学学期数分的参考答案及一些复习公式

高等数学知识点总结（公式）第一章 极限 1.常用极限：1||1||0)80)7sin )6)1(,)1()52arctan ,2arctan )4ln ,ln )31(,,0),1(,0,)2;0,1,1,1)1lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim 1lim lim lim lim 01010100000>∞<=>∞<==++++++==+=+-==-∞=+∞=<+∞==>=+∞==-∞=+∞=∞=∞→∞→→→∞→-∞→+∞→→+∞→-∞→+∞→-∞→+∞→∞→→→→+-+q q q nm nm n m b a b x b x b a x a x a k x kxe ax e x ax x x x a a a a a a x xx nn nm nnm m x x axx a x x x x x x x x x x x x x x x x x x xππ9）下列极限不存在也不为无穷：xx x x x x a x x x x 1000lim lim lim lim lim ;1cos ;1sin ;cos ;sin →→→∞→∞→2.常用的等价无穷小（当0→x 时）sinx~x tanx~x 1-cosx~22x arcsinx~x arctanx~xln(1+x)~x 1-x a ~xlnx 第二章 导数 1.导数基本公式2.双曲函数：3.求导法则：2''''''''''')()()())(()(v uv v u v u uv v u uv v u v u Cu Cu -=+=-+=-+=y=f(x)的反函数为x=g(y)则)(1)('y g x f =)0)(('≠y g 复合函数求导 4.高阶导数2''1''2211)(arcsin cos )(sin )0()(0)(ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan x x x x x uxx C ax x aa a x x x x x x x x x x u u a x x -==>==='='⋅-='⋅='-='='-2'2'''222211)cot (11)(arccos 1)(ln )(11)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x xx e e x x arc x x x x x x x x +-=--===+-='+='--='-='xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦xn n x ax n n ax n n n n n n nn n n n n n n a a y a y ab n x e b a y bx e y n x y x y n x y x y a n y x a x a x a a y x n y x y xn y x y nn x n y x y )(ln ,).8arctan ),sin()(,sin ).7)2cos(,cos ).6)2sin(,sin ).5!,).4)1()!1()1(),1ln().3!)1(,1).20)1()1(,).1)(22)()()()(22101)(1)()(===++==+==+===++++=+--=+=-==<≥+--==-+-φφππααααααα5.莱布尼茨公式)()(0)()(k k n nk kn n v u uv C -=∑=三角公式6.基本初等函数的微分公式2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=±⋅±=±=±±=±dxx x arc d dx xx d dxxx d dxxx d dx xx d dx ax x d e e d adx a a d xdx x x d xdx x x d x x d xdx x d xdx x d xdx x d dx ux x d C d a x x x x u u 222222111)cot ()1611)(arctan )1511)(arccos )1411)(arcsin )131)(ln )12ln 1)(log )11)()10ln )()9cot csc )(csc )8tan sec )(sec )7csc )(cot )6sec )(tan )5sin )(cos )4cos )(sin )3)()20)()1+-=+=--=-=====-==-==-====- 第三章 中值定理和导数应用1.费马引理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；洛必达法则。

必背数学公式1. 三角函数：正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$正弦函数公式：$\sin(A\pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B$ 余弦函数公式：$\cos(A\pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B$ 正切函数公式：$\tan(A\pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1\mp \tan A \tan B}$2. 指数和对数：指数的乘法法则：$a^{m+n} = a^m\cdot a^n$指数的除法法则：$a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$指数的幂法法则：$(a^m)^n = a^{m\times n}$对数的定义：$\log_a b = c$ 等价于 $a^c = b$对数的换底公式：$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$3. 微积分：导数定义：$f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$常见导数公式：$\frac{d\sin x}{dx} = \cos x$$\frac{d\cos x}{dx} = -\sin x$$\frac{d\tan x}{dx} = \sec^2 x$积分定义：$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$定积分公式：$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 为$f(x)$ 的一个原函数4. 数列和级数：等差数列通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$等比数列通项公式：$a_n = a_1\cdot r^{n-1}$等差数列求和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n)$等比数列求和公式：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$调和级数：$H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$，其中 $n$ 为正整数5. 平面几何：勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$，其中 $c$ 为直角边，$a,b$ 为其他两条边圆的面积公式：$S = \pi r^2$，其中 $r$ 为半径圆的周长公式：$C = 2\pi r$，其中 $r$ 为半径直角三角形中：正弦、余弦和正切函数分别为：$\sin A =\frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{b}{c}$，$\tan A = \frac{a}{b}$。

初二数学期末复习资料大全（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=（a+b）（a-b）a2+2ab+b2=（a+b）2a2-2ab+b2=（a-b）2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式1.平方差公式（1）式子： a2-b2=（a+b）（a-b）（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2 和（a-b）2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =（a+b）2a2-2ab+b2 =（a-b）2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组（am+ an）和（bm+ bn），这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=（am +an）+（bm+ bn）=a（m+ n）+b（m +n）做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式（m+n），因此还能继续分解，所以原式=（am +an）+（bm+ bn）=a（m+ n）+b（m+ n）=（m +n）??（a +b）.这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式_2 +（p+q）_+pq=（_+q）（_+p）进行因式分解要注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成（_+q）（_+p）的形式。

平均曲率：K = ∆α .∆α : 从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量；∆s：MM ′弧长。 ∆s
M点的曲率：K = lim ∆α = dα =
y′′ .
∆s→0 ∆s ds
(1+ y′2 )3
直线：K = 0;
半径为a的圆：K = 1 . a
定积分的近似计算：
∫b
矩形法： f
a
(x)
≈
b
− n
a
当u = u(x, y)，v = v(x, y)时，
du = ∂u dx + ∂u dy dv = ∂v dx + ∂v dy
∂x ∂y
∂x ∂y
隐函数的求导公式：
隐函数F ( x,
y)
=
0， dy dx
=
−
Fx Fy
， d 2 y dx 2
=
∂ ∂x
(−
Fx Fy
)＋ ∂ ∂y
(−
Fx Fy
引力：F
=
k
m1m2 r2
, k为引力系数
1b
函数的平均值：y =
b
−
a
∫
a
f
(x)dx
∫ 均方根：
1
b
f 2 (t)dt
b−a a
高等数学（下册）
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d = M1M 2 = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
向量在轴上的投影：Pr ju AB = AB ⋅ cosϕ,ϕ是AB与u轴的夹角。
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n