1 2010年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2010•四川）i是虚数单位，计算i+i2+i3=（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】利用复数i的幂的运算，容易得到答案．
【解答】解：由复数性质知：i2=﹣1
故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1
故选A
【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．
2．（5分）（2010•四川）下列四个图象所表示的函数，在点x=0处连续的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的连续性．
【专题】数形结合．
【分析】根据连续的定义，函数f在x=0连续，满足两个条件f不仅在x=0处有极限且有定义，而且等于它的函数值．根据图象可知A函数在x=0无定义，B有间断点即极限不存在，C虽然有极限但是极限不等于f（0），得到正确答案即可．
【解答】解：由图象及函数连续的性质知，A中的函数在x=0处无意义，所以不连续；B中的函数x趋于0无极限，所以不连续；C中虽然有极限，但是不等于f（0），所以不连续；只有D满足连续的定义，所以D中的函数在x=0连续．所以D正确．
故选D
【点评】考查学生掌握连续的定义，会利用数学结合的数学思想解决实际问题．
3．（5分）（2010•四川）2log510+log50.25=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【考点】对数的运算性质．
【分析】根据对数运算法则可直接得到答案． 2 【解答】解：∵2log510+log50.25
=log5100+log50.25
=log525
=2
故选C．
【点评】本题主要考查对数的运算法则．
4．（5分）（2010•四川）函数f（x）=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（ ）
A．m=﹣2 B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1
【考点】函数的图象．
【专题】计算题．
【分析】根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可．
【解答】解：函数f（x）=x2+mx+1的对称轴为x=﹣
⇔﹣=1⇒m=﹣2．
答案：A．
【点评】本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题．
5．（5分）（2010•四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】先求出||=4，又因为=||=2=4，可得答案．
【解答】解：由=16，得||=4， ∵=||=4， 而 ∴=2
故选C．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属基础题．
6．（5分）（2010•四川）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin（x﹣） D．y=sin（x﹣）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 3 【专题】分析法．
【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．
【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．
7．（5分）（2010•四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ）
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数
【解答】解：设甲车间加工原料x箱，
乙车间加工原料y箱， 则
目标函数z=280x+200y
结合图象可得：当x=15，y=55时z最大．
故选B．
【点评】在解决线性规划问题是，我们常寻找边界点，代入验证确定最值
8．（5分）（2010•四川）已知数列{an}的首项a1≠0，其前n项的和为Sn，且Sn+1=2Sn+a1，则=（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【考点】极限及其运算；等比数列的前n项和． 4 【专题】计算题．
【分析】由题意知an+2=2an+1，再由S2=2S1+a1，即a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1，知{an}是公比为2的等比数列，所以Sn=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=（2n﹣1）a1，由此可知答案．
【解答】解：由Sn+1=2Sn+a1，且Sn+2=2Sn+1+a1
作差得an+2=2an+1
又S2=2S1+a1，即a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1
故{an}是公比为2的等比数列
Sn=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=（2n﹣1）a1 则
故选B
【点评】本题考查数列的极限和性质，解题时要认真审题，仔细解答．
9．（5分）（2010•四川）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得的范围即离心率e的范围．
【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=
|PF|∈[a﹣c，a+c] 于是∈[a﹣c，a+c]
即ac﹣c2≤b2≤ac+c2 ∴
又e∈（0，1）
故e∈． 5 【点评】本题主要考查椭圆的基本性质．属基础题．
10．（5分）（2010•四川）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）
A．72 B．96 C．108 D．144
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有3种选法，对于5要求比较多，需要分类，若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数原理，
先选一个偶数字排个位，有3种选法，
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，有A32种，然后剩下的两个位置全排列，共有2A32A22=24个；
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，有A22种，然后剩下的两个位置全排列，共3A22A22=12个
根据分步计数原理知共计3（24+12）=108个
故选C
【点评】本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个数字问题，这种问题的限制条件比较多，注意做到不重不漏．
11．（5分）（2010•四川）半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（ ）
A． B． C． D．
【考点】球面距离及相关计算．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】求解本题需要根据题意求解出题目中的角MON的余弦，再代入求解，即可求出MN的两点距离．
【解答】解：由已知，AB=2R，BC=R，
故tan∠BAC=
cos∠BAC=
连接OM，则△OAM为等腰三角形 6 AM=2AOcos∠BAC=，
同理AN=，且MN∥CD
而AC=R，CD=R
故MN：CD=AM：AC MN=，
连接OM、ON，有OM=ON=R
于是cos∠MON=
所以M、N两点间的球面距离是．
故选A．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是中档题．
12．（5分）（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．5
【考点】基本不等式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先把整理成，进而利用均值不等式求得原式的最小值．
【解答】解： = =
≥0+2+2=4
当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立 7 如取a=，b=，c=满足条件．
故选B
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．主要口考查了运用基本不等式求最值的问题．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2010•四川）的展开式中的第四项是
﹣
．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题．
【分析】利用二项式的展开式的通项公式求出第4项．
【解答】解：T4=
故答案为：﹣
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
14．（4分）（2010•四川）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|= 2 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解．
【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，
圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，
故，
得|AB|=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题．
15．（4分）（2010•四川）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是 ．
【考点】平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．
