高一第二学期期末卷 苏教版

1．设全集U=R ，2={|<0}+1-x A x x ，B={x | sin x ≥3}，则=B A I ▲ ．2.右图的矩形，长为5，宽为2.在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗.则我们可以估计出阴影部分的面积约为▲.3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是____▲____个．4. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.5．运行如图的算法，则输出的结果是▲．6．已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为3π，若向量||||=+a b p a b ，则=p ▲．h ）频率组距 1250 32000 120001400 200 3004007．函数()tan 42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r▲ .8．已知三个向量a=(cos 1θ，sin 1θ)，b=(cos 2θ，sin 2θ)，c=3(cos θ，sin 3θ)，满足0=++c b a ，则a 与b 的夹角为▲9．下面有五个命题：其中真命题的序号是▲ ①函数y=sin 4x-cos 4x 的最小正周期是2π；②终边在y 轴上的角的集合是,2k k z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； ③在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有一个公共点； ④函数sin()2y x π=-在[0,]π上是增函数．⑤把函数)32sin(3π+=x y 的图像向又平移6π得到x y 2sin 3=的图像； 10.已知12cos 22cos 2sin tan 21)(2-+=x x x xx f ，则)8(πf =▲. 11．已知函数()sin f x x =，()sin 2g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线x m =与()f x 、()g x 的图像分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值是 ▲ ．12. 将函数()2sin()(0)3f x x ωωπ=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 ▲ .13.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则C P B P A P ρρρ⋅+)(的最小值为▲ .；14．如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置0P (单位圆与x 轴的一个交点)开始沿单位圆按逆时针方向运动角α02πα⎛⎫<< ⎪⎝⎭到达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向运动3π到达点2P ，若的点2P 横坐标是45-，则cos α的值等于▲．二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答．题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(P -，定义bc ad cdab -=. （1）解关于x 的方程：cos sin 10sin cos x x αα+=；（2）若函数()sin()cos()f x x x αα=+++（x ∈R ）的图像关于直线0x x =对称,求0tan x 的值．16．(本题满分14分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：(1)(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．17.(本题满分14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．（1$；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$=+y bx a （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5＋4×3＋6×4.5＝66.5）18、(本题满分16分) 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥u u u r 且||5|AB OA =u u u r u u u r，求向量OB uuu r ；(2)若向量AC uuu r 与向量a 共线，当k 4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC •u u u r u u u v19．（本题满分16分）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上.已知20AB =米，103AD =BHE θ∠=.（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域； （2）若sin cos 2θθ+=L ；（3）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.20．(本题满分16分)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π＋2x 4，cos x ＋sin x ，b ＝(4sin x ，cos x －sinx)，f(x)＝a ·b. (1)求函数f(x)的解析式；(2)已知常数ω>0，若y ＝f(ωx)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围；(3)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|π6≤x ≤2π3，B ＝{x||f(x)－m|<2}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．高一年级第二学期期末模拟试卷答案一、填空题：1.π[,2)3； 2.235； 3. 650； 4.21.； 5.25； ; 7.6;8.π32; 9. （3）（4）（5）; 10.2; 11.2; 12.2; 13.92- 二、解答题:16.解：(1) ①②位置的数据分别为12、0.3；(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；(3) 设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d ，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef}共有15种．记“2人中至少有一名是第四组”为事件A ，则事件A 所含的基本事件的种数有9种．