正弦、余弦函数的性质(一)

1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)

教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；

能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发

学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用

教学过程：

一、复习引入：

1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

值sin x

0101-0101-

–

–

π

2

π

2

π

-2π5ππ-

2π

-

5π

-O x

y 1

1-

正弦函数()sin f x x =性质如下：

（观察图象） 1︒ 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2︒ 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重

复出现）

3︒ 这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．

也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课：

1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 6

36π

ππ+

=，能否说23

π

是它的周期？

（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？

（2k π，k Z ∈且0k ≠）

（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？

（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2、说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）

3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）

周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期） 从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； 判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最

小正周期） 3、例题讲解

例 1 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin =（3）

12sin()26y x π

=-，x R ∈．

解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，

∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现，

所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，

∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现，

所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．

（3）∵1112sin(2)2sin[()]2sin()2

62

626

x x x ππ

π

ππ-+=+-=-， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能

重复出现，

所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π． 练习1。求下列三角函数的周期：

1︒ y=sin(x+3

π) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2

x +5

π)

解：1︒ 令z= x+3

π 而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z)

f [(x+2)π+ 3

π]=f (x+3

π) ∴周期T=2π

2︒令z=2x ∴ f

(x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]

即：f (x +π)=f (x ) ∴T=π

3︒令z=2

x +5π 则：f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5

π+2π)

=3sin(

5

24π

π++x )=f (x +4π) ∴

T=4π

思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪

些量有关？ 说明：（1）一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其

中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠，0ω>）的周期2T π

ω

=

；

（2）若0ω<，如：①3cos()y x =-； ②sin(2)y x =-； ③1

2sin()2

6

y x π

=--，x R ∈．

则这三个函数的周期又是什么？

一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||

T π

ω=

思考： 求下列函数的周期： 1︒y=sin(2x+4

π)+2cos(3x-6

π) 2︒

y=|sinx|

解：1︒ y 1=sin(2x+4

π) 最小正周期T 1=π y 2=2cos(3x-6

π) 最小

正周期 T 2=3

2π

∴T 为T 1 ,T 2

2︒ T=π 作图

三、小 结：本节课学习了以下内容：

周期函数的定义，周期，最小正周期