 解析：设时速不低于60 km/h的汽车数量为n， 则＝(0.028＋0.010)×10＝0.38， 所以n＝0.38×200＝76. 4.(2012·上海卷)设10≤x1<x2<x3Dξ2，故选A. 5.(2012·浙江省慈溪市5月模拟)某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市　20　家． 解析：n＝100×＝20. 6.(2012·嘉兴市高三教学测试)在一次运动员的选拔中，测得7名选手身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．已知记录的平均身高为174 cm，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为　7　. 180 1170 3 x168 9解析：将所有数据都减去170，根据平均数的计算公式可得＝4，解得x＝7. 7.(2012·南通市教研室模拟)给出如下10个数据：63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.5, 66.5)这组所对应的矩形的高为 . 解析：落在区间[64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，则矩形的高等于＝＝. 8.在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图． (1)从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定； (2)用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好． 解析：(1)茎叶图的直观形状像横放的频率分布直方图，且保留了所有原始数据的信息，所以从数与形的特征来看，甲和乙的得分都是对称的，叶的分布是“单峰”的，但甲全部的叶都集中在茎2上，而乙只有的叶集中在茎2上，这说明甲发挥得更稳定． (2)甲＝＝25， 乙＝＝25， s＝[(20－25)2＋(21－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(27－25)2＋(28－25)2＋(28－25)2]≈9.14， s＝[(17－25)2＋(23－25)2＋(24－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(29－25)2＋(31－25)2]≈17.43. 因为甲＝乙，s<s，所以甲发挥得更好． 9.(2012·江南十校联考)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表： 分组频数频率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合计100(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在下图中画出频率分布直方图； (2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率； (3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)． 解析：(1)频率分布表及频率分布直方图如下： 分组频数频率[39.95,39.97)100.105[39.97,39.99)200.2010[39.99,40.01)500.5025[40.01,40.03]200.2010合计1001 (2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97,40.03]范围内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9. (3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)． 。

抽样方法、用样本估计总体及正态分布.ppt

抽样方法、用样本估计总体及正态分布.ppt


( x u )2
a
,
正态分布完全由参数μ和σ 确定．因此正态分布 N(μ，σ2) 常记作 ，如果 X 服从正态分布，则记 2 X～N(μ，σ ) 为 .
(2)正态分布的特点： ①曲线在 位于x轴上方与x轴不相交 ②曲线关于直线 x＝μ ③曲线在x＝μ时
达到峰值
；
对称；
1 2πσ ；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 分散 ；σ越 小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越 集中 ．
5．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的 学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如 下表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 6 7 7 8 7 甲班 6 7 6 7 9 乙班 2 则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝ 5 .
【解析】甲班的方差较小，数据的平均值为7， 2 2 2 2 2 6 － 7 ＋ 0 ＋ 0 ＋ 8 － 7 ＋ 0 2 2 故方差s ＝ ＝ . 5 5
(2)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、 二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方 法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子 产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的 测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的 使用寿命的平均值分别为980h,1020h,1032h，则抽 取的100件产品的使用寿命的平均值为 1013 h.
【解析】(1)由于第5组抽出的号码22＝2＋(5 －1)×5，可知第一组抽出的号码应为2，从而第8 组应抽取的号码为2＋(8－1)×5＝37；由分层抽样 知识可知，40岁以下年龄段应抽取的人数为 40×50%＝20人． (2)依题设及分层抽样知识可知3个分厂应抽电 1 2 1 子产品数分别为 ×100＝25个， ×100＝50个， 4 4 4 ×100＝25个，从而抽取的100件产品的使用寿命 980×25＋1020×50＋1032×25 的平均值为 ＝ 100 1013(h)．
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 用样本估计总体

高考数学第一轮知识点总复习 第二节 用样本估计总体


平.因为公司中少数人的月工资额与大多数人的月工资额差别较大，
这样导致了平均数与中位数的偏差较大，所以平均数不能客观真实
地反映这个公司员工的工资水平.
题型四 综合问题
【例4】(12分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能每 瓶装的容量都不是标准的容量.我们随机抽出了20瓶，测得它们的容量 （单位：百毫升）如下: 12.1 11.9 12.2 12.2 12.0 12.1 12.9 12.1 12.3 12.5 11.7 12.4 12.3 11.8 11.3 12.1 11.4 11.6 11.2 12.2
1
（2）频率分布直方图如图：
（3）电子元件寿命在100 h～400 h以内的频数为130,则频率 为 13=00.65. 200
（4）寿命在400 h以上的电子元件的频数为70，则频率 为 =700.35. 200
学后反思利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布.从本例可 以看出，要比较准确地反映出总体70 分布的情况，必须准确地作出
［140,15 0)
人数
4
8
x
5
3
生产能 力分组 人数
表2：
［110， 120）
6
［120，130） ［130,14 0)
y
36
［140,15 0)
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(1)先确定x、y,再完成下列频率分布直方图，就生产能力而言， A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪 个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
比；所有组距的频率之和为1;每一组距的频率是频率分布直方图中该
组距所对应的矩形的面积.
解
（1）M=0.102
=50,m=50-(1+4+20+15+8)=2n,N =m1,
高考数学复习考点知识专题讲解讲义63---随机抽样、用样本估计总体

高考数学复习考点知识专题讲解讲义63---随机抽样、用样本估计总体


命题点2 折线图 例2 (2017·全国Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量， 收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据， 绘制了右面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是
√A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4%a 30%a
新农村 建设后 37%×2a＝74%a 5%×2a＝10%a 30%×2a＝60%a
新农村建设 后变化情况
增加 增加了一倍以上
增加了一倍
结论
A错 B对 C对
养殖收入＋第 (30%＋6%)a (30%＋28%)
三产业收入 ＝36%a
×2a＝116%a
超过经济收入 D对
2a的一半
故选A.
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过
了经济收入的一半
解析 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村的经济 收入为2a. 新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
种植收入 其他收入 养殖收入
新农村 建设前 60%a
思维升华
SI WEI SHENG HUA
(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系. (2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非 常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势. (3)由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类 似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任 何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时， 作图较烦琐.