四川省成都市2017届高三高中毕业班摸底测试理数试题

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数()22i +的共轭复数为（ ） A ．34i - B ．34i + C ．54i - D ．54i + 【答案】A2.设向量()2 1 3x =-m ，，向量()1 1=-n ，，若⊥m n ，则实数x 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：021302x x ⊥⇒⋅=⇒--=⇒=m n m n ，选C. 考点：向量垂直坐标表示【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.3.设集合{}1 1A =-，，集合{}1 B x ax a R ==∈，，则使得B A ⊆的a 的所有取值构成的集合是（ ） A ．{}0 1，B ．{} 1-0 ，C ．{}1 1-，D ．{}1 0 1-，，【答案】D4.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．45B ．55 C.66 D ．110 【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环1,2S i ==；第二次循环3,3S i ==；第三次循环6,4S i ==；第四次循环10,5S i ==；依次类推，得第十次循环1+2++1055,11S i ===；结束循环，输出55,S =选B.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个.小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ）A ．96种B ．120种 C.480种 D ．720种 【答案】C6.函数()()sin 0 0 2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()2sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 试题分析：52552,,2,2sin 222()41261262T A T k k Z T πππππππωϕϕπ⎛⎫==-⇒===⨯+=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭2(),323k k Z πππϕπϕϕ⇒=-+∈<∴=-，所以选B.考点：三角函数解析式【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.7.设直角坐标平面内与两个定点()2 0A -，、()2 0B ，的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E .C 是轨迹E 上一点，直线BC 垂直于x 轴，则AC BC ⋅=（ ）A ．9-B ．3- C.3 D ．9 【答案】D8.利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为()1 2 9d d =，，…，的概率为P .下列选项中，最能反映P 与d 的关系的是（ ）A ．1lg 1P d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．12P d =+ C.()25120d P -= D ．3152d P =⨯【答案】A 【解析】试题分析：P 是d 的减函数，所以去掉C; 由(1)(2)(9)1P P P +++=得，选A:对于1lg 1P d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2310(1)(2)(9)lg lg101129P P P +++=⨯⨯⨯==； 对于12P d =+，111(1)(2)(9)13411P P P +++=+++>；对于3152d P =⨯，911(1)322(1)(2)(9)11512P P P -+++=<- 考点：频数分布图9.如图，12 A A ，为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点， S Q T ，，为椭圆上不同于12A A ，的三点，直线12 QA QA OS ，，，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A ．5 B．3．14 【答案】D10.设 a b ，是不相等的两个正数，且ln ln b a a b a b -=-，给出下列结论： ①1a b ab +->；②2a b +>；③112a b+>. 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③ C.②③ D ．①②③【答案】D二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在6⎛ ⎝的展开式中，含3x 项的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】64 【解析】试题分析：()66316621rr rrr r r r T C C x ---+⎛==- ⎝，所以由33,0r r -==，得含3x 项的系数是()00662164.C -=考点：二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．【答案】π13.已知tan 3α=，则3sin sin 2παα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 ．【答案】310- 【解析】试题分析：23tan 33sin sin sin cos 21tan 1910παααααα⎛⎫-=-=-=-=- ⎪++⎝⎭考点：弦化切【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