所以93()155P A ==，故2人中至少有一名是第四组的概率为35． 17.解：（1） 181=∑=ni ix141=∑=ni iy（2）8612=∑=ni ix66.51=∑=n i iiyx0.511.522.533.544.5502468代入公式：得所求的线性回归方程：0.350.7ˆ+=x y（3）当x=100时，y=70.35,则90-70.35=19.65 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65 吨标准煤.18.解:(1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=u u u r u u u rQ又222|||,564(3)5OB AB n t t =∴⨯=-+=u u u u r u u u r Q ,得8t =± (24,8)OB ∴=u u u r 或(8,8)OB =--u u u r(2)(sin 8,)AC k t θ=-u u u rAC u u u rQ 与a 向量共线,2sin 16t k θ∴=-+232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k θθθθ=-+=--+Q4,104k k ∴>∴>>,∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32k） 由324k =，得8k =，此时,(4,8)6OC πθ==u u ur(8,0)(4,8)32OA OC ∴•=•=u u u r u u u v19.解：（1）10cos EH θ=，10sin FH θ=θθcos sin 10=EF由于10tan BE θ=⋅≤，10tan AF θ=≤tan θ≤≤[,]63ππθ∈ 101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅，[,]63ππθ∈.(2) 2cos sin =+θθ时，21cos sin ==θθ,)12(20+=L ;（3）101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅=sin cos 110()sin cos θθθθ++⋅设sin cos tθθ+=则21sin cos 2t θθ-⋅=由于[,]63ππθ∈，所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈…14分201L t =-在内单调递减，于是当t =时,63ππθθ==时 L的最大值1)米. 。

江苏省盐城市东台市2024届数学高一第二学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示：在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，设直线1A B 与平面11A DCB 所成角为1θ，二面角1A DCA ﹣﹣的大小为2θ，则12θθ，为（ ）A ．3045o o ，B ．4530o o ，C ．3060o o ，D ．6045o o ，2．等差数列{}n a 中，50a <，且60a >，且65a a >，n S 是其前n 项和，则下列判断正确的是（ ）A ．1S 、2S 、3S 均小于0，4S 、5S 、6S 、均大于0B ．1S 、2S 、、5S 均小于0，6S 、7S 、均大于0C ．1S 、2S 、、9S 均小于0，10S 、11S 、均大于0 D ．1S 、2S 、、11S 均小于0，12S 、13S 、均大于03．如图，在ABC 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =，点E 为线段AD 的中点，34AE AB AC λ=+，则λ=（ ）A ．14B ．14-C ．13D ．13-4．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．7165．点()1,2,3A 是空间直角坐标系O xyz -中的一点，过点A 作平面yOz 的垂线，垂足为B ，则点B 的坐标为（ ） A ．（1，0，0）B ．()0,2,3C ．()1,0,3D ．()1,2,06．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球”7．已知数列2008，2009，1，-2008，-2009…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和等于（ ）A ．1B ．2010C ．4018D ．40178．过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于 ( ) A ．1B ．5C ．-1D ．-59．点()3,2A -，()3,2B ，直线10ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围A ．4132a -≤≤ B ．1a ≥或1a ≤- C ．11a -≤≤D ．43a ≥或12a ≤10．已知点()1,1A -，()2,3B -， 则与向量AB 方向相同的单位向量为（ ）A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷（苏教版 2019）02试卷满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．若向量(2,3)BA =，(4,7)AC =--，则BC =（ ）A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【答案】A【分析】由向量加法的坐标运算计算．【详解】 (2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC =+=+--=--．故选：A ．2．已知复数z 满足1iz i =-(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的除法运算化简复数z ，可得对应点的坐标，从而可得答案.【详解】因为1iz i =-， 所以()()()111i i i z i i i i ---===---， 则z 在复平面内对应点的坐标为()1,1--，所以z 在复平面内对应的点在第三象限，3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′原△ABC 的面积是( )A B ．C ．2D ．4【答案】A【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO △ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO∴S △ABC ＝12×BC ×OA ＝12A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n 的值是（ ）A ．500B ．1000C ．10000D ．25000【分析】根据频率分布直方图可得在[50,75)中的频率，进而可得n .