离散系统

离散控制系统
离散系统导入与概念（压缩控制过程，提高效率）
前面几章我们学习的都是连续控制系统，连续系统的特点是系统中各元件的输入与输出信号都是时间的连续函数。

（但是我们现在所接触到的很多都是离散的信号，比如说计算机信息处理（举例，图片）。

）但是近些年来，随着计算机以及数字式通信电路的大量使用，很多情况下信号不是连续的，而是离散的数字信号，很多过程用模拟控制器无法实现，我们只能借助于软件编程的方式。

同时数字控制有很好的通用性可以很方便的改变控制规律。

而且数字设备所能达到的精度和性能远远高于连续模拟设备，使得绝大多数的精密控制系统和复杂的过程走向数字化。

因此，离散控制系统也显得越来越重要。

那为什么我们在前面花了绝大多数时间学习的都是连续系统，而只花三次课的时间去学习离散系统呢？这就是因为离散系统的研究与分析方法在很大程度上与连续系统是相似的。

我们在实验或者研究过程中使用实际的连续模拟系统，等我们把连续系统研究的比较成熟了，再借助这个平台，利用他们的相似性，把连续系统的控制理论和方法推广到离散系统，这样就极大地简化了研究或者设计的过程。

需要说明的是，离散系统与连续系统在本质上是不同的，但是对于某些系统，比如说线性系统，离散线性系统和连续线性系统性质上有很大的相似性，我们就可以借助已经学习的连续线性系统的分析研究方法去研究分析离散线性系统，从而满足我们的需要。

这一点我们在其他课程比如说数字信号处理中也接触过。

离散系统概念以及常用术语
离散系统：当系统中只要有一处的信号是脉冲信号或者数码的，就是离散系统。

也就是说这些信号是定义在离散时间上的，在间隔上没有定义。

脉冲控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列即为脉冲控制系统。

时间上离散分布，幅值上任意可取的，幅值代表脉冲强度，也叫采样控制系统。

数码控制系统：系统中的离散信号是数码的极为数码控制系统。

时间上离散对应，幅值上整量化。

也就是一个基数的整数倍。

一般情况下，这个基数可以取得很小，也就实现了数码信号的连续性，也可以看成是脉冲信号，所以区别这两个意义不是很大，在理想采样与忽略误差情况下，数码控制系统近似于脉冲控制系统，他们统称为离散系统，分析和设计的理论方法都是一致的。

这地方制作简单介绍。

开环采样系统：系统本身不存在闭环回路或者采样器位于闭环回路之外的采样系统。

闭环采样系统：采样器位于闭环回路中的采样系统。

线性采样：采样器的输出信号与输入信号之间存在线性关系的采样方式。

线性采样系统：采样器和系统其余部分都具有线性特性时就称此系统为先行采样系统。

采样：把连续信号变成数码或者脉冲序列的过程。

采样器：实现采样的装置，如机电开关或者A/D转换器。

保持器：从离散信号中，将连续信号恢复出来的装置称为保持器。

如D/A转换器等
采样分类：单个：周期采样：采样开关等间隔开闭
多速采样：个采样开关以不同的速度采样。

随机采样：没有规律，没有周期的采样。

一群：同步采样：多个开关等周期同时开闭。

非同步采样：多个采样开关等周期但不同时开闭。

离散系统特殊环节与特点
离散系统的优点：（挑两点着重讲）
（１）在很多场合，其结构上比连续系统简单；
（２）其检测部分具有较高的灵敏度；
（３）离散信号的传递，可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力。

同时信号传递和转换精度较高；
（４）数字控制器软件编程灵活，可方便地改变控制规律，控制功能强；（５）可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备利用率，经济性好；（６）对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入采样的方式稳定并具有良好的动态特性。

无论是怎样的离散系统，系统中都存在离散信号和连续信号。

我们为了简化或者压缩控制过程或者说控制信息而引入了离散信号，而离散信号是不能直接作用于模拟装置，因为大多数被控对象其输入和输出都是连续的模拟量，所以我们不仅需要把连续信号转换离散信号，还要把离散信号恢复成为连续信号作用在被控对象上，这样就产生了两个特殊环节，采样环节与保持环节，分别对应采样器与保持器（图），下面我们将重点介绍这两个环节。