2017年四川省成都市⾼考数学⼆诊试卷（理科）2017年四川省成都市⾼考数学⼆诊试卷（理科）⼀、选择题（共12⼩题；共60分）1. 设集合A=?1,2，B=y y=x2,x∈A，则A∩B=A. 1,4B. 1,2C. ?1,0D. 0,22. 若复数z1=a+i a∈R，z2=1?i，且z1z2为纯虚数，则z1在复平⾯内所对应的点位于A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在等⽐数列a n中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=A. 12B. 18C. 24D. 364. 已知平⾯向量a，b的夹⾓为π3，且a=1，b=12，则a+2b与b的夹⾓是A. π6B. 5π6C. π4D. 3π45. 若曲线y=ln x+ax2（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是A. ?12,+∞ B. ?12,+∞ C. 0,+∞ D. 0,+∞6. 若实数x，y满⾜不等式2x+y+2≥0,x+y?1≤0,y≥m,且x?y的最⼤值为5，则实数m的值为A. 0B. ?1C. ?2D. ?57. 已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平⾯，且m?α，n?β．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知函数f x=a x（a>0，a≠1）的反函数的图象经过点22,12．若函数g x的定义域为R，当x∈?2,2时，有g x=f x，且函数g x+2为偶函数，则下列结论正确的是A. gπB. gπC. g 2D. g 29. 执⾏如图所⽰的程序框图，若输⼊a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为A. 1.125B. 1.25C. 1.3125D. 1.37510. 已知函数f x=sinωx+2φ?2sinφcosωx+φω>0,φ∈R在π,3π2上单调递减，则ω的取值范围是A. 0,2B. 0,12C. 12,1 D. 12,5411. 设双曲线C:x2a ?y2b=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左⽀的⼀个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离⼼率为A. B. ?3+624C. D. 3+62712. 把平⾯图形M上的所有点在⼀个平⾯上的射影构成的图形M?叫作图形M在这个平⾯上的射影．如图，在三棱锥A?BCD中，BD⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，将围成三棱锥的四个三⾓形的⾯积从⼩到⼤依次记为S1，S2，S3，S4，设⾯积为S2的三⾓形所在的平⾯为α，则⾯积为S4的三⾓形在平⾯α上的射影的⾯积是A. 2 34B. 252C. 10D. 30⼆、填空题（共4⼩题；共20分） 13. 在⼆项式 ax 2+x5的展开式中，若常数项为 ?10，则 a = ______．14. 在⼀个容量为 5 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨⽔污损了两个数据，其中⼀个数据的⼗位数字 1 未污损，即 9，10，11，S 2 可能的最⼤值是______．15. 如图，抛物线 y 2=4x 的⼀条弦 AB 经过焦点 F ，取线段 OB 的中点 D ，延长 OA ⾄点 C ，使OA = AC ，过点 C ，D 作 y 轴的垂线，垂⾜分别为 E ，G ，则 EG 的最⼩值为 ______．16. 在数列 a n 中，a 1=1，a n =n 2n ?1a n?1 n ≥2,n ∈N ? ，则数列 an n 的前 n 项和 T n = ______．三、解答题（共7⼩题；共91分）17. 如图，在平⾯四边形 ABCD 中，已知∠A =π2，∠B =2π3，AB =6，在 AB 边上取点 E ，使得BE =1，连接 EC ，ED ．若∠CED =2π3，EC = 7．（1）求 sin ∠BCE 的值；（2）求 CD 的长．18. 某项科研活动共进⾏了 5 次试验，其数据如表所⽰：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x 555559551563552y 601605597599598（附：回归直线的斜率和截距的最⼩⼆乘法估计公式分别为 b =i ?x i ?yni =1x ?x2n ，a =y ?b x ）（1）从 5 次特征量 y 的试验数据中随机地抽取两个数据，求⾄少有⼀个⼤于 600 的概率；（2）求特征量 y 关于 x 的线性回归⽅程 y =b x +a ，并预测当特征量 x 为 570 时特征量 y 的值．19. 如图，已知梯形CDEF与△ADE所在平⾯垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．（1）若G为AD边上⼀点，DG=13DA，求证：EG∥平⾯BCF；（2）求⼆⾯⾓E?BF?C的余弦值．20. 