正态分布

正态分布1．正态曲线函数φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x)d x ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和 σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布称为标准正态分布． 3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称． (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π．(4)曲线与x 轴之间的面积为 1．(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682__7； P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954__5； P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997__3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )(2)正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( ) (3)正态曲线可以关于y 轴对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ≤C )＝P (X ＞C )，则C ＝( ) A ．0 B ．σ C ．－μ D ．μ答案：D已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，则P (X ＜3)＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12答案：D已知正态分布密度函数为f (x )＝12πe －x24π，x ∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________． 答案：02π探究点1 正态分布密度曲线如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．【解】 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20，12πσ＝12π， 所以σ＝ 2.于是φμ，σ(x )＝12π·e－（x －20）24，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.正态密度函数解析式的求法利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x ＝μ，二是最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0. 由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝142πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)． 探究点2 利用正态分布的性质求概率设X ～N (1，22)，试求： (1)P (－1＜X ≤3)； (2)P (3＜X ≤5)．【解】 因为X ～N (1，22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 7. (2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3≤X ＜－1)， 所以P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ≈12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.[变问法]在本例条件下，试求P (X ≥5)． 解：因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)， 所以P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)]＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ≈12(1－0.954 5)＝0.022 75.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.(2)熟记P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )； ②P (X ＜μ－a )＝P (X ≥μ＋a )；③若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P （b ＜X ＜2μ－b ）2.1.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3D ．0.2解析：选C.因为P (ξ<4)＝0.8，所以P (ξ>4)＝0.2. 由题意知图象(如图)的对称轴为直线x ＝2，P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，所以P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. 所以P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.2．设随机变量ξ服从正态分布N (2，9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝________． 解析：因为μ＝2，由正态分布的定义知其图象(如图)关于直线x ＝2对称， 于是c ＋1＋c －12＝2，所以c＝2.答案：2探究点3 正态分布的实际应用在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90，100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？【解】因为ξ～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 5，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70，110)内的概率为0.954 5.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 7，所以考试成绩ξ位于区间(80，100)内的概率就是0.682 7.一共有 2 000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有 2 000×0.682 7 ≈1 365(人)．正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.52)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4，0.52)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4，0.52)在(4－3×0.5，4＋3×0.5)之外的取值的概率只有0.002 7，而5.70∉(2.5，5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．1．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2答案：A2．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954D ．0.977解析：选C.由题意可知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，所以图象关于y 轴对称，又P (ξ>2)＝0.023，所以P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝1－2P (ξ>2)＝0.954.3．设X ～N (5，1)，求P (6<X ≤7)． 解：由已知得P (4<X ≤6)≈0.682 7，P (3<X ≤7)≈0.954 5.又因为正态曲线关于直线x ＝5对称， 所以P (3<X ≤4)＋P (6<X ≤7) ≈0.954 5－0.682 7 ＝0.271 8.由对称性知P (3<X ≤4)＝P (6<X ≤7)， 所以P (6<X ≤7)＝0.271 82＝0.135 9.知识结构深化拓展标准正态分布及其性质(1)标准正态分布：当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是f (x )＝12πe －x 22，(－∞＜x ＜＋∞)，其相应的曲线称为标准正态曲线． (2)标准正态分布的性质①标准正态分布N (0，1)在正态分布的研究中占有[A 基础达标]1．已知随机变量X 服从正态分布N (a ，4)，且P (X >1)＝0.5，则实数a 的值为( ) A ．1 B. 3 C ．2D ．4解析：选A.因为随机变量X 服从正态分布N (a ，4)，所以P (X >a )＝0.5.由P (X >1)＝0.5，可知a ＝1.2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝φμ，σ(x )＝18πe－（x －10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10解析：选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2. 