【详解】由图可得在[50,75)中的频率为0.004250.1⨯=， 所以10010000.1n ==， 故选：B.5．已知一个直角三角形的边长分别为3，4，5，若以斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的体积等于（ ）A ．12πB ．16πC ．485πD ．1445π 【答案】C【分析】先判断所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，Rt ABC 中通过等面积法计算底面半径BO ，再利用圆锥体积之和求所得几何体的体积即可.【详解】依题意，所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，如图所示， Rt ABC 中，4,3,5AB BC AC ===，由Rt ABC 的面积1122S AB BC AC BO '=⋅=⋅，得431255AB BC BO AC ⋅⨯===，即圆锥底面面积214425S BO ππ=⋅=， 又上面圆锥体积为113V S AO =⋅，下面圆锥体积为213V S OC =⋅，故几何体的体积()122111144485333255V V V V S AO OC S AC ππ=+==⋅+=⋅=⨯⨯=. 故选：C.6．已知α∈（2π，π），并且sin α+2cos α25=，则tan （α4π+）＝（ ） A ．1731- B ．3117- C ．17- D ．﹣7【答案】A【分析】将已知等式平方，利用同角三角函数的基本关系可得cos α﹣2sin α115=-，再结合已知等式作商可求得tan α，由两角和与差的正切公式计算即可得解．【详解】 由sin α+2cos α25=，得sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α425=， 所以（1﹣cos 2α）+4sin αcos α+4（1﹣sin 2α）425=， 整理得cos 2α﹣4sin αcos α+4sin 2α12125=， 所以（cos α﹣2sin α）212125=， 因为α∈（2π，π），所以sin 0cos 0αα⎧⎨⎩＞＜， 所以cos α﹣2sin α115=-，又sin α+2cos α25=， 所以7cos 25α=-，24sin 25α=， 所以tan α247=-， 所以tan （α4π+）241tan 1177241tan 3117αα-++===--+． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：由sin α+2cos α25=推出cos α﹣2sin α115=-是本题的解题关键. 7．已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值是A B C ．23 D ．34【答案】C【分析】 由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解AG 的最小值即可.【详解】 如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得()2133AG AD AB AC ==+, 120,2A AB AC ∠=⋅=-， 根据向量的数量积的定义可得cos1202AB AC AB AC ⋅=⨯⨯=-, 设,AB x AC y ==，则4AB AC xy ⨯==， 2211233AG AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 22112443x y xy =+-≥-=， 当且仅当x y =，即AB AC =，△ABC 是等腰三角形时等号成立.综上可得AG 的最小值是23. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．设a ，b ，c 为ABC 中的三边长，且a +b +c =1，则a 2+b 2+c 2+4abc 的取值范围是（ ）A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．131,272⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】记f (a ，b ，c )=a 2+b 2+c 2+4abc ，则f (a ，b ，c )=1﹣2ab ﹣2c (a +b )+4abc ，再根据三角形边长性质可以证得f (a ，b ，c )12<.再利用不等式和已知可得ab 22(1)24a b c +-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以f (a ，b ，c )≥1﹣2(1)2(12)4c c -⨯-﹣2c (1﹣c )=321122c c -+，再利用求导根据单调性可以推得a 2+b 2+c 2+4abc 1327，继而可以得出结果. 【详解】记f (a ，b ，c )=a 2+b 2+c 2+4abc ，则f (a ，b ，c )=1﹣2ab ﹣2c (a +b )+4abc=1﹣2ab (1﹣2c )﹣2c (1﹣c )=2(c +ab )2﹣2a 2b 2﹣2(ab +c )+1=2[c +ab ﹣12]2﹣2a 2b 2+121112()()222c ab ab c ab ab =+-++--+ 1112(2)()222c ab c =+--+ 1112(12)()222a b ab c =--+--+ 1112(2)()222a b ab c =--+-+ 1114()()42222a b ab c =--+-+ =4(c ﹣12)(a ﹣12)(b ﹣11)22+， 又a ，b ，c 为ABC 的三边长，所以1﹣2a >0，1﹣2b >0，1﹣2c >0，所以f (a ，b ，c )12<. 另一方面f (a ，b ，c )=1﹣2ab (1﹣2c )﹣2c (1﹣c )，由于a >0，b >0，所以ab 22(1)24a b c +-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又1﹣2c >0， 所以f (a ，b ，c )≥1﹣2(1)2(12)4c c -⨯-﹣2c (1﹣c )=321122c c -+， 不妨设a ≥b ≥c ，且a ，b ，c 为ABC 的三边长， 所以0<c <13. 令y =321122c c -+，则y ′=3c 2﹣c =c (3c ﹣1)≤0， 所以y min =127﹣2111232⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1327， 从而1327<f(a,b,c)<12. 当且仅当a =b =c =13时取等号. 故选：B.【点睛】本题主要考查了解三角形，考查导数求函数的最值，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9．袋中装有形状完全相同的3个白球和4个黑球，从中一次摸出3个球，下列事件是互斥事件的是（ ） A ．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件B ．恰好有一黑球事件和都是黑球事件C ．