在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知椭圆E:x2a +y2b=1a>b>0，圆O:x2+y2=r20若圆O的⼀条切线l:y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（1）当k=?12，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的⽅程；（2）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．21. 已知函数f x=a ln x?x+1x，其中a>0．（1）若f x在2,+∞上存在极值点，求a的取值范围；（2）设x1∈0,1，x2∈1,+∞，若f x2?f x1存在最⼤值，记为M a．则a≤e+1e时，M a是否存在最⼤值?若存在，求出最⼤值；若不存在，请说明理由．22. 在直⾓坐标系xOy中，曲线C的参数⽅程为x=2cosα,y=2+2sinα（α为参数），直线l的参数⽅程为x=3?32t,y=3+12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为23,θ，其中θ∈π2,π．（1）求θ的值；（2）若射线OA与直线l相交于点B，求AB的值．23. 已知函数f x=4? x? x?3，（1）求不等式f x+32≥0的解集；（2）若p，q，r为正实数，且13p +12q+1r=4，求3p+2q+r的最⼩值．第⼀部分1. D2. A3. B4. A5. D6. C7. B8. C9. D 10. C11. D 12. A 第⼆部分 13. ?2 14. 32.8 15. 4 16. 2nn +1 第三部分17. （1）在△CBE 中，由正弦定理得，CE sin B=BE sin ∠BCE，sin ∠BCE =BE sin B CE=1×327=2114．（2）在△CBE 中，由余弦定理得 CE 2=BE 2+CB 2?2BE ?CB cos120°，即 7=1+CB 2+CB ，解得 CB =2．由余弦定理得 CB 2=BE 2+CE 2?2BE ?CE cos ∠BEC ?cos ∠BEC =2 77．?sin ∠BEC =217， sin ∠AED =sin 120°+∠BEC= 3×2 7?1× 21= 2114, ?cos ∠AED =，在直⾓△ADE 中，AE =5，AEDE =cos ∠AED =5 714，?DE =2 7，在△CED 中，由余弦定理得 CD 2=CE 2+DE 22CE DE cos120°=49，∴CD =7．18. （1）从 5 次特征量 y 的试验数据中随机地抽取两个数据，共有 C 52=10 种⽅法，都⼩于 600，有 C 32=3 种⽅法，所以⾄少有⼀个⼤于 600 的概率 =710=0.7．（2） x =556，y =600，b= i x i yn i =1 x ?x2n i =1=1 ×1+3×5+ 5 × 3 +7× 1 + 4 ×2 =0.3,bx =433.2，所以 y =0.3x +433.2， x =570，y =604.2，即当特征量x为570时特征量y的值为604.2．19. （1）因为梯形CDEF与△ADE所在平⾯垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，所以以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，DA为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，因为AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF，G为AD边上⼀点，DG=1 3DA，E0,4,0，G0,0,433，B 3,0,43，C12,0,0，F9,4,0，BC=9,0,?43，BF=6,4,?43，EG=0,?4,433，设平⾯BCF的法向量n=x,y,z，则n?BC=9x?43z=0,n?BF=6x+4y?43z=0.取z=33，得n=4,3,33，因为EG?n=?12+12=0，EG?平⾯BCF，所以EG∥平⾯BCF．（2）EB=3,?4,43，EF=9,0,0，设平⾯BEF的法向量n=a,b,c，则m?EB=3a?4b+43c=0,m?EF=9a=0.取c=1，n=0,3,1，平⾯BFC的法向量n=4,3,33，设⼆⾯⾓E?BF?C的平⾯⾓为θ，则cosθ= m ?nm ? n =3252=33926．所以⼆⾯⾓E?BF?C的余弦值为33926．20. （1）依题意原点O到切线l:y=?12x+m的距离为半径1，1+1=1，?m=52，切线l:y=?12x+52，?A0,52，B 5,0，所以a=5，b=52，所以椭圆E的⽅程为：x 25+y254=1．（2）设A x1,y1，B x2,y2，a+y2b=1,得b2+a2k2x2+2a2kmx+a2m2?a2b2=0．Δ=2a2km2?4b2+a2k2a2m2?a2b2．x1+x2=?2a2kmb+a k ，x1x2=a2m2?a2b2b+a k因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，所以OA?OB=x1x2+y1y2=0；k2+1x1x2+km x1+x2+m2=0，所以m2a2+b2=k2+1a2b2,①⼜因为圆O的⼀条切线l:y=kx+m，所以原点O到切线l:y=kx+m的距离为半径r?m2=1+k2r2,②由①②得r2a2+b2=a2b2．所以以AB为直径的圆经过坐标原点O，则a，b，r之间的等量关系为：r2a2+b2=a2b2．