高一数学空间几何体的表面积与体积2

高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

1. 已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A．π B．2π C．3π D．4π

【答案】C.

【解析】正方体的对角线长为外接球的直径，因此，，因此

.

【考点】球的表面积公式.

2. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

【答案】S表面＝(60＋4)π．V＝π．

【解析】该图形旋转后是一个圆台除去一个倒放的圆锥，

则S表面＝S下底面＋S台侧面＋S锥侧面 ，

设圆台上，下地面半径是r1，r2,

则 S表面=π×r22＋π×(r2＋r1)×5＋π×r1×CD

V＝V台－V锥＝π(＋r1r2＋)AE－πr2DE，将数据代入计算即可。

试题解析：

如图，设圆台上，下地面半径是r1，r2,过C点作CF⊥AB，由∠ADC＝135°，CE⊥AD, CD=2得∠EDC＝45°，r1=" CE=" 2,

则CF=4，BF=3，CF⊥AB，得BC=5，r2=" AB=" 5,

∴S表面＝S下底面＋S台侧面＋S锥侧面

=π×r22＋π×(r2＋r1)×5＋π×r1×CD

＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2

＝(60＋4)π．

V＝V台－V锥

＝π(＋r1r2＋)AE－πDE

=π(＋2×5＋)4－π×2

＝π．

【考点】圆台，圆锥的表面积和体积.

3. 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．

(1)求证：ED⊥平面EBC；

(2)求三棱锥E－DBC的体积.

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】

(1)易得△DD1E为等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．

（2）需要做辅助线，取CD中点M，连接EM∥，DCB

第2讲 空间几何体的表面积和体积

基础知识整合

1．多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是01侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱 圆锥 圆台

侧面展开图

侧面积

公式 S圆柱侧＝

022πrl S圆锥侧＝

03πrl S圆台侧＝

04π(r1＋r2)l

3．柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

几何体 表面积 体积

柱体

(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝05Sh

锥体

(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝0613Sh

台体

(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋

S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋

S上S下)h

球 S＝074πr2 V＝0843πr3

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.

(3)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．

(4)设正四面体的棱长为a，则它的高为63a，内切球半径r＝612a，外接球半径R＝64a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

1．(2019·福州二模)设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )

A．100π B.256π3 C.400π3 D.500π3

答案 D

解析 由题意知切面圆的半径r＝4，球心到切面的距离d＝3，所以球的半径R＝r2＋d2＝42＋32＝5，故球的体积V＝43πR3＝43π×53＝500π3，即该西瓜的体积为500π3.

专题四 立体几何

第一讲 空间几何体的表面积与体积

——小题备考

微专题1 空间几何体的表面积和体积

常考常用结论

1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式：

①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；

②圆锥的表面积 S＝πr(r＋l)；

③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；

④球的表面积S＝4πR2.

2．柱体、锥体和球的体积公式：

①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；

③V球＝43πR3.

保 分 题

1.[2022·山东枣庄三模]若圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为( )

A．√6π B．√3π

C．√63π D．√33π

2．[2022·河北保定一模]圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )

A．1∶1 B．1∶2

C．2∶1 D．2∶3

3．[2022·湖北武汉二模]如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为( )

A．2√23 B．43

C．4√23 D．83

提 分 题

例1 (1)[2022·河北张家口三模]如图，在三棱柱ABC ­ A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC＝( )

A．13 B．12

C．2−√32 D．√3−12

(2)[2022·湖南雅礼中学二模]某圆锥高为1，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( )

A．2 B．√3

C．√2 D．1

听课笔记：

【技法领悟】

1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．

高一数学空间几何体的表面积与体积试题

1. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是 ． 【答案】 【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等， ，，，. 【考点】圆柱的体积公式应用. 2. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高. （1）证明：平面； （2）若，，，求三棱锥的体积； （3）证明：平面. 【答案】（1）见解析； （2）体积 （3）见解析

【解析】试题分析:（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.

试题解析:（1）证明：因为平面，

所以。

因为为△中边上的高，

所以。

因为，

所以平面。 4分

（2）连结，取中点，连结。

因为是的中点，

所以。

因为平面，

所以平面。

则，

。 8分

（3）证明：取中点，连结，。

因为是的中点， 所以。 因为， 所以，

所以四边形是平行四边形，

所以。

因为， 所以。

因为平面，

所以。

因为， 所以平面，

所以平面。 13分

【考点】（1）空间中线面垂直和平行的判定（2）几何体的体积.

3. 如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（ ）

A．8:27 B．2:3 C．4:9 D．2:9

【答案】C

【解析】由题意，故选C

【考点】球的体积和表面积