中国人口增长预测
本题是一个人口发展预测的问题。人口发展与一般种群增长一样，是由自然增长率决定的。然而，人类个体是一种社会的个体，所以人口发展有自己的特点。想到人口的迁移，性别比例，城镇化等。同时，人口发展受政策的影响，例如计划生育；也要受到人们意识的影响，像生育意识等。但是从社会层面上看，生育意识在整个社会上体现为妇女的生育模式，进而可以特别地去考虑。
思考方法：首先，数据的处理。在经过EXCEL分析和验证后，适当修正题中的个别有误数据后，利用有效数据进行建模求解，在此过程中，我们提取出死亡率、生育率等感念，且把人的一生按年龄分为青年期、衰老期等阶段。这是求解人口增长模型的必要过程和方法。
其次，模型建立。和一般的预测模型一样，本模型也是个预测模型，所以考虑到用题目所给的五年的信息，来推测今后几十年的人口的总数和结构情况。对此，我们选用差分方程模型和数据参数拟合等方法。同时，将死亡率与出生率分开分别计算和拟合，通过五年的实际数据拟合出相应函数的参数，再利用此函数进行评估和预测。
最后，利用已有信息以及上述所求出的对应函数和方程，对中短期与长期进行估计和预测，进而得出人口结构、人口比例、人口数量等一系列的相关数据。
以下是解答过程：
1.数据说明：
x：表示最大的年龄；
m
i=1,2,3,4,5,6 其中1表示市男性，2表示市女性，
3表示镇男性，4表示镇女性，
5表示乡男性，6表示乡女性；
A ：表示婴儿性别比例矩阵；
* ：表示点乘；
P(x,t)：表示t时刻年龄为x的人口数量；
i
bir(x,t)：表示t时刻年龄为x的出生率；
i
)(,i dea x t：表示t时刻年龄为x的死亡率；
)(i t k：表示t时刻婴儿的死亡率；
tra(x,t)：表示t时刻年龄为x的人口迁出率；
i
2.假设条件
1. 假设国内社会环境稳定，无异常大量死亡或出生情况发生，人口比例，人口
总数不会出现突变状况； 2. 假设只存在乡向城镇迁出，不存在其他迁移方式，且不同年龄段迁移率相同； 3. 假设不考虑国家之间的迁入与迁出，把中国内部看为一个封闭的模型； 4. 对于90岁以上的人都按照90岁处理； 5. 假设只存在乡向城镇迁出，不存在其他迁移方式，且不同年龄段迁出率相同，
按照0.6%均匀增长。
3.实际解答
)(,P x t =()(1,P x t ，)(2,P x t ，)(3,P x t ，)(4,P x t ，)(5,P x t ，)(6,P x t ）T
(,)dea x t =( 1(,)dea x t , 2(,)dea x t , 3(,)dea x t , 4(,)dea x t , 5(,)dea x t , 6(,)dea x t ) T
(,)bir x t =(1(,)bir x t ,2(,)bir x t ,3(,)bir x t ,4(,)bir x t ,5(,)bir x t ,6(,)bir x t T (,)tra x t =( 1(,)tra x t , 2(,)tra x t , 3(,)tra x t , 4(,)tra x t , 5(,)tra x t , 6(,)tra x t )T ()k t =( 1()k t , 2()k t , 3()k t , 4()k t , 5()k t , 6()k t ) T
2.由已有的人口模型可知：
()(),,P x x t t P x t t x +∆+∆-+∆∆+ ()()
,,P x t t P x t t
+∆-∆=—[tra(x,t)+dea(x,t)]*P(x,t))
使x ∆ →0，t ∆ →0，则可得：
P P
t x
∂∂+=∂∂—[tra(x,t)+dea(x,t)]*P(x,t)) 又由1994到2005年的城镇乡点的男女出生比例求平均值可得婴儿出生比例的矩阵A ，即：
00.5280
00000.47200000000.541000000.45900000000.545000000.455A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
最后结合条件可得人口微分模型:
00[(,)(,)]*(,)(0,)(1)*(,)*(,)(,0)()(,)0m x m P P
tra x t dea x t P x t t x P t k A bir x t P x t dx P x P x P x t ∂∂⎧+=-+⎪∂∂⎪⎪
=-⎨⎪
⎪=⎪
=⎩
⎰ （1）
将其转化成差分方程可得：
()()()()00,,,,[(,)(,)]*(,)
(0,)(1)*(,)*(,)(,0)()
(,)0
m
x m P x x t t P x t t P x t t P x t tra x t dea x t P x t x t
P t k A bir x t P x t x
P x P x P x t +∆+∆-+∆+∆-+=-+∆∆=-∆==∑
为了求解上述方程，则只需已知出生率，死亡率，迁移率的值，在模型求解中给出了其具体求解的方法。
衰老期的死亡率拟合
级别 市 镇
乡
性别
男 女 男 女 男 女 a 0.0828 0.0014 0.04646
0.080328
0.02744 0.02333 b
0.1016
0.1487
0.098536 0.104224
0.09723
0.1020
于是衰老期的死亡率可以表示为：（与t 无关）
0.1016x
10.1489x 20.09854x 30.10422x 40.09723x 50.1020x 60.0836e
dea (x,t)0.0014e dea (x,t)dea (x,t)0.04646e dea(x,t)dea (x,t)0.08033e dea (x,t)0.02744e dea (x,t)0.02333e ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
==⎨⎬⎨⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
有其数据可以发现其死亡率与时间几乎没有相关性，故对其求平均值可得其