21. （1）f?x=ax ?1?1x2=?x2?ax+1x2，x∈0,+∞，由题意得，x2?ax+1=0在x∈2,+∞上有根（不为重根），即a=x+1 x在x∈2,+∞上有解，由y=x+1x在x∈2,+∞上递增，得x+1x ∈52,+∞ ，时，f x在x∈2,+∞上存在极值点，所以a∈52,+∞ ．（2）若0因为f?x=?x 2?ax+1x2在0,+∞上满⾜f?x≤0，所以f x在0,+∞上递减，所以f x2?f x1<0，所以f x2?f x1不存在最⼤值，则a>2；所以⽅程x2?ax+1=0有2个不相等的正实数根，令其为m，n，且不妨设0则m+n=a, mn=1.，f x在0,m递减，在m,n递增，在n,+∞递减，对任意x1∈0,1,有f x1≥f m，对任意x2∈1,+∞,有f x2≤f n，所以f x2?f x1max=f n?f m，所以M a=f n?f m=a ln nm +m?n+1n1m，将a=m+n=1n +n，m=1n代⼊上式，消去a，m得：M a=21n +n ln n+1nn ，因为2e，所以1n +n≤e+1e，n>1，由y=x+1x在x∈1,+∞递增，得n∈1,e，设 x=21x +x ln x+21xx ，x∈1,e，x=211xln x，x∈1,e，所以 ?x>0，即 x在1,e递增，所以 x max= e=4e，所以M a存在最⼤值为4e．22. （1）曲线C的参数⽅程为x=2cosα, y=2+2sinα（α为参数），普通⽅程为x 2+y?22=4，极坐标⽅程为ρ=4sinθ，因为点A的极坐标为2θ，θ∈π2,π，所以θ=2π3．（2）直线l的参数⽅程为x=3?322t（t为参数），普通⽅程为x+3y?43=0，点A的直⾓坐标为 ?3，射线OA的⽅程为y=?x，代⼊x+3y?43=0，可得B ?23,6，所以AB=3+9=23．23. （1）f x+32≥0，即x+32+x?32≤4，x≤?32，不等式可化为?x?32x+32≤4，所以x≥?2，所以?2≤x≤?32；322，不等式可化为x+32x+32≤4恒成⽴；x≥32，不等式可化为x+32+x?3所以x≤2，所以32≤x≤2，综上所述，不等式的解集为?2,2；（2）因为13p +12q+1r3p+2q+r≥1+1+12=9，13p+12q+1r=4，所以3p+2q+r≥94，所以3p+2q+r的最⼩值为94．。

理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合2{|10}A x x =->，2{|log 0}B x x =>，则A B = （ ） A ．{|1}x x > B ．{|0}x x > C ．{|1}x x <- D ．{|11}x x x <->或2.已知21zi i=++，则复数z =（ ） A ．13i -+ B ．13i - C ．13i -- D ．13i +3.设曲线21y x =+及直线2y =所围成的封闭图形为区域D ，不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ，在区域E 内随机取一点，该点恰好在区域D 的概率为（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．124. 若随机变量X 服从正态分布(5,1)N ，则(67)P X <<=（ ） A ．0.1359 B ．0.3413 C ．0.4472 D ．15. 已知函数43232()(2037)(23)()f x x x x x k x x kx x k =+++++++，在0处的导数为27，则k =（ ）A ．-27B ．27C ．-3D ．36. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程^0.70.35y x =+，那么表中m 的值为？（ ）A ．4B ．3.5C ．3D ．4.57.化简112211222(1)2n n n n n n n n C C C -----⨯+⨯++-⨯= （ ）A ．1B ．(1)n -C ．1(1)n +-D ．1(1)n --8.已知在ABC ∆中，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，P 是AB 上的点，则P 到,AC BC的距离的乘积的最大值为（ ）A ．3B ．2CD ．99.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，则角B 的度数为（ ）A ．120B ．135C ．60D ．4510. 如果某射手每次射击击中目标的概率为0.74，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标儿几次（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．911.函数()f x 的定义域为R ，以下命题正确的是（ ）①同一坐标系中，函数(1)y f x =-与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称； ②函数()f x 的图象既关于点3(,0)4-成中心对称，对于任意x ，又有3()()2f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线32x =对称； ③函数()f x 对于任意x ，满足关系式(2)(4)f x f x +=--+，则函数(3)y f x =+是奇函数.A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 12.