2.2直线的方程

2.2.2 直线的两点式方程教学设计

一、教学目标

1. 理解直线的两点式方程的概念和意义；

2. 能够根据给定的两个点确定直线的两点式方程；

3. 掌握直线的两点式方程与线性函数的关系。

二、教学准备

1. 教师准备：课件、黑板、粉笔；

2. 学生准备：纸笔、直尺。

三、教学过程

Step 1：引入

教师通过示意图引入直线的两点式方程的概念，引导学生思考通过两个已知点来确定一条直线的方式。提问学生：在平面直角坐标系中，如何用两个点来表示一条直线？

Step 2：概念解释

教师简要介绍直线的两点式方程的定义和表示方法。直线的两点式方程是通过直线上的两个点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)来表示直线的方程。可表示为：

(x - x₁)(y₂ - y₁) = (y - y₁)(x₂ - x₁)

其中，P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)为直线上两个已知点，(x, y)为直线上任意一点的坐标。

Step 3：计算实例

教师给出一个直线的两点坐标示例，并分步骤进行计算和演示。比如，直线上两点坐标分别为P(2, 5)和Q(4, 9)。教师先计算上式左边的乘积，再计算右边的乘积，最后得出直线的两点式方程为：

(x - 2)(9 - 5) = (y - 5)(4 - 2)

简化得出：

2x - 4y + 2 = 0

解释清楚每一步的计算过程和原理，引导学生逐步理解直线的两点式方程的推导过程。

Step 4：练习演练 教师在黑板上给出几道直线的两点式方程计算题目，要求学生自行计算并填写答案。提供足够的练习时间后，教师进行答案批改和讲解，对学生的错误进行指导和订正。

Step 5：小组合作

将学生分为小组，要求每个小组自行找出两个点并计算出对应的直线的两点式方程。鼓励学生之间进行讨论和合作，互相解答问题。每个小组选择一个代表进行展示，教师对答案进行点评和讲解。

Step 6：拓展应用

教师从日常生活中选取几个实际应用场景，引导学生根据给定的两个点，求出对应的直线的两点式方程，并解释该方程在这个场景中的意义和应用。如寻找地铁两个站点之间的最短路径、计算航线中飞机的飞行轨迹等。

2.2.2直线的两点式方程

教学设计

本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第二节《直线的方程》。以下是本单元的课时安排：

第二章 直线和圆的方程

课时内容 2.1直线的倾斜角与斜率 2.2直线的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式

所在位置 教材第51页 教材第59页 教材第70页

新教材

内容

分析 直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。

在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础. 围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点.“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．

核心素养培养 通过直线的倾斜角和斜率的求解，以及在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 通过直线方程的求法，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。

通过直线交点的求法，距离公式的应用，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。

教学主线 直线的方程的应用

在学生亲身体验直线的两点式与截距式这两种直线方程的求法，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。

1.掌握直线的两点式方程和截距式方程，培养数学抽象的核心素养．

2.会选择适当的方程形式求直线方程，提升数学运算的核心素养.

3.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题，培养逻辑推理的核心素养.

2．2.2直线的两点式方程

知识梳理

知识点直线的两点式方程和截距式方程

名称两点式截距式

条件两点P

1(x

1，y

1)，P

2(x

2，y

2)

(x

1≠x

2，y

1≠y2)在x，y轴上的截距分别为a，b

(a≠0，b≠0)

示意图

方程y－y

1

y

2－y

1＝x－x

1

x

2－x

1x

a＋yb＝1

适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点

题型探究

题型一、直线的两点式方程

1．已知点(1,2)A

、(1,2)B

，则直线AB的两点式方程是______．

【答案】21

42yx





【详解】直线的两点式方程为：11

2121yyxx

yyxx



，将点(1,2)A

、(1,2)B

代入得：21

42yx



.

故答案为：21

42yx



.

2．已知ABC的三个顶点分别为

7,4A

，

3,1B

，

5,2C

．

(1)求ABC的三边所在直线的方程；

(2)求ABC的三条中线所在直线的方程．

【答案】(1):54190ABxy；:3810BCxy；:6170ACxy；

(2)BC边上的中线716150xy；AB边上的中线20350xy；AC边上的中线

250xy

【详解】(1)由

7,4A

，

3,1B

，

5,2C

知直线AB的方程为47

1437yx



，整理得54190xy

直线BC的方程为(1)3

2(1)53yx



整理得3810xy

直线AC的方程为47

2457yx



，整理得6170xy

(2)BC的中点坐标为1

1,

2





，又

7,4A

所以BC边上的中线所在的直线方程为1

(1)

2

1

7(1)

4

2y

x







，整理得716150xy

AB的中点坐标为3

5,

2



，又

5,2C

所以AB边上的中线所在的直线方程为3

5

2

3

55

2

2y

x







，整理得20350.xy

AC的中点坐标为

1,3

，又

3,1B

1 / 3

2.2.2 直线方程的几种形式(一)

【学习要求】

1．理解直线在坐标轴上的截距的概念．掌握直线方程的点斜式，斜截式，两点式，截距式，并理解它们存在的条件．

2．能根据不同的条件，从直线方程的几种形式中选取适合的一种写出直线的方程．

【学法指导】

通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探研出直线的点斜式、斜截式、两点式方程；通过比较理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.

填一填：知识要点、记下疑难点

1．方程y－y0＝k(x－x0)是由直线上一点P0(x0，y0)和斜率k所确定的，称为直线方程的 点斜式 ．

2．方程y＝kx＋b叫做直线方程的 斜截式 ．其中k为斜率，b 叫做直线y＝kx＋b在y轴上的截距，简称为直线的截距．

3．经过直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 ，称为直线方程的两点式．

研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境]

给出一定点P0和斜率k，或给出两定点直线就可以唯一确定了．如果设直线上的任意一点P(x，y)，那么，如何建立P点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．

探究点一 直线的点斜式方程

问题1 已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)，如何求直线AB的斜率？

答： kAB＝y2－y1x2－x1.

问题2 在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？

答： 已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线；

已知两点也可以确定一条直线．

问题3 已知直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，如何来求直线l的方程？

答： 设点P(x，y)为直线l上不同于P0(x0，y0)的任意一点，则直线l的斜率k可由P和P0两点的坐标表示为k＝y－y0x－x0，即y－y0＝k(x－x0)．