离散系统的实现
获取离散信号
采样过程与采样定理
把连续信号转换为离散信号的过程，叫做采样过程。

也就是把连续信号加到采样开关的输入端，采样开关每隔一定时间闭合一次，持续时间为t，那么我们就可以在输出端得到宽度为t的脉冲序列。

采样过程中由于开关闭合时间很短，远远小于采样周期T，因此e(t)在这么短的时间内可以认为是不变的，所以e*(t)可用下面的矩形脉冲串来表示。

其中1(t-kT)-1(t-kt-t)，表示高为1，宽为t，面积为t的矩形。

那么当t趋于零时，它就成为我们很熟悉的脉冲函数Δ。

那么采样信号就可以表示为：e*(t)=t∑…
这样我们就得到了我们所需要的离散信号的数学表示。

我们可以看到当采样开关为理想开关时，即采样时间t很小可以忽略不计时，理想采样的数学表达式就成为e*(t)=∑…，也就是说每个采样脉冲的强度就等于连续脉冲采样时刻的幅值。

最后我们就可以把理想采样器看做一个脉冲调制器，采样过程就可以看做是连续信号对单位脉冲序列进行幅度调制。

那么此时就有，e*(t)=∑e(t)Δ(t-kT)
采样过程频谱分析：
我们知道，采样过程实际上是对连续信号进行了压缩，那么怎样压缩才能使我们需要的关键信号不丢失或者说不失真呢？我们就要借助频谱分析发进行分析。

所谓频谱，我们都不陌生，也就是一个时间函数所含有不同频率谐波成分的分布情况，对于所给的信号，只要满足傅里叶积分条件，可以展开成
e(t)=∑…
有刚才的分析我们得到e(t)=Δ∑…
而对于Δ我们可以得到它的傅里叶级数为…
代入到e(t)中我们就得到
再经过拉式变换得到E*(s)=
s=jw代换，可得到E*(jw)=
我们可以看到，它是连续信号频谱的周期化，它的周期就等于ws。

见图
与原频谱相比，它的形状是一致的，而幅值变化了1/T倍。

实际上是个频谱分量的求和，那么我们从图上可以看到是有可能重叠的，那么怎样才能保证没有重叠或者不失真呢，我们就要引入采样定理。

香农采样定理：如果被采样的连续信号频谱是有限带宽，并且频谱的最高角频率是Wmax，那么只要采样频率满足Ws>=2Wmax,就能保证原信号被不失真的恢复出来。

物理解释：采样频率越高，采样精度就越高，包含信息就越多，就可以越精确的恢复出原信号。

说明：1、高频段幅值小，畸变不明显，或者滤波。

2、适当选取ws
那么通过以上过程，我们按照条件获取了离散信号，我们怎样把它变成连续信号以用来控制模拟控制器呢？下面我们就介绍一下信号的恢复。

信号恢复：
基本原理：由上面我们知道，我们要得到失真相对较小的信号，这就要求信号中的高频分量去除掉。

我们这里介绍一种符合我们需要的滤波器，就是保持器。

它实际上是一种时间上的延迟装置，具有按常数延迟，按线性延迟以及按二次函数延迟的保持器分别称为零阶一阶和二阶保持器。

这里我们以零阶保持器为例简单介绍它的工作原理以及频率特性。

工作原理：他把采样时刻的值恒定不变的保持到下一个采样时刻也就是在两个采样时刻之间，它的值是不变的。

如图所示。

有图可以看到，如果把阶梯信号的中点连接起来，它的形状与原信号是一样的只不过是时间上延迟了T/2,T是抽样间隔。

如果减小T就可以提高精度。

下面我们从数学的角度去描述它的特性。

保持信号：e(t)=∑…
由我们刚才分析的可以知道如果我们在保持器的输入端加入Δ函数，我们可以得到
g(t)=1(t)-1(t-T)。

取拉氏变换可以得到G(s)=
将s=jw带入得到G(jw)=
分别取幅频特性与相频特性，有
分析可得：它是一个低通滤波器，但是高频分量仍然可以通过，因此恢复出来的信号与原信号相比还是有差别的。

另外，我们可以看到它的相角都是负的，因此也是延迟的，会在原来的基础上加大相角的滞后，最终会导致系统的稳定性下降。

高阶保持器是按照多个时刻的采样值去预测下一时刻的采样值。

高阶保持器相对而言恢复出来的信号更接近于原信号，但同时滞后更严重，引入系统之后会导致离散系统的稳定性严重下降，再加上零阶保持器的设计更为简便，易于实现，性能基本满足要求，因此我们常用零阶保持器。

下面我们进行一下小结：
这次课我们首先介绍了离散系统以及它的特点，包括两个环节。

然后我们学写了采样过程与采样定理，最后我们学习了信号的恢复以及保持器的简介。

这就是这次课的内容。