定义域为(0,)+∞的连续可导函数()f x ，若满足以下两个条件：①()f x 的导函数'()y f x =没有零点，②对(0,)x ∀∈+∞，都有12(()log )3f f x x +=.则关于x 方程()2f x = ）个解. A ．2 B ．1 C ．0 D ．以上答案均不正确二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(1)nx +的二项式展开式中第4项和第8项的二项式系数相等，则n = .14.已知函数()()x x f x x e e -=-，若(3)(2)f a f a +>，则a 的范围是 . 15.设l 为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能的取-ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .16.已知三次函数3()(0)f x ax bx a =+>，下列命题正确的是 . ①函数()f x 关于原点(0,0)中心对称；②以(,())A A A x f x ，(,())B B B x f x 两不同的点为切点作两条互相平行的切线，分别与()f x 交于,C D 两点，则这四个点的横坐标满足关系():():()1:2:1C B A A D x xB x x x x ---=； ③以00(,())A x f x 为切点，作切线与()f x 图像交于点B ，再以点B 为切点作直线与()f x 图像交于点C ，再以点C 作切点作直线与()f x 图像交于点D ，则D 点横坐标为06x -；④若b =-()f x 图像上存在四点,,,A B C D ，使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且3[3,5]a ∈. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值. 18. （本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =.（1）证明：AD CE ⊥；（2）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的余弦值的大小.19. （本小题满分12分）调查表明，高三学生的幸福感与成绩，作业量，人际关系的满意度的指标有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为,,x y z ，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标w x y z =++的值评定高三学生的幸福感等级：若4w ≥，则幸福感为一级；若23w ≤≤，则幸福感为二级；若01w ≤≤，则幸福感为三级. 为了了解目前某高三学生群体的幸福感情况，研究人员随机采访了该群体的10名高三学生，得到如下结果：（1）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的成绩满意度指标x 相同的概率； （2）从幸福感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为a ，从幸福感等级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X a b =-，求X 的分布列及其数学期望.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1,0)M 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线10x y -=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(3,2)N ，和面内一点(,)(3)P m n m ≠，过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设直线,,AN NP BN 的斜率分别为123,,k k k ，若1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.21. （本小题满分12分） 已知函数2()2ln f x x x mx =--.（1）当0m =时，求函数()f x 的最大值；（2）函数()f x 与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x 且120x x <<，证明：'1212()033f x x +<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.参考答案一、选择题 ABCAD CDABC DA 二、填空题13. 10 14. 13a -<< 15. 4716.①②④ 三、解答题17.解：（1）由110a =，2a 为整数知，34a =，{}n a 的通项公式为133n a n =-. （2）1111()(133)(103)3103133n b n n n n==-----，于是121111111[()()()]371047103133n n T b b b n n=+++=-+-++---111()31031010(103)nn n =-=--. 结合1103y x =-的图象，以及定义域只能取正整数，所以3n =的时候取最大值310.18.解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O . ∵AB AC =，∴AF BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，∴AF ⊥平面BCDE ， ∴AF CE ⊥.