至少一个黑球事件和至多一个白球事件D ．至少一个黑球事件和全是白球事件【答案】ABD【分析】根据互斥事件的定义可判断各选项的正误，从而可得正确的选项.【详解】对于A ，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故A 正确. 对于B ，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故B 正确.对于C ，比如三个球中两个黑球和1个白球，则至少一个黑球事件和至多一个白球事件可同时发生，故C 错误.对于D ，至少一个黑球事件和全是白球事件也不可能同时发生，故D 正确.故选：ABD.10．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角 【答案】ABC【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ．【详解】对于A ：()2222+2||+cos 13a b a b a b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os 3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ， c OC =的最大值为1+222+A bBO MC a M +==<C 正确；a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误．故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点(点P 不与点C ，1C 重合)，若CP CM CN ==，则下列说法正确的是（ ）A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为【答案】ABD【分析】A ．根据条件分析出1A 到平面PMN 的距离的取值范围，即可进行判断；B ．根据空间中点、线、面的位置关系，结合线段比例关系，作出过P ，M ，1D 三点的截面，并进行判断；C ．根据1BD 与平面1BC D 的位置关系，以及平面PMN 与平面1BC D 的位置关系进行判断； D ．先利用平行关系作出截面α，然后根据长度关系求解出截面六边形的周长并进行判断.【详解】A ．连接1111111,,,,,,AC BC AB BDCD A D B C ，如图所示：因为CP CM CN ==，所以易知11//,//,//MN BD NP C D MP BC ，且平面//MNP 平面1BC D ， 又已知三棱锥11A BC D -各条棱长均为11A BC D -为正四面体， 所以1A 到平面1BC D3=， 因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以111A B BC ⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC AC ， 同理可得11C D AC ⊥，且111BCC D C ⋂=，所以1AC ⊥平面1BC D ，又因为1AC ，所以1A 到平面PMN 的距离∈⎝43<< B ．如图所示，连接1D P 并延长交DC 的延长线于Q 点，连接QM 并将其延长与AD 相交于A '， 因为CP CM =，且1//,//CP DD CM AD ，则1CP CM CQ DD DA DQ =='，所以1DA DD '=，所以A '即为A ，连接1AD ，所以过P ，M ，1D 的截面为四边形1AD PM ，由条件可知111//,//MP BC BC AD ，且1MP AD ≠，所以四边形1AD PM 为梯形，故正确；C ．连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，又因为B ∈平面1BC D ，1D ∉平面1BC D ，所以1BD 不平行于平面1BC D ，所以1//BD 平面PMN 不成立，故错误；D ．在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于2P ，过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推，依次可得点212,,N M M ，此时截面为六边形，根据题意可知：平面121212//PP N N M M 平面MNP ，不妨设1BP x =，所以122121PM P N N M ===，所以)1212121PP N N M M x ===-，所以六边形的周长为：)31x ⎤-=⎦故选：ABD.【点睛】方法点睛：作空间几何体截面的常见方法：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3） 作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为13【答案】BCD【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得233c =，所以A 错误；对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c =2222(1)2(1)m n m n -+=++，化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动， 所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确； 对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =， 由正弦定理得，sin sin b c B C=，即2sin(3)sin c c C C π=-， 所以sin 32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=，因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以3cos 2C =，则1sin 2C =， 所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=， 因为2a =，所以2343,33c b ==， 所以ABC 的周长为223+，所以C 正确；对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，2343c b ==， 所以ABC 的内切圆半径为123433212r ⎛=+= ⎝⎭，所以AOB的面积为11122cr ⎛=-= ⎝⎭ 所以D 正确，故选：BCD【点睛】 此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．写出一个虚数z ，使得23z +为纯虚数，则z =___________.【答案】12i +（答案不唯一）．【分析】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），代入计算后由复数的定义求解．【详解】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），则222332i z a b ab +=-++，因为23z +为纯虚数，所以223a b -=-且0ab ≠.