2015年高考小题精练(二十二) 数学思想
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小题精练(二十二) 数学思想
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1．(2013·高考江西卷)等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
2．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
3．若方程sin2x＋2sin x＋a＝0有解，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，1] B．(－∞，1]
C．[1，＋∞) D．[－1，1]
4．若a，b是互相垂直的两个单位向量，且向量c满足(c－a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值
为( )
A．1 B.2
C.3 D．1＋2
5．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )
A.893 B．43
C.293 D．43或833
6．过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直
线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
7．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(
)
A.52 B.72
C.154 D.152
8．方程m＋1－x＝x有解，则m的最大值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－2
9．(2014·泉州模拟)设不等式2x－1＞m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立， 则x的取值范围是( )
A.0，34 B．(2，＋∞)
C.34，＋∞ D．(－∞，2)
10．(2013·高考新课标全国卷)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
11．(2013·高考北京卷)设关于x，y的不等式组2x－y＋1＞0，x＋m＜0，y－m＞0表示的平面区域内存在点
P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )
A.－∞，43 B.－∞，13
C.－∞，－23 D.－∞，－53
12．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1、x2，则( )
A．x1x2＜0 B．x1x2＝1
C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
13．(2014·温州市高三质检)方程(x－1)·sin πx＝1在(－1，3)上有四个不同的根x1，x2，
x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．
14．设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
15．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________．
16．(2013·高考天津卷)设 a＋b＝2，b＞0，则12|a|＋|a|b的最小值为________．
小题精练(二十二)
1．解析：选A.由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．解析：选B.把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y.
3．解析：选A.令f(x)＝sin2x＋2sin x，则f(x)的值域是[－1，3]，因为方程sin2x＋2sin x＋a＝0一定有解，所以－1≤－a≤3，∴－3≤a≤1.
4．解析：选B.(c－a)·(c－b)＝0可整理为c2－(a＋b)·c＋a·b＝0，∵a·b＝0，∴c2－(a＋b)·c＝0.若c＝0，则|c|＝0；若c≠0，则c＝a＋b，c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＝2，∴|c|＝2，即|c|的最大值为2.选B.
5．解析：选D.分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．易知D正确．
6．解析：选B.由2x2－y2＝2，得x2－y22＝1.
当l无斜率时，|AB|＝2b2a＝4，符合要求．
当l有斜率时，若A、B两点都在右支上，则|AB|＞4不符合要求．
A、B在左、右两支上，有两条．所以共3条．
7．解析：选A.利用因式分解法解一元二次不等式寻求a的关系式后代入求解．
由x2－2ax－8a2<0(a>0)得(x＋2a)·(x－4a)<0(a>0)，即－2a 即x2－x1＝15得4a－(－2a)＝15，即6a＝15，所以a＝52，故选A. 8．解析：选A.由原式得m＝x－1－x， 设1－x＝t(t≥0)， 即m＝1－t2－t＝54－t＋122， ∴m＝54－t＋122在[0，＋∞)上是减函数，∴t＝0时，m的最大值为1. 9．解析：选C.原不等式即(x－1)m－(2x－1)＜0，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数f(m)的值在区间[－2，2]内恒为负时应满足的条件， 得f（2）＜0，f（－2）＜0， 即2（x－1）－（2x－1）＜0，－2（x－1）－（2x－1）＜0， 解得x＞34. 10．解析：选D.把参数a分离出来，利用导数知识进行求解． ∵2x(x－a)<1，∴a>x－12x. 令f(x)＝x－12x，∴f′(x)＝1＋2－xln 2>0. ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1， ∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 11．解析：选C.作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解．当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m＜0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域． 要使可行域内包含y＝12x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝12x－1的下方即可，即m＜－12m－1，解得m＜－23. 12．解析：选D.构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图象，如图所示，因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2＜－1，－1＜x1＜0，则10x1＝－lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，因此10x2－10x1＜0，所以lg(x1x2)＜0，即0＜x1x2＜1，选D. 13．解析：方程(x－1)sin πx＝1⇔sin πx＝1x－1，即可转化为函数y＝sin πx与y＝1x－1(－1＜x＜3)的交点的横坐标，两个函数的图象如图所示，而且两个函数的图象都关于点(1，0)对称，因此它们的交点也关于(1，0)对称，故x1＋x2＋x3＋x4＝4. 答案：4 14．解析：∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2＝3xy＋1＝32×2xy＋1≤32×2x＋y22＋1，∴(2x＋y)2≤85， (2x＋y)max＝2105. 答案：2105 15．解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33 ＝33＋n2－n， ∴ann＝33n＋n－1. 设f(x)＝33x＋x－1， 令f′(x)＝－33x2＋1＞0， 则f(x)在(33，＋∞)上单调递增，在(0，33)上单调递减． 答案：212 16．解析：当a＞0时，12|a|＋|a|b＝12a＋ab＝a＋b4a＋ab＝14＋b4a＋ab≥54； 当a＜0时，12|a|＋|a|b＝1－2a＋－ab＝a＋b－4a＋－ab＝－14＋b－4a＋－ab≥－14＋1＝34. 综上所述，12|a|＋|a|b的最小值是34. 答案：34