（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂直为G .∵CG AD ⊥，CE AD ⊥，∴AD ⊥面CEG ，∴EG AD ⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角.3AC CD CG AD ∙==3DG =，3EG ==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==∙19.解：（1）设事件:A 这10名被采访者中任取两人，这两人的成绩满意度指标x 相同 成绩满意度指标为0的有：1人 成绩满意度指标为1的有：7人 成绩满意度指标为2的有：2人则227221022()45C C P A C +==. （2）统计结果，幸福感等级是一级的被采访者共6人，幸福感等级不是一级的被采访者共4名，随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4,5113211641(1)4C C P X C C === 1111312211647(2)24C C C C P X C C +===(3)P X =，(4)P X =，(5)P X =，过程略2912EX ==. 20.解：（1）2213x y += （2）①当直线斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,x y ==，不妨设A，(1,B ， 因为132k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为10m n --=.②当直线的斜率存在时，设点1122(,),(,)A x y B x y ，设直线:(1)l y k x =-，联立椭圆整理得：2222(31)6330k x k x k +-+-=，根系关系略，所以12122113121222[2(1)](3)[2(1)](3)33(3)(3)y y k x x k x x k k x x x x -----+---+=+=---- 121212122(42)()6123()9k k k x x k x x x x -++++=-++222(126)2126k k +==+ 所以21k =，所以,m n 的关系式为10m n --=.21.解：（1）当0m =时，2()2ln f x x x =-，求导得'2(1)(1)()x x f x x+-=，很据定义域，容易得到在1x =处取得最大值，得到函数的最大值为-1.（2）根据条件得到21112ln 0x x mx --=，22222ln 0x x mx --=，两式相减得221212122(ln ln )()()x x x x m x x ---=-，得221212121212122(ln ln )()2(ln ln )()x x x x x x m x x x x x x ----==-+--因为'2()2f x x m x=-- 得'1212121212122(ln ln )12212()2()()12333333x x f x x x x x x x x x x -+=-+-++-+121212122(ln ln )21()12333x x x x x x x x -=-+--+ 因为120x x <<，所以121()03x x -<，要证'1212()033f x x +< 即证1212122(ln ln )201233x x x x x x --<-+即证1212122()2(ln ln )01233x x x x x x --->+，即证2112212(1)2ln 01233x x x x x x -->+ 设12x t x =(01)t <<，原式即证2(1)2ln 01233t t t -->+，即证6(1)2ln 012t t t -->+ 构造9()32ln 12g t t t=-+-+求导很容易发现为负，()g t 单调减，所以()(1)0g t g >=得证22.解：（1）消去参数t 得到1C 的普通方程222(1)x y a +-=，将c o s x ρθ=，sin y ρθ=代入1C 的普通方程，得到1C 的极坐标方程222sin 10a ρρθ-+-=.（2）曲线12,C C 的公共点的极坐标满足方程组222sin 104cos a ρρθρθ⎧-+-=⎨=⎩，若0ρ≠，由方程组得2216cos 8sin cos 10a θθθ-+-=，由已知tan 2θ=，可解得210a -=，根据0a >，得到1a =，当1a =时，极点也为12,C C 的公共点，在3C 上，所以1a =. 23.（1）当1a =时，不等式化为|1|2|1|10x x +---> 当1x ≤-，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<； 综上，不等式()1f x >的解集为2{|2}3x x <<. （2）由题设把()f x 写成分段函数12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++ 解得22(1)3ABC S a ∆=+，由题设得22(1)63a +>，得到2a >，所以a 的范围是(2,)+∞.。