任取不为零的实数a ，求出b 即可得，答案不确定，如12z i =+，故答案为：12i +．14．棱长均为1的正四棱锥，该正四棱锥内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R 的值为______.【分析】 对角线1AC BD O ⋂=，设外接球球心为O ，外接球球心到各顶点距离相等列出关于2R 的方程可得2R ，利用“体积法”可得1R ，进而可得结果.【详解】如图所示，对角线1AC BD O ⋂=，设外接球球心为O，12PO =，则22222R R ⎫=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得22R =， 内切球半径1R满足1111141113232R ⎛⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯ ⎝⎭，解得1R =，于是1212R R ==，故答案为：12.15．在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，记△ABC 的面积为S ，且22242a b c =+，则2S a 的最大值为__________.【答案】6【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，然后化简为二次函数，求出二次函数的最值即可.【详解】由题知22222222422c 2os 4b a c a c ac B a b c ⇒=-=+-=+，整理得()222232cos 33cos 2a c ac B a c B ac -=-+⇒=， 因为()222222221sin 1cos sin 224ac B c B S c B a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，代入()223cos 2a c B ac-=整理得2422421922916S c c a a a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令22c t a =，有()22222111110922931616336S t t t a ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2221036S S a a ⎛⎫≤⇒≤ ⎪⎝⎭，所以2S a故答案为：6【点睛】 本题主要考查了利用余弦定理解三角形，结合考查了二次函数的最值问题，属于中档题.16．赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),B C ⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠=所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭ 所以()2113339,13,0,AD AB⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 13AC ⎛=⎝⎭又AD AB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩所以1213λμ+=故答案为：12 13【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【答案】（1）25小时；（2）0.3.【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=；（2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P=⨯=.【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题. 18．（12分）已知复数z ＝a ＋i (a >0，a ∈R )，i 为虚数单位，且复数2z z +为实数. （1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1z i =+；（2）()0,∞+.【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为z ＝a ＋i (a >0)，所以z ＋2z＝a ＋i ＋2a i + ＝a ＋i ＋()()()2a i a i a i -+- ＝a ＋i ＋2221a i a -+ ＝2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 由于复数z ＋2z为实数，所以1－221a +＝0， 因为a >0，解得a ＝1，因此，z ＝1＋i .（2）由题意(m ＋z )2＝(m ＋1＋i )2＝(m ＋1)2－1＋2(m ＋1)i ＝(m 2＋2m )＋2(m ＋1)i ，由于复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得m >0. 因此，实数m 的取值范围是(0，＋∞).19．（12分）已知函数2()2cos f x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期及()f x 的图象的对称轴方程；（2）若[4x π∈-，]4π，求()f x 的取值范围．【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈；（2）1[2，3]2． 【分析】（1）将()f x 化为()1sin(2)62x f x π++=，然后可求出答案； （2）由[4x π∈-，]4π可得2[63x ππ+∈-，2]3π，然后可得答案. 【详解】（1）2()2cos f x x x =+1cos 2222x x +=+ 1sin(2)62x π++=， ()f x ∴的最小正周期22T ππ==， 令262x k πππ+=+，k Z ∈，可得612x k ππ=+，k Z ∈，即()f x 的图象的对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈． （2）[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π，sin(2)[62x π∴+∈-，1]，可得11()sin(2)[622f x x π=++∈，3]2． 【点睛】本题考查的是三角函数的恒等变换和三角函数的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 20．（12分）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin 4cos 0cos sin a A b B c C c A A B--+=． （1）求A ； （2）若a c >，求a b c +的取值范围． 【答案】（1）3A π=；（2）(2,)+∞． 