3．已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 7，则P (X >4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 65 C ．0.158 6D ．0.158 5解析：选B.由于X 服从正态分布N (3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x ＝3. 所以P (X >4)＝P (X <2)，故P (X >4)＝1－P （2≤X ≤4）2＝1－0.682 72＝0.158 65.4．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%.) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18%D ．31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P (－6＜ξ＜6)≈0.954 5，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2≈0.954 5－0.682 72＝0.135 9＝13.59%，故选B.5．(2018·洛阳模拟)某班有50名学生，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N (105，102)，已知P (95≤X ≤105)＝0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为( ) A ．10 B ．9 C ．8D ．7解析：选B.因为考试的成绩X 服从正态分布N (105，102)，所以正态曲线关于x ＝105对称．因为P (95≤X ≤105)＝0.32，所以P (X ≥115)＝12×(1－0.32×2)＝0.18.所以该班学生数学成绩在115分以上的人数为0.18×50＝9.6．设随机变量ξ～N (2，2)，则D (12ξ)＝________．解析：因为ξ～N (2，2)，所以D (ξ)＝2. 所以D (12ξ)＝122D (ξ)＝14×2＝12.答案：127．设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4＜X ＜8)＝0.3，则P (X ＜0)＝________．解析：概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2. 答案：0.28．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若X 在(0，1)内取值的概率为0.4，则X 在(0，2)内取值的概率为________． 解析：如图，易得P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)， 故P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×0.4＝0.8.答案：0.89．在一次测试中，测试结果X 服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若X 在(0，2)内取值的概率为0.2，求：(1)X 在(0，4)内取值的概率； (2)P (X >4)．解：(1)由X ～N (2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图，因为P (0<X <2)＝P (2<X <4)，所以P (0<X <4)＝2P (0<X <2)＝2×0.2＝0.4. (2)P (X >4)＝12[1－P (0<X <4)]＝12(1－0.4)＝0.3. 10．生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X ～N (0，1.52)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm 为合格品，求： (1)X 的密度函数；(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率．解：(1)根据题意，知X ～N (0，1.52)，即μ＝0，σ＝1.5，所以密度函数φ(x )＝11.52πe －x 24.5. (2)设Y 表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为P (|X |≤1.5)＝P (－1.5≤X ≤1.5)＝0.682 7，而Y ～B (5，0.682 7)，合格率不小于80%，即Y ≥5×0.8＝4，所以P (Y ≥4)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＝C 45×0.682 74×(1－0.682 7)＋0.682 75≈0.492 9.[B 能力提升]11．已知随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f (x )＝12πe－（x －2）22的图象，若∫2f(x)d x ＝13，则P (X >4)＝( )A.16B.14 C.13D.12解析：选A.因为随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)＝12πe －（x －2）22的图象，所以μ＝2，即函数f(x)的图象关于直线x ＝2对称，因为∫2f(x )dx ＝13，所以P (0<X ≤2)＝13，所以P (2<X ≤4)＝13，因为P (2<X ≤4)＋P (X >4)＝12，所以P (X >4)＝12－P (2<X ≤4)＝12－13＝16.故选A. 12．已知正态分布N (μ，σ2)的密度曲线是f (x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈R 的图象．给出以下四个命题：①对任意x ∈R，f (μ＋x )＝f (μ－x )成立；②如果随机变量X 服从N (μ，σ2)，且F (x )＝P (X <x )，那么F (x )是R 上的增函数； ③如果随机变量X 服从N (108，100)，那么X 的期望是108，标准差是100； ④随机变量X 服从N (μ，σ2)，P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)＝1－2p .其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 解析：如果随机变量X ～N (108，100)， 所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故③错，又f (μ＋x )＝12πσe －（μ＋x －μ）22σ2＝12πσe －x22σ2， f (μ－x )＝12πσe（μ－x －μ）22σ2＝12πσe －x 22σ2，故①正确，由正态分布密度函数性质以及概率的计算知②④正确，故填①②④. 答案：①②④13．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且正态分布密度函数在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，P (72<X ≤88)≈0.682 7. (1)求参数μ，σ的值； (2)求P (64<X ≤72)．解：(1)由于正态分布密度函数在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72<X ≤88)≈0.682 7，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7， 所以σ＝8.(2)因为P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝P (64<X ≤96)≈0.954 5，P (72<X ≤88)≈0.682 7，所以P (64<X ≤72)＝12[P (64<X ≤96)－P (72<X ≤88)] ＝12×(0.954 5－0.682 7)11＝0.135 9.14．(选做题)从某校的一次学科知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：(2)由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N (μ，196)，其中μ近似为样本平均数x .①利用该正态分布，求P (Z >74)；②某班级共有20名同学参加此次学科知识竞赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求E (X )．附：若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 5.解：(1)样本平均数x ＝35×350＋45×1050＋55×1250＋65×1550＋75×650＋85×250＋95×250＝60. (2)①由(1)可知，Z ～N (60，196)，故P (Z >74)＝1－P （60－14<Z <60＋14）2＝0.158 65. ②由①知，某位同学参加学科知识竞赛的成绩Z 超过74分的概率为0.158 65，依题意可知，X ～B (20，0.158 65)，所以E (X )＝20×0.158 65＝3.173.。