成都七中高2017届热身考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数是虚数单位，则的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,所以的共轭复数的虚部是,选D.2. 双曲线的一个焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B则双曲线的一个焦点坐标为 .本题选择B选项.3. 已知的取值如下表所示（）从散点图分析与的线性关系，且，则A. B. C. D.【答案】C【解析】 ,选C.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.4. 在等差数列中，已知与是方程的两个根，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得 ,选A.5. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得 ,因为,因此一个充分不必要条件是,选B....点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6. 《孙子算经》中有道算术题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”，意思是有100头鹿，若每户分一头则还有剩余，再每三户分一头则正好分完，问共有多少户人家？涉及框图如下，则输出的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意求方程的解,解得 ,选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为（）A. B. C. D.【答案】A8. 直线与圆的交点为整点（横纵坐标均为正数的点），这样的直线的条数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圆的方程x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，而圆x2+y2=4上的“整点”有四个，分别是：（0，2），（0，-2），（-2，0），（2，0），如图所示：根据图形得到mx+ny=1可以为：直线y=2，y=-2，x=2，x=-2，x+y=2，x+y=-2，x-y=2，x-y=-2，共8条，则这样的直线的条数是8条．本题选择D选项.9. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】 ,由题意得有两个不同的正根,即 ,选A....10. 已知等差数列中，，满足，则等于（）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】B【解析】由题意得公差 ,即,代入验证得当时成立,选B.11. 若函数，对任意实数都有，则实数的值为（）A. 和B. 和C.D.【答案】A【解析】由得函数一条对称轴为 ,因此 ,由得 ,选A.点睛：求函数解析式方法：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.（4）由求对称轴12. 已知为双曲线的左右焦点，过的直线与圆相切于点，且，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得在中由余弦定理得,选C.点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等根据等量关系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，且，则__________．【答案】【解析】由得：点睛：平面向量有关运算(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘：14. 将参加冬季越野跑的名选手编号为：，采用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，把编号分为组后，第一组的到这个编号中随机抽得的号码为，这名选手穿着三种颜色的衣服，从到穿红色衣服，从到穿白色衣服，从到穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为__________．...【答案】【解析】，所以抽到穿白色衣服的选手号码为，共15. 已知直线与轴不垂直，且直线过点与抛物线交于两点，则__________．【答案】【解析】设，代入得，所以16. 如图，在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）【答案】②③④【解析】由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为的圆弧长组成，因此由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为1 的圆弧长组成，因此由如图三段相同的四分之一个圆心分别为半径为1 的圆弧长组成，因此由如图三段相同弧长组成，圆心角为，半径为，因此，因此选②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角的对边分别为，已知向量平行.（1）求的值；（2）若周长为，求的长.【答案】（1）2（2）1【解析】试题分析：（1）先由向量平行坐标关系得,再根据正弦定理将边角关系统一为角的关系，利用两角和正弦公式及三角形内角关系、诱导公式化简得，（2）由余弦定理化简条件得，由（1）知，所以.试题解析：解：（1）由已知得，由正弦定理，可设，则，即，化简可得，又，所以，因此.（2），由（1）知，则，由周长，得....18. 