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理将题中所给条件化简整理，即可求出1cos 2A =，从而可得角A ； （2）先由题中条件，得到0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由正弦定理将所求式子化为sin sin sin A B C +，进而转化为关于C 的函数，即可求出结果.【详解】 （1）由条件与正弦定理可得，2224cos 0cos a b c c A b A--+=， 即2224cos 0cos b c a c A b A+--=， 由余弦定理得，2cos 4cos 0cos bc A c A b A-=， 所以2cos 10A -=，即1cos 2A =． 由0A π<<得，3A π=． （2）由a c >可知，0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 由正弦定理可知，21sin sin sin sin 3222sin sin sin C C C a b A B c C C Cπ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭===22cos 11cos 122sin 22sin cos 22C C C C C +==+112tan 2C =又知0,26C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2C ⎛∈ ⎝⎭，所以2a b c +>， 故a b c+的取值范围为(2,)+∞． 【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a b +，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.21．（12分）如图，在AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是边OA 上靠近点O 的一个三等分点，AD 与BC 交于点M .设OA a =，OB b =.（1）用a ，b 表示OM .（2）过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于点E ，F .设OE pa =，OF qb =，求12p q+的值. 【答案】（1）1255OM a b =+（2）125p q += 【分析】（1）设OM xa yb =+，利用A ，M ，D 三点共线和C ，M ，B 三点共线可以得出,x y 的两个方程，然后解出即可（2）利用EM ，EF 共线即可推出【详解】（1）设OM xa yb =+，则()()11AM OM OA x OA yOB x a yb =-=-+=-+，∵A ，M ，D 三点共线，12AD OD OA a b =-=- ∴AM ，AD 共线，从而()112x y -=-.① 又C ，M ，B 三点共线. ∴BM ，BC 共线， 同理可得()113y x -=-.②联立①②，解得1525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故1255OM a b =+. （2）∵12125555EM OM OE a b pa p a b ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭， EF OF OE qb pa =-=-，且EM ，EF 共线， ∴1255p q p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得125p q +=. 【点睛】1.平面向量共线定理：若a 与b 共线且0b ≠，则存在唯一实数λ使得a b λ=2.平面向量基本定理：若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.22．（12分）在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，∠ADC =90°，BC =CD =12AD =1，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PC 与AB 所成角为45°，求二面角F -BE -A 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）-【分析】（1）连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，根据条件可证//OF PA ，从而可证明结论.（2）由ABCE 为平行四边形可得//EC AB ，PCE ∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒，又由条件可得PE ABCD ⊥平面，可得PE EC ==PD 中点M ，连,ME MA MF ，，可得MEA ∠为F BE A --的平面角，可得答案.【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，1,2BC AD BC AD =∥，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE =BC . ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点，又F 为AD 中点，//OF PA ∴，OF ⊂平面,BEF PA ⊄平面BEF ，//PA ∴平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得EC ==由ABCE 为平行四边形可得//EC AB .PCE ∴∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒.PA PD =E 为AD 中点,所以PE AD ⊥.侧面PAD ⊥底面,ABCD 侧面PAD 底面,ABCD AD PE =⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，PE EC ∴⊥，PE EC ∴==取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，由M F ，，分别为,PD PC 的中点，所以//,MF CD又//CD BE ，所以//MF BE ,所以,,,B E M F 四点共面.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面,ABCD AD BE AD =⊥，BE ∴⊥平面PAD ，,EM AE ⊂平面PAD所以,BE AE BE EM ⊥⊥,则MEA ∠为F BE A --的平面角.又1,22EM AE AM ===cos 3MEA ∴∠=.所以二面角F BE A --的余弦值为 【点睛】本题考查证明线面平行和求二面角的平面角，解答本题的关键是取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，证明出,BE AE BE EM ⊥⊥,得到MEA ∠为F BE A --的平面角，属于中档题.。

