高考数学第一轮复习-第10章 第3讲 抛物线及其性质

高考数学第一轮复习 第3讲 抛物线及其性质 考点一 抛物线的标准方程知识点1 抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2 抛物线的标准方程顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)； 顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y 2＝－2px (p >0)； 顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x 2＝2py (p >0)； 顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x 2＝－2py (p >0)．注意点 定义的理解和方程中p 的意义(1)定义的实质可归纳为“一动三定”，一个动点，设为M ；一个定点F ，叫做抛物线的焦点；一条定直线l ，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M 到点F 的距离和它到直线l 的距离的比值等于1.(2)p 的几何意义是焦点到准线的距离.入门测1．思维辨析(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线就是一元二次函数的图象．( ) 2．经过点P (16，－4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝－64y B ．y 2＝x 或y 2＝－64x D ．y 2＝xD ．x 2＝－64y3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x解题法[考法综述]四种不同的抛物线的标准方程形式是考查重点，一种是求抛物线的方程，另一种是根据抛物线的方程研究它的几何性质．与抛物线定义有关的最值、轨迹问题及焦点弦问题．命题法抛物线的定义及方程典例(1)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()A．x2＝112y B．x2＝112y或x2＝－136yC．x2＝－136y D．x2＝12y或x2＝－36y(2)抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．【解题法】抛物线方程的求法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程．(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从统一角度出发，焦点在x轴上，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上，设为x2＝by(b≠0)．对点练1.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1 B．2C．4 D．82．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是()A．y2＝－16x B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝－12x3．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.4．已知F1、F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．5．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则ba＝________.6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．考点二抛物线的几何性质知识点1抛物线的几何性质2抛物线焦点弦的性质焦点弦：线段AB为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p2 4；(2)y 1y 2＝－p 2； (3)焦半径|AF |＝x 1＋p2；(4)弦长l ＝x 1＋x 2＋p .当弦AB ⊥x 轴时，弦长最短为2p ，此时的弦又叫通径； (5)弦长l ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．注意点 解抛物线问题的注意事项(1)注意四种不同的方程下，焦点与顶点以及准线的对应位置． (2)注意定义的应用：将到焦点的距离与到准线的距离进行灵活转化.入门测1．思维辨析(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(2)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )(3)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )(4)若AB 是焦点弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．( )2．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4 B. 8 C ．12D ．163．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到焦点的距离是4，则P 点坐标为________．解题法[考法综述]抛物线虽只有一个焦点和一条准线，却有许多有趣的性质，尤其焦点弦的性质一直是高频考点，与向量等知识综合命题的趋势较强，应予以高度关注．高考对本考点要求较高，试题难度较大．命题法抛物线的几何性质及其应用典例(1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22 B. 2C.322D．2 2(2)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则1|FP|＋1|FQ|＝()A.12B．1C．2 D．4【解题法】抛物线的性质应用技巧及焦点弦问题解题策略(1)用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．(2)抛物线焦点弦问题求解策略求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结合思想求解．对点练1．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋12.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52 D ．23．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－124．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)5．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．6．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．7．已知A 是抛物线y 2＝4x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线F A 交抛物线的准线于点B (点B 在x 轴上方)，若|AB |＝2|AF |，则点A 的坐标为________．8．已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →.(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．9．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A 、B 两点，且|AB |＝26，求k 的值； (3)设点P 的轨迹是曲线C ，点Q (1，y 0)是曲线C 上的一点，求以Q 为切点的曲线C 的切线方程．如图所示，过点P (0，－2) 的直线l 交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAMB 的顶点M 的轨迹方程．课时练基础组1.若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为() A．y2＝4x B．y2＝6xC．y2＝8x D．y2＝10x2已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝833y B．x2＝1633yC．x2＝8y D．x2＝16y3.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3xD ．y 2＝3x4. 已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72 B ．3 C.52D ．25．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5 6.已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522＋2 B.522＋1C.522－2 D.522－1 7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－28．过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B 、C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →，则|BC |＝( )A.92 B ．6 C.132D ．89．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________．10．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为________．11．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．能力组13. 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( )A.45B.23C.47D.12 14．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72B ．4 C.92D ．5 15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．16．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，F A 为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．。