微信运动和运动手环的普及，增强了人民运动的积极性，每天一万步称为一种健康时尚，某中学在全校范围内内积极倡导和督促师生开展“每天一万步”活动，经过几个月的扎实落地工作后，学校想了解全校师生每天一万步的情况，学校界定一人一天走路不足千步为不健康生活方式，不少于千步为超健康生活方式者，其他为一般生活方式者，学校委托数学组调查，数学组采用分层抽样的办法去估计全校师生的情况，结合实际及便于分层抽样，认定全校教师人数为人，高一学生人数为人，高二学生人数人，高三学生人数，从中抽取人作为调查对象，得到了如图所示的这人的频率分布直方图，这人中有人被学校界定为不健康生活方式者.（1）求这次作为抽样调查对象的教师人数；（2）根据频率分布直方图估算全校师生每人一天走路步数的中位数（四舍五入精确到整数步）；（3）校办公室欲从全校师生中速记抽取人作为“每天一万步”活动的慰问对象，计划学校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓励元，超健康生活方式者表彰奖励元，一般生活方式者鼓励性奖励元，利用样本估计总体，将频率视为概率，求这次校办公室慰问奖励金额的分布列和数学期望.【答案】（1）10（2）（3）慰问奖励金额的数学期望为元【解析】试题分析：（1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率，所以的频率为，再根据频数除以总数等于频率得总数，（2）根据中位数对应区间将概率一分为二得，解得（3）按元对应情况分成两个互斥事件：3人一般生活方式；1人一般生活方式1人超健康生活方式1人不健康生活方式；再分别求对应概率，最后利用概率加法求概率. 试题解析：（1）由频率分布直方图知的频率为，于是，由分层抽样的原理知这次作为抽样调查对象的教师人数为人.（2）由频率分布直方图知的频率为的频率为的频率为，设中位数为，则，于是（千步）；（3）有频率分布直方图知不健康生活方式者概率为，超健康生活方式者的概率为，一般生活方式者的概率为，因为，这次校办公室慰问奖励金额恰好为元的概率为.19. 已知球内接四棱锥的高为相交于，球的表面积为，若为中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)由题意可得，利用线面平行的判断定理可得结论；(2)结合题中的几何关系建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的余弦值为. 试题解析：解：（1）证明：由分别是的中点，得，且满足平面平面，所以平面.（2）由球的表面积公式，得球的半径，设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，连，则，则在，则，即,在正四棱锥中，平面于，且于，...设为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系系，得中点，所以，设分别是平面和平面的法向量，则和，可得，则，由图可知，二面角的大小为钝角，所以二面角的余弦值为.20. 已知椭圆的右焦点，且经过点，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于两点（点在轴的上方）（1）求椭圆的方程；（2）若，且直线与圆相切于点，求的长.【答案】（1）（2）的长为【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于的方程组，，解方程组得，（2）设直线，则根据圆心到切线距离等于半径得，由由，有，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得，，三者消得，最后关于的解方程组得，，根据切线长公式可得的长.试题解析：（1）由题意知，即，又，故，椭圆的方程为.（2）设，直线，由，有，由，由韦达定理得，由，则，，化简得，原点到直线的距离，又直线与圆相切，所以，即，，即，解得，此时，满足，此时，在中，，所以的长为.21. 已知函数，直线.（1）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求公共点横坐标的值；（2）若，求证：....【答案】（1）公共点的横坐标为和；（2）见解析【解析】试题分析：(1)利用题意分类讨论和可得公共点横坐标的值为和；(2)利用不等式的特点构造函数，结合新函数的特点和题意可得结论成立. 试题解析：解：（1）由，得，易知时，单调递减，时，单调递增，根据直线的方程，可得恒过点，①当时，直线垂直轴，与曲线相交于一点，即焦点横坐标为；②当时，设切线，直线可化为，斜率，又直线和曲线均过点，则满足，所以，两边约去后，可得，化简得，切点横坐标，综上所述，由①和②可知，该公共点的横坐标为和；（2）①若时，欲证，由题意，由问可知在上单调递减，证对恒成立即可. 设函数，则，即，设，则，易知时，单调递减，时，单调递增，当时，有，且满足，故，即，又，则，所以在上单调递减，有，即，所以.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求的范围.【答案】（1）（2）...【解析】试题分析：（1）先根据三角函数同角关系，消去参数，再利用得圆的极坐标方程（2）利用极角表示极径得，再根据正切函数性质求范围.试题解析：（1）圆的普通方程是，又，所以圆的极坐标方程是.（2）设，则有，则有，所以，因为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对于任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：（1）根据绝对值几何意义得，再根据绝对值定义得,即得不等式解集，（2）原命题等价于，利用绝对值三角不等式求值域：而，所以，再根据绝对值定义求不等式解集得实数的取值范围.试题解析：（1）由，得，得解集为.（2）因为任意，都有，使得成立，所以，又，所以，解得或，所以实数的取值范围为或.。