宿迁市2020～2020学年度第二学期期末调研测试高一年级数学参考答案及评分标准说明：1、本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制定相应的评分细则。

2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后续部分的解答有较严重的错误，就不给分。

3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4、给分或扣分以1分为单位，填空题不给中间分。

一、填空题：每小题5分，满分70分。

1．3；2．40；3．12；4．甲；5．sin2y x=；6．2.6；7；8．0.59；910．16；11．-2，7；12．113；13．8π；14．②③④；二、解答题：共90分15．本小题满分14分16．解：本题的基本事件共有27个（如图）．----------------------------------------------------3分（Ⅰ）记“３个矩形都涂同一颜色”为事件Ａ，由图可知，事件Ａ的基本事件有１×３＝３个，故31()279P A==．----------------------------------------------------------------------6分(Ⅱ)记“相邻2个矩形颜色不同”为事件Ｂ，由图可知，事件B的基本事件有3×2×2＝12个，故124()279P B==．---------------------------------------------------------------------12分答：3个矩形颜色都相同的概率为19，相邻2个矩形颜色不同的概率为49．------------14分17．解：（Ⅰ）0.3100m =Q30m ∴= ----------------------------------------------------2分 10010203030100.1100100a ----∴===----------------------------------------------------5分 (Ⅱ)如图----------------------------------------------------10分（Ⅲ）法一：总分数约为54.5⨯10+64.5⨯20+74.5⨯30+84.5⨯30+94.5⨯10=7750∴平均分数约为775077.5100= ----------------------------------------------------15分 法二：54.5⨯0.1+64.5⨯0.2+74.5⨯0.3+84.5⨯0.3+94.5⨯0.1=77.5 18．解：22523cos 12sin 12()155ββ=-=-=-= ---------------------------------4分 4(0,)sin 5βπβ∈∴=Q ----------------------------------------------------6分 3(0,),(0,)(0,)225cos()(0,)132ππαβπαβπαβαβ∈∈∴+∈+=∴+∈Q Q 又 12sin()13αβ∴+= ----------------------------------------------------10分 []sin sin ()sin()cos cos()sin 1235416..13513565ααββαββαββ∴=+-=+-+=-= ----------------------------------------------------14分 ----------------------------------------------------15分19．解:(Ⅰ)由题意知：(4,3)kOA OB k +=u u u r u u u r ，3(4,9)OA OB -=-u u u r u u u r ----------------------2分()//(3)kOA OB OA OB +-u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，4(9)430k ∴⨯--⨯=， 59.5 69.5 79.5 89.5 99.50.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 频率 组距 ——13k ∴-＝ ----------------------------------------------------6分 (Ⅱ)点P 为线段AB 的中点，∴点P 为3(2,)2，由点M 为OP 所在直线上的一个动点，可设点M 为3(,)4x x ， ∴3(4,)4AM x x =-u u u u r ，3(,3)4BM x x =-u u u u r --------------------------------------------------8分 ∴AM BM u u u u r u u u u r g 33(4)(3)44x x x x =-+-=22525()164x x x R =-∈------------------------------12分 ∴当2x =时，AM BM u u u u r u u u u r g 取得最小值，此时3(2,)2AM =-u u u u r ，3(2,)2BM =-u u u u r ,.AM BM AMB π=-∴∠=u u u u r u u u u r Q ----------------------------------------------------16分20．解：(Ⅰ)由已知，()(1)sin cos f x a x b x =-+()14f b a π==-由，可化简得： ----------------------------------------------------4分()1)sin()4f x a x π=-+于是0,,sin()242x x ππ⎤⎡⎤∈∴+∈⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q1()1)a f x a >∴≤-+=由条件 ----------------------------------------------8分()0,()42f x x f x π⎡⎤∈≤⎢⎥⎣⎦Q 函数对任意都有恒成立,4a ≤≤即,,a N ∈且2a ∴=())4f x x π∴=+ ----------------------------------------------------10分 (Ⅱ)()()1p f x q f x θ⋅+⋅-=由化简得，(cos )sin()sin cos()0442p q x q x p q ππθθ+⋅+-⋅+++-= x Q 上式对一切实数恒成立，cos 0(1)sin 0(2)(3)2p q q p q θθ⎧⎪+=⎪⎪∴=⎨⎪⎪+=⎪⎩ ----------------------------------------------------13分 (2),0,sin 0q θ≠∴=由式cos 1,(1)(3),cos 1θθ=∴=-若则式子矛盾2,()p q k k Z θππ===+∈解得，------------------------------------------------16分。